1、平行四边形专题知识点+常考题型+重难点题型（含详细答案）一、目录一、目录1二、基础知识点21.平行四边形的定义22.平行四边形的性质33.平行四边形的判定定理74.三角形中位线定理10三、重难点题型141.平行四边形的共性142.平行四边形间距离的应用163.与平行四边形有关的计算174.与平行四边形有关的证明19二、基础知识点1.平行四边形的定义平行四边形：两组对边分别平行的四边形。平行四边形ABCD记作“ABCD”注：只要满足对边平行的四边形都是平行四边形。矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形例1.如图，ABCD中，DEAB，BFCD，垂足分别为E，F求证：BE=DF答案：四边形ABCD
2、为平行四边形 ADCB，AD=CB DEAB，BFCD DEA=CFB ADECFB AE=CF DC=AB BE=DF例2.在平面直角坐标系中，有A（0,1），B（-1,0），C（1,0）三点，若点D与A，B，C构成平行四边形，求D的坐标。（3解）答案：如下图，有三种情况，坐标分别为： （0，1）；（2,1）；（2,1）2.平行四边形的性质性质1（边）：平行四边形的对边相等（AB=CD，AC=BD）证明：CAD=ADB DAB=ADC AD=AD ACDDBA（ASA） AB=CD AC=BD性质2（角）：平行四边形对角相等，邻角互补（A=D，C=B；A+C=B+D=180）证明：ACDDB
3、A（ASA） 又CAB=CAD+DAB CDB=CDA+ADB CAB=CDB ABCD B+BDC=180性质3（对角线）：平行四边形对角线互相平分（AO=OC；BO=OD）证明：AD=BC OAD=OCB ODA=OBC AODCOB（ASA） AO=OC OB=OD注1：平行四边形对角线互相平分，但两对角线不一定相等解析：假设平行四边形对角线相等OAD=ADO=OBC=OCB OAB=OBA=OCD=CDO又DAB+CBA=180 DAB=ABC=BCD=CDA=90 仅在平行四边形的四个角为直角时（即矩形），对角线相等注2：对角线不一定平分角解析：假设平行四边形对角线平分角，则ADB=
4、BDC ACD=ACBDCB=BADACD=CAD又OD=ODAODCOD（AAS）AD=DC=BC=AB仅当平行四边形四条边相等时（即菱形），对角线平分角性质4：平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线交点。中心对称图形：一个图形绕中心点旋转180后与原图形重合。平行四边形的高：两条平行线之间的距离：一条直线上任一点到另一直线的距离平行四边形对边平行。一条边上任取一点作另一边的垂线，该垂线的长度称作平行四边形在该边上的高。例1.如图，在ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF=DE，连接AF，CE，求证：AF=CE。（平行四边形对角相等的性质）答案：
5、四边形ABCD是平行四边形 AB=DC ABD=BDC ABF=CDE 又BF=DE FBAEDC AF=CE例2.如图，在ABCD中，点E为边CD上的一点，将ADE沿AE折叠至AGE处，AG与CE交于点F。若B=52，DAE=20，求FEG的大小。（平行四边形对角线互相平分的性质）答案：D=B=52 DAE=20 AED=108=AEG 设CEG=x，则AEF=108x 则：108+108x=180 解得：x=36例3.如图，ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC+BD=16，CD=6，求ABO的周长。答案：四边形ABCD是平行四边形 AO=AC BO= AC+BD=16 AO+OB=8
6、 CD=6 AB=CD=6 ABO的周长为8+6=143.平行四边形的判定定理判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。证明：AD=BC AB=CD AC=AC ABCCDA（SSS） DAC=ACB ADBC 同理ABDC 四边形ABCD是平行四边形判定定理2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 证明：A=C B=D 又四边形内角和为360 A+D=180 ABBC 同理ADBC 四边形ABCD是平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形证明：AO=OC BO=OD AOB=DOC ABCCOD（SAS） AB=CD 同理AD=BC 根据判定定理1 四边形ABCD为
