1、一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=1（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2x+1（2）点P的坐标为（，1）（3）定点F的坐标为（2，1）【解析】分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的
2、解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B，连接AB交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B的坐标，根据点A、B的坐标利用待定系数法可求出直线AB的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出（1-y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关于x0、y0的方程组，解之即
3、可求出顶点F的坐标详解：（1）抛物线的顶点坐标为（2，0），设抛物线的解析式为y=a（x-2）2该抛物线经过点（4，1），1=4a，解得：a=，抛物线的解析式为y=（x-2）2=x2-x+1（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：，解得：，点A的坐标为（1，），点B的坐标为（4，1）作点B关于直线l的对称点B，连接AB交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值（如图1所示）点B（4，1），直线l为y=-1，点B的坐标为（4，-3）设直线AB的解析式为y=kx+b（k0），将A（1，）、B（4，-3）代入y=kx+b，得：，解得：，直线AB的解析式为y=-x+，当y=-1时，有-x+=-1，
4、解得：x=，点P的坐标为（，-1）（3）点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，（m-x0）2+（n-y0）2=（n+1）2，m2-2x0m+x02-2y0n+y02=2n+1M（m，n）为抛物线上一动点，n=m2-m+1，m2-2x0m+x02-2y0（m2-m+1）+y02=2（m2-m+1）+1，整理得：（1-y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0m为任意值，定点F的坐标为（2，1）点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法
5、求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P的位置；（3）根据点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x0、y0的方程组2如图，直线AB和抛物线的交点是A（0，3），B（5，9），已知抛物线的顶点D的横坐标是2（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；（3）在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得PAB的面积最大，并求出这个最大值【答案】（1），顶点D（2，）；（2）C（，0）或（，0）或（，0）；（3）【解析】【分析】（1）抛物线的顶点D
6、的横坐标是2，则x2，抛物线过A（0，3），则：函数的表达式为：y=ax2+bx3，把B点坐标代入函数表达式，即可求解；（2）分AB=AC、AB=BC、AC=BC，三种情况求解即可；（3）由SPABPHxB，即可求解【详解】（1）抛物线的顶点D的横坐标是2，则x2，抛物线过A（0，3），则：函数的表达式为：y=ax2+bx3，把B点坐标代入上式得：9=25a+5b3，联立、解得：a，b，c=3，抛物线的解析式为：yx2x3当x=2时，y，即顶点D的坐标为（2，）；（2）A（0，3），B（5，9），则AB=13，设点C坐标（m，0），分三种情况讨论：当AB=AC时，则：（m）2+（3）2=132
7、，解得：m=4，即点C坐标为：（4，0）或（4，0）；当AB=BC时，则：（5m）2+92=132，解得：m=5，即：点C坐标为（5，0）或（52，0）；当AC=BC时，则：5m）2+92=（m）2+（3）2，解得：m=，则点C坐标为（，0）综上所述：存在，点C的坐标为：（4，0）或（5，0）或（，0）；（3）过点P作y轴的平行线交AB于点H设直线AB的表达式为y=kx3，把点B坐标代入上式，9=5k3，则k，故函数的表达式为：yx3，设点P坐标为（m，m2m3），则点H坐标为（m，m3），SPABPHxB（m2+12m）=6m2+30m=，当m=时，SPAB取得最大值为：答：PAB的面积最大
8、值为【点睛】本题是二次函数综合题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系3某市实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包荒山种植某品种蜜柚已知该蜜柚的成本价为6元/千克，到了收获季节投入市场销售时，调查市场行情后，发现该蜜柚不会亏本，且每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？（3）某村农户今年共采摘蜜柚12000千克，若该品种蜜柚的保质期
