1、2015年全国高中数学联赛模拟试题01第一试一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.设，则_.2. 设，若的非空子集个数为1，则实数的取值范围是 3.设是满足的点构成的区域，则区域的面积为_.（其中表示不超过实数的最大整数）.4.二元函数的最大值为_ 5. 已知是双曲线上靠近点的一个顶点若以点为圆心，长为半径的圆与双曲线交于3个点，则的取值范围是 6.甲、乙两人玩游戏，规则如下：第奇数局，甲赢的概率为，第偶数局，乙赢的概率为.每一局没有平局，规定：当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多2次时游戏结束.则游戏结束时，甲乙两人玩的局数的数学期望为_.7.设五边形满足，则的最小值为 8.
2、过正四面体的顶点作一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面所成的角为.这样的截面共可作出 个 .二、解答题：本大题共3小题，共56分.9.（本小题满分16分）.试求实数的取值范围，使得是不等式的最小整数解.10.（本小题满分20分）、数列定义为，. 求证：数列为整数列； 求证：是完全平方数.11.（本小题满分20分）已知S,P(非原点)是抛物线y=x2上不同的两点,点P处的切线分别交x,y轴于Q,R.(1)若,求的值;(2)若,求PSR面积的最小值.2015年全国高中数学联赛模拟试题01加试一、（本小题满分40分）一、如图，设为的一个交点，直线切分别于，为的外心，关于的对称点为，为的中点.求
3、证：. 二、（本小题满分40分）设.证明:对任意mN*,存在nN*,使得Sn=m.三、（本小题满分50分）试求所有的正整数，使得存在正整数数列，使得和互不相同，且模4意义下各余数出现的次数相同.四、（本小题满分50分）集合是由空间内2014个点构成，满足任意四点不共面.正整数满足下列条件：将任意两点连成一条线段，并且在此线段上标上一个的非负整数，使得由中顶点构成的任何一个三角形，一定有两边上的数字是相同的，且这个数字小于第三边上的数字.试求的最小值.2015全国高中数学联赛模拟试题02一、 填空题（每小题8分，共64分）1. 在如下图所示的正方体中，二面角等于 （用反三角函数表示）2. 如果三
4、角形的三个内角满足依次成等差数列，则角的最大值是 3.实数列满足条件：，则通项公式 。4.是椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点，如果的面积为1，则 5.在同一直角坐标系中，函数与其反函数的图像恰有三个不同的交点，则实数的取值范围是 6. 已知正实数与非负实数满足(1) ;(2) ，则 的最大值为_7. 已知20块质量为整数克的砝码可称出克的物品，砝码只能放在天平一端，则最大砝码质量最小值为_克8.设是定义在区间上的函数，则函数的图像与轴所围成图形的面积是 二、 简答题（本大题共3小题，共56分）9. （16分）设数列的前项和组成的数列满足，已知求数列的通项公式。10. （20分）设是多项式方程的
5、三个根。（1）已知都落在区间之中，求这三个根的整数部分；（2）证明：11. （20分）如下图，椭圆是椭圆上的两点，直线是上的一个动点，是过点且与相切的直线，分别是直线与，与，与的交点，求证：三条直线和共点。2015全国高中数学联赛模拟试题02一（本题满分40分）对任意实数，定义运算“”为：在直角坐标系中，设点集，求所对应的平面区域的面积二（本题满分40分）如图，在中，为的垂心，M为边BC的中点，点在边上且满足，点在直线上的射影为.证明：的外接圆与的外接圆相切.三（本题满分50分）整数满足.求的最小值,并求出一切达到最小值的四元数组四（本题满分50分）设整数,，对，记为满足，的数组的个数，类似定
6、义，.证明：.2015全国高中数学联赛模拟试题03一试一、填空题（每小题8分，共64分）1.已知函数，若实数满足，则的取值范围是_2.函数满足，则的最大值为 3.设复数，（），则当取到最小值时，_4.有一个顶点在下且底面呈水平状的圆锥形容器，轴截面是边长为6的正三角形，容器里装满了水，现有一个正四棱柱，底面边长为，高为，竖直地浸在容器里，为了使容器溢出的水最多，a的值应取为 5.在中，是所在平面上任意一点，则的最小值是_6. 正数列满足: (为前项之和),则=_7.设过点的直线与抛物线交于点，与圆交于点，若且，则这样的直线的条数是 8. 6名男生和名女生随机站成一排，每名男生都至少与另一男生相
