1、一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径作O，O交BC于点D，交CA的延长线于点E过点D作DFAC，垂足为F（1）求证：DF为O的切线；（2）若AB4，C30，求劣弧的长【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】分析：（1）连接AD、OD，根据直径所对的圆周角为直角，可得ADB=90，然后根据等腰三角形的性质求出BD=CD，再根据中位线的性质求出ODDF，进而根据切线的判定证明即可；（2）连接OE，根据三角形的外角求出BAE的度数，然后根据圆周角定理求出BOE的度数，根据弧长公式求解即可.详解：（1）连接AD、ODAB是直径，ADB90ABAC，
2、BDCD， 又OAOB，OD是ABC的中位线，ODAC， DFAC，ODDF即ODF90DF为O的切线； （2）连接OEABAC，BC30，BAE60， BOE2BAE，BOE120，4 点睛：本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、圆周角定理，灵活添加辅助线是解题关键2如图,四边形ABCD是O的内接四边形,AB=CD(1)如图(1),求证:ADBC；(2)如图(2),点F是AC的中点,弦DGAB,交BC于点E,交AC于点M,求证:AE=2DF；(3)在(2)的条件下,若DG平分ADC,GE=5,tanADF=4,求O的半径。【答案】(1)证明见解析；
3、（2）证明见解析；（3） 【解析】试题分析：(1)连接AC由弦相等得到弧相等，进一步得到圆周角相等，即可得出结论（2）延长AD到N，使DN=AD，连接NC得到四边形ABED是平行四边形，从而有AD=BE，DN=BE由圆内接四边形的性质得到NDC=B即可证明ABECND，得到AE=CN，再由三角形中位线的性质即可得出结论（3）连接BG，过点A作AHBC，由（2）知AEB=ANC，四边形ABED是平行四边形，得到AB=DE再证明CDE是等边三角形，BGE是等边三角形，通过解三角形ABE，得到AB，HB， AH，HE的长，由EC=DE=AB，得到HC的长在RtAHC中，由勾股定理求出AC的长作直径A
4、P，连接CP，通过解APC即可得出结论试题解析：解：(1)连接ACAB=CD，弧AB=弧CD，DAC=ACB，ADBC（2）延长AD到N，使DN=AD，连接NCADBC，DGAB，四边形ABED是平行四边形，AD=BE，DN=BEABCD是圆内接四边形，NDC=BAB=CD，ABECND，AE=CNDN=AD，AF=FC，DF=CN，AE=2DF（3）连接BG，过点A作AHBC，由（2）知AEB=ANC，四边形ABED是平行四边形，AB=DEDFCN，ADF=ANC，AEB=ADF，tanAEB= tanADF=，DG平分ADC，ADG=CDGADBC，ADG=CED，NDC=DCEABC=N
5、DC，ABC=DCEABDG，ABC=DEC，DEC=ECD=EDC，CDE是等边三角形，AB=DE=CEGBC=GDC=60，G=DCB=60，BGE是等边三角形，BE= GE=tanAEB= tanADF=，设HE=x，则AH=ABE=DEC=60，BAH=30，BH=4x，AB=8x，4x+x=，解得：x=，AB=8，HB=4， AH=12，EC=DE=AB=，HC=HE+EC=在RtAHC中，AC=作直径AP，连接CP，ACP=90，P=ABC=60，sinP=，O的半径是3某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径如图，若这个输水管道有水部分
6、的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径【答案】10cm【解析】分析：先过圆心O作半径COAB，交AB于点D设半径为r，得出AD、OD的长，在RtAOD中，根据勾股定理求出这个圆形截面的半径详解：解：过点O作OCAB于D，交O于C，连接OB，OCABBD=AB=16=8cm由题意可知，CD=4cm设半径为xcm，则OD=（x4）cm在RtBOD中，由勾股定理得：OD2+BD2=OB2（x4）2+82=x2解得：x=10答：这个圆形截面的半径为10cm点睛：此题考查了垂经定理和勾股定理，关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行求解4如图，AB是圆O的直径，射线A