9、为50天，按照（2）的销售方式，能否在保质期内全部销售完这批蜜柚？若能，请说明理由；若不能，应定销售价为多少元时，既能销售完又能获得最大利润？【答案】（1）y20x+500，（x6）；（2）当x15.5时，w的最大值为1805元；（3）当x13时，w1680，此时，既能销售完又能获得最大利润【解析】【分析】（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：ykx+b即可求解；（2）由题意得：wy（x6）20（x25）（x6），200，故w有最大值，即可求解；（3）当x15.5时，y190，5019012000，故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完；由50（50020
10、x）12000，解得：x13，当x13时，既能销售完又能获得最大利润【详解】解：（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：ykx+b得：，解得：，即：函数的表达式为：y20x+500，（x6）；（2）设：该品种蜜柚定价为x元时，每天销售获得的利润w最大，则：wy（x6）20（x25）（x6），200，故w有最大值，当x15.5时，w的最大值为1805元；（3）当x15.5时，y190，5019012000，故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完；设：应定销售价为x元时，既能销售完又能获得最大利润w，由题意得：50（50020x）12000，解得：x13，w20
11、（x25）（x6），当x13时，w1680，此时，既能销售完又能获得最大利润【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）.4综合与探究如图，抛物线经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为.连接AC，BC，DB，DC(1)求抛物线的函数表达式；(2)BCD的面积等于AOC的面积的时，求的值；(3)在(2)的条件下，若点M是轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这
12、样的点M,使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)3；(3).【解析】【分析】(1)利用待定系数法进行求解即可；(2)作直线DE轴于点E，交BC于点G，作CFDE，垂足为F，先求出SOAC=6，再根据SBCD=SAOC，得到SBCD =，然后求出BC的解析式为，则可得点G的坐标为，由此可得，再根据SBCD=SCDG+SBDG=，可得关于m的方程，解方程即可求得答案；(3)存在，如下图所示，以BD为边或者以BD为对角线进行平行四边形的构图，以BD为边时，有3种情况，由点D的坐标可得点N点纵坐标为，然后分点N的纵坐
13、标为和点N的纵坐标为两种情况分别求解；以BD为对角线时，有1种情况，此时N1点与N2点重合，根据平行四边形的对边平行且相等可求得BM1=N1D=4，继而求得OM1= 8，由此即可求得答案.【详解】(1)抛物线经过点A(-2,0)，B(4,0)，解得，抛物线的函数表达式为；(2)作直线DE轴于点E，交BC于点G，作CFDE，垂足为F，点A的坐标为(-2,0)，OA=2，由，得，点C的坐标为(0,6)，OC=6，SOAC=，SBCD=SAOC，SBCD =，设直线BC的函数表达式为，由B，C两点的坐标得，解得，直线BC的函数表达式为，点G的坐标为，点B的坐标为(4,0)，OB=4，SBCD=SCD
14、G+SBDG=，SBCD =，解得(舍)，的值为3；(3)存在，如下图所示，以BD为边或者以BD为对角线进行平行四边形的构图，以BD为边时，有3种情况，D点坐标为，点N点纵坐标为，当点N的纵坐标为时，如点N2，此时，解得：(舍)，；当点N的纵坐标为时，如点N3，N4，此时，解得：，；以BD为对角线时，有1种情况，此时N1点与N2点重合，D(3，)，N1D=4，BM1=N1D=4，OM1=OB+BM1=8，M1(8，0)，综上，点M的坐标为：.【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，
15、熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.5如图，（图1，图2），四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在线段BC上，AEF=90,且EF交正方形外角平分线CP于点F，交BC的延长线于点N, FNBC（1）若点E是BC的中点（如图1），AE与EF相等吗？（2）点E在BC间运动时（如图2），设BE=x，ECF的面积为y求y与x的函数关系式；当x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值.【答案】（1）AE=EF；（2）y=-x2+2x（0x4)，当x=2,y最大值=2.【解析】【分析】（1）在AB上取一点G，使AG=EC，连接GE，利用ASA，易证得：AGEECF，则可证得：AE=EF；（2）同（1）
16、可证明AE=EF，利用AAS证明ABEENF，根据全等三角形对应边相等可得FN=BE，再表示出EC，然后利用三角形的面积公式即可列式表示出ECF的面积为y，然后整理再根据二次函数求解最值问题【详解】（1）如图，在AB上取AG=EC，四边形ABCD是正方形，AB=BC，有AG=EC ，BG=BE ，又B=90，AGE=135，又BCD=90，CP平分DCN，ECF=135，BAEAEB=90，AEBFEC=90，BAE=FEC，在AGE和ECF中， ,AGEECF，AE=EF；(2)由（1）证明可知当E不是中点时同理可证AE=EF，BAE=NEF，B=ENF=90，ABEENF，FN=BE=x，
