1、二次函数专题复习 考点1：二次函数的图象和性质一、考点讲解：1二次函数的定义：形如（a0，a，b，c为常数）的函数为二次函数2二次函数的图象及性质： 二次函数y=ax2 (a0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y轴；当a0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a越小，抛物线开口越大y=a(xh)2k的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）。 二次函数的图象是一条抛物线顶点为（，），对称轴x=；当a0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x，y随x的增大而增大，x，y随x的增大而减小；当a0时，抛物线开口向下，图象有最高点，且x，y随x的增大而减小，x，
2、y随x的增大而增大 注意：分析二次函数增减性时，一定要以对称轴为分界线。首先要看所要分析的点是否是在对称轴同侧还是异侧，然后再根据具体情况分析其大小情况。解题小诀窍：二次函数上两点坐标为（），（），即两点纵坐标相等，则其对称轴为直线。 当a0时，当x=时，函数有最小值；当a0时，当 x=时，函数有最大值。3图象的平移：将二次函数y=ax2 (a0）的图象进行平移，可得到y=ax2c，y=a(xh)2，y=a(xh)2k的图象 将y=ax2的图象向上(c0）或向下(c 0）平移|c|个单位，即可得到y=ax2c的图象其顶点是（0,c），形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax2相同 将y=ax2的
3、图象向左（h0）或向右(h0）平移|h|个单位，即可得到y=a(xh)2的图象其顶点是（h，0），对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2相同 将y=ax2的图象向左（h0)或向下(k0)平移|k|个单位，即可得到y=a(xh)2 +k的图象，其顶点是（h，k），对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2相同 注意：二次函数y=ax2 与y=ax2 的图像关于x轴对称。平移的简记口诀是“上加下减，左加右减”考点二：二次函数图象上点的坐标特点1 （2012常州）已知二次函数y=a（x-2）2+c（a0），当自变量x分别取、3、0时，对应的函数值分别：y1，y2，y3，则y1
4、，y2，y3的大小关系正确的是（）Ay3y2y1 By1y2y3 Cy2y1y3 Dy3y1y2 2、（2012衢州）已知二次函数y=x2-7x+，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0x1x2x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是（）Ay1y2y3 By1y2y3 Cy2y3y1 Dy2y3y1 3、（2012咸宁）对于二次函数y=x2-2mx-3，有下列说法：它的图象与x轴有两个公共点；如果当x1时y随x的增大而减小，则m=1；如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1； 如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为-3其中正确的
5、说法是 4、.抛物线y=4(x+2)2+5的对称轴是_ 2、函数y= x24的图象与y 轴的交点坐标是（ ）5、如果将抛物线向右平移2个单位，向下平移3个单位，平移后二次函数的关系式是（ 6、已知直线y=x与二次函数y=ax2 2x1的图象的一个交点 M的横标为1，则a的值为（ ） 7、抛物线y=x2x5的顶点坐标是（ ）直线y=x+2与抛物线y=x2 +2x的交点坐标为_8、二次函数的图象上有两点(3，8)和(5，8)，则此拋物线的对称轴是9、已知点P (a，m）和 Q(0，m）是抛物线y=2x2+4x3上的两个不同点，则a+b=_10已知二次函数(a0）与一次函数y=kx+m(k0）的图象
6、相交于点A（2，4）,B(8，2)，如图127所示，能使y1y2成立的x取值范围是_11、若直线 y=ax6与抛物线y=x24x+3只有一个交点，则a的值为（ ）12、已知M、N两点关于 y轴对称，且点 M在双曲线 y= 上，点 N在直线上，设点M的坐标为(a，b)，则抛物线y=abx2+(ab）x的顶点坐标为_.考点三：抛物线的特征与a、b、c的关系一、考点讲解：1、a的符号：a的符号由抛物线的开口方向决定抛物线开口向上，则a0；抛物线开口向下，则a02、b的符号由对称轴决定，若对称轴是y轴，则b=0；若抛物线的顶点在y轴左侧，顶点的横坐标0，即0，则a、b为同号；若抛物线的顶点在y轴右侧，
7、顶点的横坐标0，即0则a、b异号即“左同右异”3c的符号：c的符号由抛物线与y轴的交点位置确定若抛物线交y轴于正半，则c0，抛物线交y轴于负半轴则c0；若抛物线过原点，则c=04的符号：的符号由抛物线与x轴的交点个数决定若抛物线与x轴只有一个交点，则=0；有两个交点，则0没有交点，则0 5、a+b+c与ab+c的符号：a+b+c是抛物线(a0）上的点(1，a+b+c）的纵坐标，ab+c是抛物线(a0）上的点（1，abc）的纵坐标根据点的位置，可确定它们的符号.1、（2012玉林）二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，其对称轴为x=1，有如下结论：c1；2a+b=0；b24ac；若
8、方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=2，则正确的结论是（） A B C D2（2012重庆）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示对称轴为x=下列结论中，正确的是（） Aabc0 Ba+b=0 C2b+c0 D4a+c2b 3已知二次函数的图象与x轴交于点（2，0），(x1，0)且1x12，与y轴正半轴的交点连点(0，2）的下方，下列结论：ab0；2a+c0；4a+c0)的两实根分别为，且，则，满足 A. 12 B. 12 C. 12 D.217、（2010安徽蚌埠）已知抛物线经过点A(4,0)。设点C（1，-3），请在抛物线的对称轴上确定一点D,使得的值
9、最大，则D点的坐标为。18、抛物线y= (x1)2+2关于x轴对称的抛物线的解析式是_ 关于y轴对称的抛物线的解析式是_关于原点中心对称的抛物线的解析式是_ 关于顶点中心对称的抛物线(或绕顶点旋转180)的解析式是_解答题1、（2009年重庆市江津区）如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及PBC的面积最大值.若
10、没有，请说明理由.2、如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120至OB的位置（1）求点B的坐标； （2）求经过点AO、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由3、（2009威海）如图，在直角坐标系中，点A,B,C的坐标分别为（-1，0），（3，0）。（0，3），过A,B,C三点的抛物线的对称轴为直线，D为对称轴上一动点（1） 求抛物线的解析式；（2） 求当AD+CD最小时点的坐标；（3） 以点为圆心，以为半径作A证明：当AD+CD最小时，直线BD与A相切写出直线BD与
11、A相切时，D点的另一个坐标：_4、（2010山东聊城）如图，已知抛物线yax2+bx+c（a0）的对称轴为x1，且抛物线经过A（1，0）、C（0，3）两点，与x轴交于另一点B（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在抛物线的对称轴x1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使PCB90的点P的坐标5、（2011广东肇庆，（25，10分）已知抛物线（0）与轴交于、两点 （1）求证：抛物线的对称轴在轴的左侧；（2）若（是坐标原点），求抛物线的解析式；6、（2009年济南）已知：抛物线的对称轴为与轴交于两点，与轴交于点其中、 （1）求这条抛物线的函数表达式（2）已知在对称轴上存在一点P，使得的周长最小请求出点P的坐标（3）若点是线段上的一个动点（不与点O、点C重合）过点D作交轴于点连接、设的长为，的面积为求与之间的函数关系式试说明是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由7已知抛物线yax2bxc经过A(1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴 (1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由
