1、必修2 空间中的垂直关系基础知识点一、选择题：1.若斜线段AB是它在平面上的射影的长的2倍，则AB与平面所成的角是().A.60 B.45 C.30 D.1202.直线l平面，直线m，则().A.lm B.lm C.l，m异面 D.l，m相交而不垂直3.如图所示，PO平面ABC，BOAC，在图中与AC垂直的线段有().A.1条 B.2条 C.3条 D.4条4.若平面平面，平面平面，则().A. B. C.与相交但不垂直 D.以上都有可能5.已知长方体ABCDA1B1C1D1，在平面AB1上任取一点M，作MEAB于E，则().A.ME平面AC B.ME 平面AC C.ME平面AC D.以上都有可
2、能6.如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是().A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直 B.它们两两垂直C.平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直 D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直二、填空题：7.在正方体A1B1C1D1ABCD中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心(如图)，则EF与平面BB1O的关系是_.8.若a，b表示直线，表示平面，下列命题中正确的有_个.a，bab; a，abb；a，abb； a，bab.9.、是两个不同的平面，m、n是平面及外的两条不同的直线，给出四个论断
3、：mn；m；n.以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题_.10.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，截面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1ABC的大小为_.三、解答题：11.如图所示，在RtAOB中，ABO=，斜边AB=4，RtAOC可以通过RtAOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角BAOC是直二面角，D是AB的中点.求证：平面COD平面AOB.12.如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.(1)求证：PA平面EDB；(2)求证：PB平面EFD.综合提高1.已知l，
4、m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面与直线m垂直，则直线n与平面的关系是().A.n B.n或n C.n或n与不平行 D.n2.已知平面平面，=l，点A，Al，直线ABl，直线ACl，直线m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是().A.ABm B.ACm C.AB D.AC3.一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角().A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.关系无法确定4.如图，正方形SG1G2G3中 ，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系
5、：SG平面EFG；SE平面EFG；GFSE；EF平面SEG.其中成立的有().A. B. C. D.5.如果三棱锥的三个侧面两两相互垂直，则顶点在底面的正投影是底面三角形的_心.6.已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，若A1在底面ABC内的射影为ABC的中心，则AB1与ABC底面所成的角的正弦值等于_.7.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：ACBD；ACD是等边三角形；AB与平面BCD成60的角；AB与CD所成的角为60.其中真命题的编号是_(写出所有真命题的编号).8.如图，A、B、C、D为空间四点，在ABC中，AB=2，AC=BC=，等边三角
6、形ADB以AB为轴运动，当平面ADB平面ABC时，则CD=_.9.如图所示，四边形ABCD为正方形，SA垂直于四边形ABCD所在的平面，过点A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.求证：AESB，AGSD.10.如图，在四棱锥PABCD中，PO面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=90.(1)求证：PCBC.(2)求点A到平面PBC的距离.11.如图，已知平面PAB平面ABC，平面PAC平面ABC，AE平面PBC，E为垂足.(1)求证：PA平面ABC；(2)当E为PBC的垂心时，求证：ABC是直角三角形.12.(创新拓展)已知BCD中，BCD=90，B
7、C=CD=1，AB平面BCD，ADB=60，E，F分别是AC，AD上的动点，且=(01).(1)求证：不论为何值，总有平面BEF平面ABC；(2)当为何值时，平面BEF平面ACD?参考答案基础篇1.答案A；解析斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形.如图所示，ABO即是斜线AB与平面所成的角，又AB=2BO，所以cosABO=.所以ABO=60.故选A.2.答案A；解析无论l与m是异面，还是相交，都有lm，考查线面垂直的定义，故选A.3.答案D；解析PO平面ABC，POAC，又ACBO，AC平面PBD，平面PBD中的4条线段PB，PD，PO，BD与AC垂直.4.答案D；解析以正方体为模型：相邻两