7、邻.至少有名男生站在一起的概率为，若，则的最小值为 二、简答题（本大题共3小题，共56分）9.已知正数数列满足：（），且，求的通项公式10.二次函数的图像开口向上，与轴正向交于两点，与轴交于点，以为顶点，若三角形的外接圆与轴相切，且，则时，求的最小值11、已知圆（）与椭圆有公共点，求圆的半径的最小值2015全国高中数学联赛模拟试题03加试一（本题满分40分）如图，圆、圆与圆相交于点，圆和圆的另一个交点为，经过点的一条直线分别交圆、圆于点、，的延长线交圆于点，作交圆于点，再作、分别切圆、圆于、求证：二、（本题满分40分）若数列是项为非负整数的不减数列，且满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，
8、记这样的的个数为，则得到一个新数列，如此可定义数列等求证：三、（本题满分50分）证明：存在无穷多个素数，使得对于这些素数中的每一个，至少存在一个，满足：四、（本题满分50分）平面上有（）个半径相同的圆，其中任意两个圆都不相切，任意一个圆至少与另外三个圆相交设这些圆的交点个数为，求的最小值2015年全国高中数学联赛模拟试题04第一试（时间：8:00-9:20 满分：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1. 集合与恰有一个公共元为正数，则 2.若函数在区间上递增，则的取值范围是_.3.已知，且，则的最大值为_.4.在单调递增数列中，已知，且，成等差数列，成等比数列，.那么，_
9、.5. 已知点是空间直角坐标系内一定点，过作一平面与三坐标轴的正半轴分别交于三点，则所有这样的四面体的体积的最小值为 6.在中，角的对边为，又知，则的面积为 7. 已知过两抛物线，的交点的各自的切线互相垂直，则实数a的值为 8.若整数既不互质，又不存在整除关系，则称是一个“联盟”数对；设是集的元子集，且中任两数皆是“联盟”数对，则的最大值为 二、解答题：本大题共3小题，共56分.9. （本小题满分16分）设数列满足求证：（1） 当时，严格单调递减（2） 当时，这里10. （本小题满分20分）设椭圆与抛物线有一个共同的焦点，为它们的一条公切线，、为切点，证明： 11. （本小题满分20分）求证：
10、（1）方程恰有一个实根，并且是无理数； （2）不是任何整数系数二次方程的根2015年全国高中数学联赛模拟试题04加试（时间：9:40-12:10 满分：180）一、（本小题满分40分）如图，在锐角 中， 、 分别是边 、 的中点， 的外接圆与 的外接圆交于点 （异于点 ）， 的外接圆与 的外接圆交于点 （异于点 ）。求证： .二、（本小题满分40分）求所有素数，使得三、（本小题满分50分）设n是一个正整数，是4n1个正实数，使得令，证明：四、（本小题满分50分）n个棋手参加象棋比赛，每两个棋手比赛一局规定胜者得1分，负者得0分，平局各得0.5分如果赛后发现任何m个棋手中都有一个棋手胜了其余m1
11、个棋手，也有一个棋手输给了其余m1个棋手，就称此赛况具有性质P（m）对给定的m（m4），求n的最小值f（m），使得对具有性质P（m）的任何赛况，都有所有n名棋手的得分各不相同2015年全国高中数学联赛模拟试题05第一试（时间：8:00-9:20 满分：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.函数的值域是 2.函数在中的零点个数为 3.设是平面上的两点,是关于的对称点,是关于的对称点,若,则 4.设动点,其中参数,则线段扫过的平面区域的面积是 5.从正十二边形的顶点中取出4个顶点,它们两两不相邻的概率是 6.一个球外接于四面体，另一半径为1的球与平面相切，且两球内切于点，已
12、知,，则四面体的体积为 8. 用表示非空整数集S中所有元素的和，设是正整数集，且，若对每个正整数，存在A的子集S，使得，则满足上述要求的的最小值为 二、解答题：本大题共3小题，共56分.9. （本小题满分16分）已知是正实数,求证:10. （本小题满分20分）设是不同的正实数.证明：是一个等比数列的充分必要条件是：对所有整数，都有11. （本小题满分20分）已知直线与椭圆C：交于两点，过椭圆C的右焦点、倾斜角为的直线交弦于点，交椭圆于点（1）用表示四边形的面积；（2）求四边形的面积取到最大值时直线的方程2015年全国高中数学联赛模拟试题05加试（时间：9:40-12:10 满分：180）一、（