17、SECF= (BC-BE)FN，即y= x(4-x），y=- x2+2x（0x4)，当x=2，y最大值=2.【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，综合性较强，正确添加辅助线、熟练掌握相关知识是解题的关键6如图，直线yx+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线yx2+bx+c经过B，C两点，与x轴另一交点为A点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M（1）求抛物线的解析式；（2）如图，过点P作y轴垂线交y轴于点N，连接MN交BC于点Q，当时，求t的值；（3
18、）如图，连接AM交BC于点D，当PDM是等腰三角形时，直接写出t的值【答案】（1）yx2+3x+4；（2）t的值为；（3）当PDM是等腰三角形时，t1或t1【解析】【分析】（1）求直线y=-x+4与x轴交点B，与y轴交点C，用待定系数法即求得抛物线解析式（2）根据点B、C坐标求得OBC=45，又PEx轴于点E，得到PEB是等腰直角三角形，由t求得BE=PE=t，即可用t表示各线段，得到点M的横坐标，进而用m表示点M纵坐标，求得MP的长根据MPCN可证，故有，把用t表示的MP、NC代入即得到关于t的方程，求解即得到t的值（3）因为不确定等腰PDM的底和腰，故需分3种情况讨论：若MD=MP，则MD
19、P=MPD=45，故有DMP=90，不合题意；若DM=DP，则DMP=MPD=45，进而得AE=ME，把含t的式子代入并解方程即可；若MP=DP，则PMD=PDM，由对顶角相等和两直线平行内错角相等可得CFD=PMD=PDM=CDF进而得CF=CD用t表示M的坐标，求直线AM解析式，求得AM与y轴交点F的坐标，即能用t表示CF的长把直线AM与直线BC解析式联立方程组，解得x的值即为点D横坐标过D作y轴垂线段DG，得等腰直角CDG，用DG即点D横坐标，进而可用t表示CD的长把含t的式子代入CF=CD，解方程即得到t的值【详解】（1）直线yx+4中，当x0时，y4C（0，4）当yx+40时，解得：
20、x4B（4，0）抛物线yx2+bx+c经过B，C两点 解得：抛物线解析式为yx2+3x+4（2）B（4，0），C（0，4），BOC90OBOCOBCOCB45MEx轴于点E，PBtBEP90RtBEP中， ， 点M在抛物线上， ，PNy轴于点NPNONOEPEO90四边形ONPE是矩形ONPEtNCOCON4tMPCNMPQNCQ 解得：（点P不与点C重合，故舍去）t的值为 （3）PEB90，BEPEBPEPBE45MPDBPE45若MDMP，则MDPMPD45DMP90，即DMx轴，与题意矛盾若DMDP，则DMPMPD45AEM90AEMEyx2+3x+40时，解得：x11，x24A（1，0
21、）由（2）得，xM4t，MEyMt2+5tAE4t（1）5t5tt2+5t解得：t11，t25（0t4，舍去）若MPDP，则PMDPDM如图，记AM与y轴交点为F，过点D作DGy轴于点GCFDPMDPDMCDFCFCDA（1，0），M（4t，t2+5t），设直线AM解析式为yax+m 解得： ，直线AM：F（0，t）CFOCOF4ttx+tx+4，解得：，CGD90，DCG45， 解得： 综上所述，当PDM是等腰三角形时，t1或【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解二元一次方程组和一元二次方程，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，涉及等腰三角形的分类讨论，要充分利用等腰的性质作为
22、列方程的依据7在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知抛物线yx22x，其顶点为A(1)写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；(2)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”试求抛物线yx22x的“不动点”的坐标；平移抛物线yx22x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式.【答案】(l)抛物线yx22x的开口向上，顶点A的坐标是(1，1)，抛物线的变化情况是：抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，右侧的部分是上升的；(2)(0，0)、(3，3)； 新抛物线的表达式是y(x1)21
23、.【解析】【分析】（1），故该抛物线开口向上，顶点的坐标为；（2）设抛物线“不动点”坐标为，则，即可求解；新抛物线顶点为“不动点”，则设点，则新抛物线的对称轴为：，与轴的交点，四边形是梯形，则直线在轴左侧，而点，点，则，即可求解.【详解】(l)，抛物线yx22x的开口向上，顶点A的坐标是(1，1)，抛物线的变化情况是：抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，右侧的部分是上升的.(2)设抛物线yx22x的“不动点”坐标为(t，t).则tt22t，解得t10，t23.所以，抛物线yx22x的“不动点”的坐标是(0，0)、(3，3).新抛物线的顶点B是其“不动点”，设点B的坐标为(m，m)新抛物线的对称轴