7、平行四边形判定定理4：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形 证明：ADBC DAC=ACB AC=AC BC=AD ACDCAB（SAS） AB=CD AD=BC 四边形ABCD是平行四边形平行四边形判定方法总结：定义：两组对边分别平行的四边形 即：ABCD，ADBC判定1：对边相等 即：AD=BC，AB=CD判定2：对角相等 即：BAD=DCB，ABC=CDA判定3：对角线相互平分 即：AO=OD，BO=OD判定4：一组对边平行且相等例1. 下列命题中，真命题有： A对角线互相平分的四边形是平行四边形 B两组对角分别相等的四边形是平行四边形 C一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边
8、形答案：AB C不能判断。同一组对边平行且相等，才能判断为平行四边形例2.如图，在ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点作AEBD，CFBD，垂足分别为点E，F，延长AE、CF分别交CD，AB于点M，N。（1）求证：四边形CMAN是平行四边形（2）已知DE=4，FN=3，求BN的长。答案：（1）AMBD，CNBD AMCN 四边形ABCD为平行四边形 MCAN 四边形ANCM为平行四边形 （2）MC=AN DM=NB DCAB MDB=ABD 四边形AMNC为平行四边形 NFB=MED DEMBFN FB=4 BN=54.三角形中位线定理两三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段（三条
9、）三角形中位线定理：中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。证明： 作CFAB交DE延长线于点FADF=CFD FEC=AED AE=AE ADFCFE（AAS） DE=EF AD=CF=BD DBCF 四边形DBCF为平行四边形 DF=BC DEBC例1.如图，在ABC中，BCAC，点D在BC上，且DC=AC，ACB的角平分线CF交AD于点F，点E是AB的中点，连接EF。求证：EFBC。答案：AC=DC，CF为ABC的角平分线 CF在等腰三角形ACD中为“三线合一” CF为ADC以AD为底的中线 EF为ABD的中位线 EFBC例2.如图，已知AO是ABC的BAC的角平分线，DBAO交AO的延
10、长线于点D，点E是BC的中点。求证：DE=（AB-AC）。答案：延长AC、BD交于点F AO是BAC角平分线 BAD=DAF DBAO ADB=ADF=90 又AD=AD ADBADF AB=AF，BD=DF E是BC中点 DE是BFC中位线 DE DE=（AB-AC）例3.如图，在ABC中，AO平分BAC，BDAO交AO的延长线于点D。若AO=AC，求证：AD=（AB+AC）。 答案：延长AD至点E，使DE=AD，连接BE，如下图 BD为AE中线 AB=BE E=BAD=CAD AOD=ACO=AOC EOB=EBO EB=OE AD=（AB+AC）三、重难点题型1.平行四边形的共性方法：平
11、行四边形+一个条件，推导菱形和矩形；平行四边形+两个条件，推导正方形；菱形（矩形）+一个条件，推导正方形。例1.平行四边形的共性:两组对边分别平行且相等，对角相等，对角线互相平分.思考：添加什么条件，可以把平行四边形“变成”菱形呢？添加什么条件，可以把平行四边形“变成”矩形呢？答案：菱形可增加的条件为：ACBD；AD=DC；ADB=BDC矩形可增加的条件为：AC=BD；ADC=90例2.如图，在菱形中，点是边的中点，点边上的一个动点（不与点重合），延长交的延长线于点，连接（1）求证：四边形是平行四边形（2）当的值为何值时，四边形是矩形；当的值为何值时，四边形是菱形答案：（1）NED=AEM A