13、本小题满分40分）如图，的外心为，是的中点，直线交于，点分别是的外心与内心，若，证明：为直角三角形.二、（本小题满分40分）对给定的自然数与，任意一个由个连续整数组成的集合都含有两个不同的数，它们的乘积能被整除三、（本小题满分50分）求证：数列的每一项都是整数，但都不是3的倍数四、（本小题满分50分）圆周上有个点，用弦两两连结起来，其中任何3条弦都不在圆内共点，求由此形成的互不重叠的圆内区域的个数2015全国高中数学联赛模拟试题06一试二、 填空题（每小题8分，共64分）1.函数的值域是 .2. 已知成等比数列，成等差数列，则该等差数列的公差为 3.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等
14、于 .4.设椭圆与双曲线相切，则 .5.设是复数，则的最小值等于 .6.设，是实数，若方程的三个非负实根构成公差为1的等差数列，则的最大值是 .7.设是的内心，动点的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于 .8.从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三角形的概率是 .三、 简答题（本大题共3小题，共56分）9已知整数列满足，前项依次成等差数列，从第项起依次成等比数列 (1) 求数列的通项公式； (2) 求出所有的正整数，使得10. 已知函数及满足下列条件：（1）成等差数列；（2）为方程的一个根，（3）为方程的两个不相等的实根；（4）求及的度数11.过抛物线的焦点做直线与抛物线交于（1）求证：不是直
15、角三角形；（2）当斜率为时，抛物线上是否存在点使得为直角三角形，若存在，求出所有的点；若不存在，说明理由2015全国高中数学联赛模拟试题06加试一（本题满分40分）如图，在中，是的外接圆，过点作的切线交延长线于点，过点作的两条垂线分别与的中垂线交于点.求证：三点共线二、（本题满分40分）已知无穷正数数列满足：（1）存在，使得；（2）对任意正整数均有，求证：三、（本题满分50分）设满足：，集合，如果，求证：（其中表示不超过的最大整数） 四、（本题满分50分）求所有的自然数，使得存在的一个置换满足：集合和均为的完全剩余系2015年全国高中数学联赛模拟试题07第一试（时间：8:00-9:20 满分：
16、120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.若函数=的图像关于直线对称，则的最大值是 2.设在3,4上至少有一个零点，则的最小值为 3.设直线与曲线有三个不同的交点,且,则直线的方程为_4.椭圆的左焦点为，在椭圆上且满足，则的最大值为 5设实数满足条件，其中，则的最大值是 。6若是边长为的正三角形的边上的点，与的内切圆半径分别为，若，则满足条件的点有两个，分别设为，则之间的距离为 7.三棱锥A-BCD 中,BCD、ACD 均为边长为2 的正三角形, BCD 在平面内，侧棱AB=现对其四个顶点随机贴上写有数字1 至8 的8 个标签中的4 个,并记对应的标号为,(取值为A、B、C
17、、D),E 为侧棱AB 上一点若|BE|: |EA|=f(B)：f(A),则二面角E-CD-A 的平面角大于的概率为 8设方程（为奇数）的个根为，则 二、解答题：本大题共3小题，共56分.9. 如图，已知抛物线C：，过点A（1，2）作抛物线C的弦AP，AQ.（1）若APAQ,证明：直线QP过定点，并求出定点坐标；（2）假设直线PQ过点T (5,-2)，请问是否存在以PQ为底边的等腰三角形APQ？若存在，求出QAP的个数，若不存在请说明理由10.求正整数和使得，且+=111.设为一个正整数，证明：存在实数和，使得对所有的实数均成立。2015年全国高中数学联赛模拟试题07加试（时间：9:40-12
18、:10 满分：180）一、（本小题满分40分）在中，点是边上旁切圆圆心关于中点的对称点，点是边上旁切圆圆心关于中点的对称点，边上旁切圆切边于点求证：（边上旁切圆指与的延长线及线段均相切的圆）二、（本小题满分40分）若非空集合满足，则称为级好集合记为级好集合的个数（其中表示集合的元素个数，表示集合的最小元素）求证：对一切正整数，都有三、（本题满分50分）（1）设为奇质数，不整除则（2）是不同的正有理数，使得存在无穷多个正整数是正整数，求证：也是正整数四、（本题满分50分）设且是任意的和为正数的n个不同的实数。 是这n个数的一个排列，若对，有。我们就称是一个“好排列”。求“好排列”个数的最小值。2