7、MAB，点D在AM上，连接OD交圆O于点E，过点D作DC=DA交圆O于点C（A、C不重合），连接OC、BC、CE（1）求证：CD是O的切线；（2）若圆O的直径等于2，填空：当AD= 时，四边形OADC是正方形；当AD= 时，四边形OECB是菱形【答案】(1)见解析；（2）1；【解析】试题分析：（1）依据SSS证明OADOCD，从而得到OCD=OAD=90；（2）依据正方形的四条边都相等可知AD=OA；依据菱形的性质得到OE=CE，则EOC为等边三角形，则CEO=60，依据平行线的性质可知DOA=60，利用特殊锐角三角函数可求得AD的长试题解析：解：AMAB，OAD=90OA=OC，OD=OD，
8、AD=DC，OADOCD，OCD=OAD=90OCCD，CD是O的切线（2）当四边形OADC是正方形，AO=AD=1故答案为：1四边形OECB是菱形，OE=CE又OC=OE，OC=OE=CECEO=60CEAB，AOD=60在RtOAD中，AOD=60，AO=1，AD=故答案为：点睛：本题主要考查的是切线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、菱形的性质、等边三角形的性质和判定，特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键5如图，AD是ABC的角平分线，以AD为弦的O交AB、AC于E、F，已知EFBC（1）求证：BC是O的切线；（2）若已知AE=9，CF=4，求DE长；（3）在（2）的
9、条件下，若BAC=60，求tanAFE的值及GD长【答案】（1）证明见解析（2）DE=6（3） 【解析】试题分析：（1）连接OD，由角平分线的定义得到1=2，得到，根据垂径定理得到ODEF，根据平行线的性质得到ODBC，于是得到结论；（2）连接DE，由，得到DE=DF，根据平行线的性质得到3=4，等量代换得到1=4，根据相似三角形的性质即可得到结论；（3）过F作FHBC于H，由已知条件得到1=2=3=4=30，解直角三角形得到FH=DF=6=3，DH=3，CH=，根据三角函数的定义得到tanAFE=tanC=；根据相似三角形到现在即可得到结论试题解析：（1）连接OD，AD是ABC的角平分线，1
10、=2，ODEF，EFBC，ODBC，BC是O的切线；（2）连接DE，DE=DF，EFBC，3=4，1=3，1=4，DFC=AED，AEDDFC，即，DE2=36，DE=6；（3）过F作FHBC于H，BAC=60，1=2=3=4=30，FH=DF=3，DH=3，CH=，EFBC，C=AFE，tanAFE=tanC=；4=2C=C，ADCDFC，5=5，3=2，ADFFDG，即，DG=点睛：本题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键.6如图，AB是O的直径，弦CDAB于点G，点F是CD上一点，且满足若,连接AF并延长交O于点E，
11、连接AD、DE，若CF=2，AF=3.（1）求证：ADFAED；（2）求FG的长；（3）求tanE的值【答案】(1)证明见解析;(2)FG =2;(3).【解析】分析：（1）由AB是 O的直径，弦CDAB，根据垂径定理可得：弧AD=弧AC，DG=CG，继而证得ADFAED；（2）由 ,CF=2，可求得DF的长，继而求得CG=DG=4，则可求得FG=2；（3）由勾股定理可求得AG的长，即可求得tanADF的值，继而求得tanE= .本题解析：AB是O的直径，弦CDAB， DG=CG，ADF=AED，FAD=DAE（公共角），ADFAED； ，CF=2，FD=6，CD=DF+CF=8，CG=DG=
12、4，FG=CG-CF=2； AF=3，FG=2，AG=，点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识点，考查内容较多，综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合的思想.7如图，已知：AB是O的直径，点C在O上，CD是O的切线，ADCD于点D，E是AB延长线上一点，CE交O于点F，连接OC、AC（1）求证：AC平分DAO（2）若DAO=105，E=30求OCE的度数；若O的半径为2，求线段EF的长【答案】（1）证明见解析；（2）OCE=45；EF =-2.【解析】【试题分析】（1）根据直线与O相切的性质，得OCCD. 又因为ADCD，根据同一平面内，垂直于
13、同一条直线的两条直线也平行，得：AD/OC. DAC=OCA.又因为OC=OA，根据等边对等角，得OAC=OCA.等量代换得：DAC=OAC.根据角平分线的定义得：AC平分DAO.（2）因为 AD/OC，DAO=105，根据两直线平行，同位角相等得，EOC=DAO=105，在 中，E=30，利用内角和定理，得：OCE=45. 作OGCE于点G，根据垂径定理可得FG=CG， 因为OC=，OCE=45.等腰直角三角形的斜边是腰长的 倍，得CG=OG=2. FG=2.在RtOGE中，E=30，得GE=， 则EF=GE-FG=-2.【试题解析】（1）直线与O相切，OCCD. 又ADCD，AD/OC.