24、为直线xm，与x轴的交点为C(m，0)四边形OABC是梯形，直线xm在y轴左侧.BC与OA不平行OCAB.又点A的坐标为(1，一1)，点B的坐标为(m，m)，m1.新抛物线是由抛物线yx22x向左平移2个单位得到的，新抛物线的表达式是y(x1)21.【点睛】本题为二次函数综合运用题，涉及到二次函数基本知识、梯形基本性质，此类新定义题目，通常按照题设顺序，逐次求解即可.8如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM（1）求抛物线的函数关系式；（2）判断ABM的形状，并说明理由；（3）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点若将
25、（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点【答案】（1）抛物线解析式为y=x21；（2）ABM为直角三角形理由见解析；（3）当m时，平移后的抛物线总有不动点【解析】试题分析：（1）分别写出A、B的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；根据OAOM1，ACBC3，分别得到MAC45，BAC45，得到BAM90，进而得到ABM是直角三角形；（3）根据抛物线的平以后的顶点设其解析式为，抛物线的不动点是抛物线与直线的交点，方程总有实数根，则0，得到m的取值范围即可试题解析：解：（1）点A是直线与轴的交点，A点为（-1，0）点B在直线上，且横坐标为2，
26、B点为（2，3）过点A、B的抛物线的顶点M在轴上，故设其解析式为：，解得：抛物线的解析式为（2）ABM是直角三角形，且BAM90理由如下：作BC轴于点C，A（-1，0）、B（2，3）ACBC3，BAC45；点M是抛物线的顶点，M点为（0，-1）OAOM1，AOM90MAC45；BAMBACMAC90ABM是直角三角形（3）将抛物线的顶点平移至点（，），则其解析式为抛物线的不动点是抛物线与直线的交点，化简得：当时，方程总有实数根，即平移后的抛物线总有不动点考点：二次函数的综合应用（待定系数法；直角三角形的判定；一元二次方程根的判别式）9空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩
27、形菜园ABCD，已知木栏总长为100米（1）已知a=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方米如图1，求所利用旧墙AD的长；（2）已知050，且空地足够大，如图2请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大，并求面积的最大值【答案】（1）利用旧墙AD的长为10米（2）见解析.【解析】【分析】（1）按题意设出AD，表示AB构成方程；（2）根据旧墙长度a和AD长度表示矩形菜园长和宽，注意分类讨论s与菜园边长之间的数量关系【详解】（1）设AD=x米，则AB=米依题意得，450解得x1=10，x2=90a=20，且xax=
28、90舍去利用旧墙AD的长为10米（2）设AD=x米，矩形ABCD的面积为S平方米如果按图一方案围成矩形菜园，依题意得：S=，0xa0a50xa50时，S随x的增大而增大当x=a时，S最大=50a-a2如按图2方案围成矩形菜园，依题意得S=，ax50+当a25+50时，即0a时，则x=25+时，S最大=（25+）2=，当25+a，即a50时，S随x的增大而减小x=a时，S最大=，综合，当0a时，-（）=0，此时，按图2方案围成矩形菜园面积最大，最大面积为平方米当a50时，两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等当0a时，围成长和宽均为（25+）米的矩形菜园面积最大，最大面积为平方米；当a50时，围成
29、长为a米，宽为（50-）米的矩形菜园面积最大，最大面积为（）平方米【点睛】本题以实际应用为背景，考查了一元二次方程与二次函数最值的讨论，解得时注意分类讨论变量大小关系10如图1,抛物线与轴交于点和点,与轴交于点,抛物线的顶点为轴于点将抛物线平移后得到顶点为且对称轴为直的抛物线(1)求抛物线的解析式；(2)如图2,在直线上是否存在点,使是等腰三角形?若存在,请求出所有点的坐标:若不存在,请说明理由；(3)点为抛物线上一动点,过点作轴的平行线交抛物线于点，点关于直线的对称点为，若以为顶点的三角形与全等,求直线的解析式【答案】（1）抛物线的解析式为；（2）点的坐标为,；（3）的解析式为或.【解析】分
30、析：（1）把和代入求出a、c的值，进而求出y1，再根据平移得出y2即可；（2）抛物线的对称轴为,设,已知，过点作轴于,分三种情况时行讨论等腰三角形的底和腰，得到关于t的方程，解方程即可；（3）设,则,根据对称性得,分点在直线的左侧或右侧时,结合以构成的三角形与全等求解即可.详解:(1)由题意知，解得， 所以,抛物线y的解析式为；因为抛物线平移后得到抛物线,且顶点为，所以抛物线的解析式为，即： ；(2)抛物线的对称轴为,设,已知，过点作轴于,则 ， ，当时，即，解得或；当时,得，无解；当时,得,解得;综上可知,在抛物线的对称轴上存在点使是等腰三角形,此时点的坐标为,.(3)设,则,因为关于对称,所以,情况一:当点在直线的左侧时, ,又因为以构成的三角形与全等,当且时,可求得,即点与点重合所以,设的解析式,则有解得,即的解析式为,当且时,无解,情况二:当点在直线右侧时, ,同理可得的解析式为,综上所述, 的解析式为或.点睛：本题主要考查了二次函数综合题，此题涉及到待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的性质等知识，解答（1）问的关键是求出a、c的值，解答（2）、（3）问的关键是正确地作出图形，进行分类讨论解答，此题有一定的难度