12、E=DE DNE=EMA DNEAME ND=AM NDAM 四边形AMDN为平行四边形 （2）四边形MADE为矩形 AMD=90 AD=2，DAB=60 AM=1 （2）四边形AMDN为菱形 MNAD AE=1，EAM=60 AM=2例3.如图，将平行四边形的边延长到，使，连接交于，当n为何值时，四边形是矩形。答案：四边形ABEC为矩形 ACDE EC=CD AC为等腰三角形AED的“三线合一”线段 ABEC为矩形 EF=FC AEC=FCE AFC=AEC+FCE n=22.平行四边形间距离的应用方法：同底等高的平行四边形（三角形）面积相等。同时注意，三角形面积是其同底等高平行四边形的一半
13、。例1.如图，点E是ABCD的一边AD上任意一点，若EBC的面积为S1，ABCD的面积为S2，求两者的数量关系。答案：过E作BC的垂线EF，交BC于点F S1= 又S2= S2=2S1例2.平行四边形两邻边分别为20和16，若两较长边之间的距离为8，求较短边之间的距离。：答案：设较短边之间的距离为h 知平行四边形的面积为：底边高 208=16h 解得：h=10例3.如图，直线ab，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，且AB：CD=1:2，若ABC的面积为6，求BCD的面积。答案：设a、b两直线间的距离为h ABC的面积为： BCD的面积为： AB：CD=1:2 =1:2 =6 =123.与
14、平行四边形有关的计算方法：利用平行四边形的定义以及其边和角的性质来解题，必要的时需要列方程或方程组来求出其解。例1.如图，在ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，求DF的长。答案：四边形ABCD为平行四边形 2AO=2CO=AC，OB=OD BDAB 又RtABO中，AB=12cm，AO=13cm BO=5cm BD=10cm 在RtABD中，AB=12cm，BD=10cm AD=2cm AB=CD=12cm，AD=BC=2cm例2.已知平行四边形ABCD的周长为52，自顶点D作DEAB，DFBC，E、F为垂足，若DE=5，DF=8，求BE+
15、BF的长。答案：两种情况，如下图1和图2所示：图1 图2 DEAB，DFBC ABDE=BCDF AB：BC=8:5 又2（AB+BC）=52 AB=16，BC=10 AE=，CF=8情况一：如图1，若A为锐角 810，F点在CB的延长线上 BF=810 BE+BF=（16）+（810）=6+3情况二：如图2，若DAB为钝角 则BE+BF=（16+）+（8+10）=26+134.与平行四边形有关的证明方法：探索性问题，可以先凭借特殊情况猜出答案，然后在通过严格的论证求解出来。例1.在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，点E在边BC上，点F在边AD上，AF=CE，EF与对角线BD相较于点O
16、。求证：点O是BD的中点。答案：如下图，连接FB、DE AB=DC，AD=BC 四边形ABCD是平行四边形 FDBE AD=BC，AF=CE FD=BE 四边形FBED是平行四边形 OB=OD，即点O是BD的中点例2.如图，在RtABC中，BAC=90，ADBC于D，BG平分ABC交AD于E，EFBC且交AC于F，求证：AE=CF。答案：如下图，作GHBC交BC于点H，连接EH BG是ABH的平分线 AG和ED互相平分，GA=GH ABGHBG AB=HB 在ABR和HBE中，ABE=CBE，BE=BE，AB=HB ABEHBE AE=EH，BEA=BEH ADGH AEG=BGH 又AEG=GEH，AGB=BGH AGB=GEH EHAC EFHC 四边形EHCF是平行四边形 FC=EH=AC例3.有一块形状为平行四边形的铁片ABCD，其中AB=2AD。现在想用这块铁片截一个直角三角形并且希望以AB为斜边，直角顶点在CD上，问此想法是否可行？如果可行的话，请说明应该怎么截。答案：如下图，可以截出符合要求的三角形。 取CD的中点M，连接AM、BM，则AMB满足要求。 四边形ABCD为平行四边形 AB=CD，AD=BC AB=2AD，DM=CM= AD=DM，BC=CM DAM=DMA，BMC=MBC AMD+BMC= D+C=180 AMD+BMC=90