19、015年全国高中数学联赛模拟试题08第一试（时间：8:00-9:20 满分：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.不等式的解集是 2.适当排列三个正实数使得它们取常用对数后构成公差为1的等差数列，则的值等于 3.已知空间四边形的对角线分别是的中点，若异面直线所成角为，则 4.在中，设且，则 5.设为圆上一定点，点在该圆的内部或圆周上，且是边长为的正三角形，则的最小值是 6.已知，则的取值范围是 7.过椭圆内一点作直线分别与椭圆交于点，过分别作椭圆的切线交于，过分别作椭圆的切线交于，则直线的方程是 8.正六边形的中心为，对这7个点中的任意两点，以其中一点为起点，另一点为终
20、点作向量，任取其中两个向量，它们的数量积的绝对值的数学期望是 二、解答题：本大题共3小题，共56分.9. 已知数列的通项公式为，数列满足：，且当时，其中证明：一定存在数列使得数列中的每个数均为完全平方数10.非负实数， 满足. 求的最大值.11.已知是抛物线上不同的三点，有两边所在的直线与抛物线相切，证明：对不同的为定值2015年全国高中数学联赛模拟试题08加试（时间：9:40-12:10 满分：180）一、（本小题满分40分）二、（本小题满分40分）三、（本题满分50分）四、（本题满分50分）2015年全国高中数学联赛模拟试题09第一试（时间：8:00-9:20 满分：120）一、填空题：本
21、大题共8小题，每小题8分，共64分.1. 方程的解集为(其中，是无理数，)则中的所有元素的平方和等于 2. 平面内有圆(如图)是直径，是上一点若，则二面角的平面角的余弦值是 3. 在一次网球比赛中，个女子和个男子参加，并且每个选手与其他所有选手恰好比赛一次，如果没有平局，女子胜的局数与男子胜的局数之比7：5，则 4. 设为非负实数，为正实数，且则的最小值是 5. 在双曲线上任取三点，则垂心的轨迹方程为 6.函数，. 过点作函数图像的切线，令各切点的横坐标构成数列，则数列的所有项之和的值为 7. 设一元三次方程的三根在复平面上所对应的点刚好组成一个正三角形，则此正三角形面积为 8.使得成立的最小
22、正整数是 二、解答题：本大题共3小题，共56分.9. 设是的整系数多项式有五个互不相同的整数根证明：方程没有整数根10. 已知数列求证：11.点是椭圆上的任意一点，直线截椭圆所得的弦被直线平分且满足. 的面积为，判断四边形的形状及直线与椭圆的公共点的个数，证明你的结论.2015年全国高中数学联赛模拟试题09加试（时间：9:40-12:10 满分：180）一、（本小题满分40分）已知是等腰三角形，是腰上的高线，的中点为求证： 二、（本小题满分40分）设实数满足，对正数，求证：三、（本题满分50分）是否存在正整数n1,使得1，2，3，n2能放在一个nn方格表内，使得每行的乘积是相同的？证明你的结论
23、四、（本题满分50分）给定个（5）互不相等的实数 ，所有的个和（1,）中互不相同的数恰好有个的充分必要条件是成等差数列2015年全国高中数学联赛模拟试题10第一试（时间：8:00-9:20 满分：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.若实数满足，且，则的值是 2. 已知集合，且，其中若任意，均有，则实数的最大值为 3. 复数满足，则等于 4. 已知，其中为整数，则 5. 表示、中较小的数，不等式的解集是 .6. 在四面体ABCD中，AD平面BCD，ABD=BDC=.已知E是BD上一点，满足CEBD且BE=AD=1.点D到平面ABC的距离为，则的值为 .7.设为抛物线上相
24、异两点，则的最小值为 8.电脑每秒钟以相同的概率输出一个数字或.则输出的前个数字之和被整除的概率为 .二、解答题：本大题共3小题，共56分.9在矩形中，为边的中点，设、分别、是上的动点，且满足，连接与交于点，求动点轨迹方程，并指出它的形状。10.设数列定义为 （1）证明：当时，（2）证明： 11. 已知，对任意实数均有，求使取最小值的所有实数对.2015年全国高中数学联赛模拟试题10加试（时间：9:40-12:10 满分：180）一、（本小题满分40分）如图，四边形内接于圆，延长线交于，延长线交于，为圆上任一点，分别交圆于，若对角线交于，求证：三点共线二、（本小题满分40分）给定实数，个复数满