8、侧面都与底面垂直；相对的两侧面都与底面垂直；一侧面和一对角面都与底面垂直，故选D.5.答案A；解析由于ME平面AB1，平面AB1平面AC=AB，且平面AB1平面AC，MEAB，则ME平面AC.6.答案A；解析PA平面ABCD，PABC.又BCAB，PAAB=A，BC平面PAB，BC平面PBC，平面PBC平面PAB.由ADPA，ADAB，PAAB=A，得AD平面PAB.AD平面PAD，平面PAD平面PAB.由已知易得平面PBC与平面PAD不垂直，故选A.7.答案垂直；解析由正方体性质知ACBD，BB1AC，E，F是棱AB，BC的中点，EFAC，EFBD，EFBB1，EF平面BB1O.8.答案2；
9、解析由线面垂直的性质定理知正确.9.答案或；解析如图，PA，PB，垂足分别为A、B，=l，l平面PAB=O，连接OA、OB，可证明AOB为二面角l的平面角，则AOB=90PAPB.10.答案45；解析ABBC，ABBC1，C1BC为二面角C1ABC的平面角，大小为45.11.证明：由题意：COAO，BOAO，BOC是二面角BAOC的平面角，又二面角BAOC是直二面角，COBO，又AOBO=O，CO平面AOB，CO平面COD，平面COD平面AOB.12.证明：(1)连接AC，AC交BD于点O.连接EO，如图.底面ABCD是正方形，点O是AC的中点.在PAC中，EO是中位线，PAEO.而EO平面E
10、DB且PA平面EDB.所以PA平面EDB.(2)PD底面ABCD且DC底面ABCD.PDDC.PD=DC，可知PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，DEPC.同样由PD底面ABCD，得PDBC.底面ABCD是正方形，有DCBC，BC平面PDC.而DE平面PDC，BCDE.由和推得DE平面PBC.而PB平面PBC，DEPB.又EFPB且DEEF=E，PB平面EFD.综合提高1.答案A；解析l，且l与n异面，n，又m，nm，n.2.答案D；解析如图，ABlm，ACl，mlACm，ABlAB.故选D.3.答案D；解析如图所示，平面EFDG平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终
11、与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角HDGF的大小不确定.4.答案B；解析由SGGE，SGGF，得SG平面EFG，排除C、D；若SE平面EFG，则SGSE，这与SGSE=S矛盾，排除A，故选B.5.答案垂；解析 三棱锥的三个侧面两两相互垂直，则三条交线两两互相垂直，可证投影是底面三角形的垂心.6.答案：；解析由题意知，三棱锥A1ABC为正四面体(各棱长都相等的三棱锥)，设棱长为a，则AB1=a，棱柱的高A1O=a(即点B1到底面ABC的距离)，故AB1与底面ABC所成的角的正弦值为=.7.答案；解析本题主要考查了空间直线与直线、直线与平面的夹角.8.答案2；解析取AB的
12、中点E，连接DE，CE，因为ADB是等边三角形，所以DEAB.当平面ADB平面ABC时，因为平面ADB 平面ABC=AB，所以DE平面ABC.又CE平面ABC可知DECE.由已知可得DE=，EC=1，在RtDEC中，CD=2.9.证明因为SA平面ABCD，所以SABC.又BCAB，SAAB=A，所以BC平面SAB，又AE平面SAB，所以BCAE.因为SC平面AEFG，所以SCAE.又BCSC=C，所以AE平面SBC，所以AESB.同理可证AGSD.10.(1)证明因为PD平面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC.因为BCD=90，所以BCCD.又PDCD=D，所以BC平面PCD.而PC平面
13、PCD，所以PCBC.(2)解如图，过点A作BC的平行线交CD的延长线于E，过点E作PC的垂线，垂足为F，则有AE平面PBC，所以点A到平面PBC的距离等于点E到平面PBC的距离.又EFPC，BC平面PCD，则EFBC.BCPC=C，所以EF平面PBC.EF即为E到平面PBC的距离.又因为AEBC，ABCD，所以四边形ABCE为平行四边形.所以CE=AB=2.又PD=CD=1，PD平面ABCD，CD平面ABCD.所以PDCD，PCD=45.所以EF=.即点A到平面PBC的距离为.11.证明(1)在平面ABC内取一点D，作DFAC于F，平面PAC平面ABC，且交线为AC，DF平面PAC.又PA平
14、面PAC，DFPA.作DGAB于G，同理可证DGPA.DGDF=D，PA平面ABC.(2)连接BE并延长交PC于H.E是PBC的垂心，PCBH，又AE平面PBC，故AEPC，且AEBE=E，PC平面ABE.PCAB.又PA平面ABC，PAAB，且PAPC=P，AB平面PAC，ABAC，即ABC是直角三角形.12.(1)证明AB平面BCD，ABCD.CDBC且ABBC=B，CD平面ABC.又=(01)，不论为何值，恒有EFCD，EF平面ABC.又EF平面BEF，不论为何值恒有平面BEF平面ABC.(2)解由(1)知，EFBE，又平面BEF平面ACD，BE平面ACD，BEAC.BC=CD=1，BCD=90，ADB=60，AB平面BCD，BD=，AB=tan 60=.AC=，由AB2=AEAC得AE=，=，故当=时，平面BEF平面ACD.