14、DAC=OCA.又OC=OA，OAC=OCA.DAC=OAC.AC平分DAO.（2）解：AD/OC，DAO=105，EOC=DAO=105E=30，OCE=45. 作OGCE于点G，可得FG=CG OC=，OCE=45.CG=OG=2.FG=2. 在RtOGE中，E=30，GE=.EF=GE-FG=-2.【方法点睛】本题目是一道圆的综合题目，涉及到圆的切线的性质，平行线的性质及判定，三角形内角和，垂径定理，难度为中等.8如图，AB为O的直径，且ABm（m为常数），点C为的中点，点D为圆上一动点，过A点作O的切线交BD的延长线于点P，弦CD交AB于点E（1）当DCAB时，则 ；（2）当点D在上移
15、动时，试探究线段DA，DB，DC之间的数量关系；并说明理由；设CD长为t，求ADB的面积S与t的函数关系式；（3）当时，求的值【答案】（1）；（2）DA+DBDC，St2m2 ；（3）.【解析】【分析】（1）首先证明当DCAB时，DC也为圆的直径，且ADB为等腰直角三角形，即可求出结果；（2）分别过点A，B作CD的垂线，连接AC，BC，分别构造ADM和BDN两个等腰直角三形及NBC和MCA两个全等的三角形，容易证出线段DA，DB，DC之间的数量关系；通过完全平方公式（DA+DB）2DA2+DB2+2DADB的变形及将已知条件ABm代入即可求出结果；（3）通过设特殊值法，设出PD的长度，再通过相
16、似及面积法求出相关线段的长度，即可求出结果【详解】解：（1）如图1，AB为O的直径，ADB90，C为的中点，ADCBDC45，DCAB，DEADEB90，DAEDBE45，AEBE，点E与点O重合，DC为O的直径，DCAB，在等腰直角三角形DAB中，DADBAB，DA+DBABCD，； （2）如图2，过点A作AMDC于M，过点B作BNCD于N，连接AC，BC，由（1）知，ACBC，AB为O的直径，ACBBNCCMA90，NBC+BCN90，BCN+MCA90，NBCMCA，在NBC和MCA中，NBCMCA（AAS），CNAM，由（1）知DAEDBE45，AMDA，DNDB，DCDN+NCDB+
17、DA（DB+DA），即DA+DBDC；在RtDAB中，DA2+DB2AB2m2，（DA+DB）2DA2+DB2+2DADB，且由知DA+DBDCt，（t）2m2+2DADB，DADBt2m2，SADBDADBt2m2，ADB的面积S与t的函数关系式St2m2；（3）如图3，过点E作EHAD于H，EGDB于G，则NEME，四边形DHEG为正方形，由（1）知，ACBC，ACB为等腰直角三角形，ABAC，设PD9，则AC20，AB20，DBADBA，PABADB，ABDPBA，DB16，AD12，设NEMEx，SABDADBDADNE+BDME，121612x+16x，x，DEHEx，又AOAB10
18、，【点睛】本题考查了圆的相关性质，等腰直三角形的性质，相似的性质等，还考查了面积法及特殊值法的运用，解题的关键是认清图形，抽象出各几何图形的特殊位置关系9在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形W，如果以P为端点的任意一条射线与图形W最多只有一个公共点，那么称点P独立于图形W（1）如图1，已知点A（-2，0），以原点O为圆心，OA长为半径画弧交x轴正半轴于点B在P1（0，4），P2（0，1），P3（0，-3），P4（4，0）这四个点中，独立于的点是 ；（2）如图2，已知点C（-3，0），D（0，3），E（3，0），点P是直线l：y=2x+8上的一个动点若点P独立于折线CD-DE，求点P的横坐标