25、足证明： 三、（本题满分50分）求具有下述性质的所有整数：存在无穷多个正整数使得不整除 四、（本题满分50分）给定整数，求最小的整数，使得存在两个由整数构成的集合，同时满足以下条件：（1），且；（2）对中任意两个不同元素有：当且仅当2015年全国高中数学联赛模拟试题11第一试（时间：8:00-9:20 满分：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1. 已知数列满足：则的最大值为 .2. 已知,则的值域为 .3. 不等式的解集是 4.单位正方体中，分别是棱的中点，则点到所在平面的距离为 5.不等式对所有满足的二次函数恒成立，则实数的最小值是 6.椭圆的左右焦点分别为为椭圆上不
26、与左右顶点重合的任意一点，点分别是的内心、重心.已知对任意点，恒垂直于轴，则椭圆的离心率为 7.已知方程在上有一根，则= 8.甲乙两人进行某种游戏比赛，规定每一次胜者得1分，负者得0分；当其中一人的得分比另一人的多2分时即赢得这场游戏，比赛随之结束；同时规定比赛次数最多不超过20次，即经20次比赛，得分多者赢得这场游戏，得分相等为和局已知每次比赛甲获胜的概率为（），乙获胜的概率为假定各次比赛的结果是相互独立的，比赛经次结束，则的期望的变化范围为 二、解答题：本大题共3小题，共56分.9已知，求证：10.设.(1)若，求及数列的通项公式；(2)若，问：是否存在实数使得?证明你的结论11.已知两条
27、直线点到直线的射影分别为，（1）求使成立的点的轨迹曲线；（2）若与曲线恰有7个交点，求的值2015年全国高中数学联赛模拟试题11加试（时间：9:40-12:10 满分：180）一、（本小题满分40分）设是给定的正整数，且.对于个实数，记的最小值为.若，试求的最大值二、（本小题满分40分）如图，设依次是一个圆上的六个点，满足，直线与交于点，直线与交于点，直线与交于点，直线与交于点，直线与交于点，点在线段上，使得.求证：.三、（本题满分50分）试确定所有同时满足的三元数组，其中为奇素数，为大于1的整数四、（本题满分50分）2015年全国高中数学联赛模拟试题12第一试（时间：8:00-9:20 满分
28、：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.已知实数满足，则的最大值为 2.从集合中任选个不同元素，考虑这个元素的两数和、三数和、四数和，这11个和中恰有两个和为0的概率为 3.设是两个给定的正数，且，如果对任意的，实数都满足，则称对于来说是“好数”.则满足条件的最大好数是 （用表示）4.球面上有四点，两两垂直，且，则球面面积的最小值为 5.设，则使得的展开式中有连续三项的系数成等差数列的最大整数为 6.记，则的最小值是 。7.已知满足，则 二、解答题：本大题共3小题，共56分.9. 已知线段为过抛物线焦点的弦，为原点，求的三边边长的平方和的取值范围10.设非负实数满足,试
29、求的最大值和最小值11.若递增正整数数列满足且（1）求数列的通项公式；（2）设其中是正整数，是无理数，求证：2015年全国高中数学联赛模拟试题12加试（时间：9:40-12:10 满分：180）一、（本小题满分40分）二、（本小题满分40分）三、（本题满分50分）四、（本题满分50分）2015年全国高中数学联赛模拟试题13第一试（时间：8:00-9:20 满分：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1若正实数满足和，则的值是 2如果ABC中，tanA, tan B，tanC都是整数，且A BC，则tan B= 3设，当时，的小数点后第一位数字是 4若，则的值是 5函数满足则
30、的值是 6在四面体ABCD内部有一点O，满足OA=OB=OC=4, OD=l，则四面体ABCD体积的最大值为 7设是椭圆的长轴端点，是椭圆上异于的点，自分别作直线则的交点轨迹方程是 8某人在黑板上玩写数字的游戏，每次他随机地写上中的某个数，如果他最后写上去的两数之和是一个质数，那么游戏结束则他完成游戏时所写的最后一个数为的概率为 二、解答题：本大题共3小题，共56分.9设函数（l）证明：当时，； (2)数列满足，证明：数列递减且 10设抛物线和双曲线交于点，这两条曲线的公切线分别切抛物线于点，切双曲线于点求的面积11设是3个模不大于1的复数，是方程的两个根 证明：对j1，2，3，都有2015年