19、xp的取值范围；（3）如图3，H是以点H（0，4）为圆心，半径为1的圆点T（0，t）在y轴上且t-3，以点T为中心的正方形KLMN的顶点K的坐标为（0，t+3），将正方形KLMN在x轴及x轴上方的部分记为图形W若H上的所有点都独立于图形W，直接写出t的取值范围【答案】（1）P2，P3；（2）xP-5或xP-（3）-3t1-或1+t7-【解析】【分析】（1）根据点P独立于图形W的定义即可判断；（2）求出直线DE，直线CD与直线y=2x+8的交点坐标即可判断；（3）求出三种特殊位置时t的值，结合图象即可解决问题.【详解】（1）由题意可知：在P1（0，4），P2（0，1），P3（0，-3），P4（4
20、，0）这四个点中，独立于的点是P2，P3（2）C（-3，0），D（0，3），E（3，0），直线CD的解析式为y=x+3，直线DE的解析式为y=-x+3，由，解得，可得直线l与直线CD的交点的横坐标为-5，由，解得，可得直线l与直线DE的交点的横坐标为-，满足条件的点P的横坐标xp的取值范围为：xP-5或xP-（3）如图3-1中，当直线KN与H相切于点E时，连接EH，则EH=EK=1，HK=，OT=KT+HK-OH=3+-4=-1，T（0，1-），此时t=1-，当-3t1-时，H上的所有点都独立于图形W如图3-2中，当线段KN与H相切于点E时，连接EHOT=OH+KH-KT=4+-3=1+，T（
21、0，1+），此时t=1+，如图3-3中，当线段MN与H相切于点E时，连接EHOT=OM+TM=4-+3=7-，T（0，7-），此时t=7-，当1+t7-时，H上的所有点都独立于图形W综上所述，满足条件的t的值为-3t1-或1+t7-【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，一次函数的应用，点P独立于图形W的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决实际问题.10如图，已知等边ABC，AB=16，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DFAC，垂足为F，过点F作FGAB，垂足为G，连结GD（1）求证：DF是O的切线；（2）求FG的长；（3）求tanF
22、GD的值【答案】(1)证明见解析；（2）6；（3）【解析】试题分析：(1)连接OD，根据等边三角形得出A=B=C=60，根据OD=OB得到ODB=60，得到ODAC，根据垂直得出切线；(2)根据中位线得出BD=CD=6，根据RtCDF的三角函数得出CF的长度，从而得到AF的长度，最后根据RtAFG的三角函数求出FG的长度；(3)过点D作DHAB，根据垂直得出FGDH，根据RtBDH求出BH、DH的长度，然后得出GDH的正切值，从而得到FGD的正切值.试题解析：(1)如图，连结OD， ABC为等边三角形， CAB60，而ODOB， ODB是等边三角形，ODB60， ODBC，ODAC，DFAC，ODDF，DF是O的切线(2)ODAC，点O为AB的中点，OD为ABC的中位线，BDCD6.在RtCDF中，C60，CDF30，CFCD3，AFACCF1239 在RtAFG中，A60，FGAFsinA9(3)如图，过D作DHAB于H.FGAB，DHAB，FGDH，FGDGDH.在RtBDH中，B60，BDH30，BHBD3，DHBH3.tanGDH，tanFGDtanGDH考点：(1)圆的基本性质；(2)三角函数.