31、全国高中数学联赛模拟试题13加试（时间：9:40-12:10 满分：180）一、（本小题满分40分）设为给定素数，是个整数，均不被整除，且模互不同余， 设其中记这里，表示整数被除的余数证明：二、（本小题满分40分）如图，在锐角中，已知，的角平分线与边交于点，点分别在边上，使得四点共圆且满足求证：的内心是的外心三、（本题满分50分）对于任意一个实数数列，定义数列如下：求最小的正数，使得对任意实数数列及一切正整数，均有四、（本题满分50分）对于任意的整数证明：数列自某项起，各项对同余2015年全国高中数学联赛模拟试题14第一试（时间：8:00-9:20 满分：120）2015年全国高中数学联赛模拟
32、试题14加试（时间：9:40-12:10 满分：180）2015年全国高中数学联赛模拟试题15第一试（时间：8:00-9:20 满分：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是 2在四棱锥中，已知四边形是矩形，且,与交于点，为边的中点，则与平面所成角为 3将中的任意三个互不相同的数作乘积，则所有这些乘积之和等于 4已知曲线上任意一点到点与直线的距离之和等于，对于给定的点，在曲线上恰有三对不同的点关于点对称，则的取值范围是 5设方程的三个实根是则 6已知正实数满足，则的最大值为 7设方程的个复根分别为，则 8将编号为的几颗珍珠随机固定
33、在一串项链上，假设每颗珍珠的距离相等，记项链上所有珍珠编号之差的绝对值之和为，则取得最小值的放法的概率是 二、解答题：本大题共3小题，共56分.9.（本小题满分16分）. 已知数列满足，证明：10.（本小题满分20分）设椭圆的左、右焦点分别为，过点且倾斜角为的直线与椭圆交于点若，且 求椭圆的方程； 若是椭圆的有准线上的两个动点，且，求的内切圆圆心的轨迹方程.11.（本小题满分20分）设且，其中为给定的正实数，求的值域2015年全国高中数学联赛模拟试题15加试（时间：9:40-12:10 满分：180）一、（本小题满分40分）在中，已知为斜边上的高，分别为的内心，于点，直线与，与，与分别交于点求
34、证：(1)且； (2) 且 二、（本小题满分40分）设试求的最大值和最小值（规定）. 三、（本小题满分50分）个兴趣班，若干个学生参与（可重复参与），每个兴趣班人数相同（招满，人数未知）已知任意九个兴趣班包括了全体学生，而任意八个兴趣班没有包括全体学生求学生总人数的最小值四、（本小题满分50分）对任意一个正整数，设其十进制表达为.证明：存在，使得的十进制表达的前位是2015年全国高中数学联赛模拟试题16第一试（时间：8:00-9:20 满分：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1已知函数，若实数使方程有实根，则的最小值是 2在正三棱台中，上底面积，下底面积若底边到截面的距
35、离等于三棱台的高，则 3从中取出三个不同的数，使得其不能组成一个三角形的三边长的不同取法有 种4已知，且，若，则的取值范围是 5 函数的最小值为 6设，则数列的通项公式为 7如图，设分别是两个同心圆（半径分别为）上的动点当分别在圆上运动时，线段的中点所形成的区域面积为 8设且，则的最大值为 二、解答题：本大题共3小题，共56分.9.（本小题满分16分）. 设复数满足证明：10.（本小题满分20分）给定整数，设，其中,满足求出所有满足条件的函数11.（本小题满分20分）给定椭圆及点（1）求的值使得对于椭圆的左顶点，存在椭圆上的另两点，满足以为圆心、为半径的圆是的内切圆；（2）证明：对于椭圆的下顶
36、点，也存在椭圆上的另两点，使得是的内切圆，并确定此时直线的方程2015年全国高中数学联赛模拟试题16加试（时间：9:40-12:10 满分：180）一、（本小题满分40分）已知的内心为，的内切圆切边于点，的内心分别是，的外心为求证：三点共线 二、（本小题满分40分） 设且求证： 三、（本小题满分50分）已知正整数满足令 对任意，记，其中表示不超过的最大整数，表示集合中元素的个数证明：（1）；（2）四、（本小题满分50分）某国建了一座时间机器，形似一条圆形地铁轨道，其上均匀设置了2014个站台（依次编号为1,2，2014）分别对应一个年份，起始站及终点站均为第一站（对应2014年）为节约成本，机器每次运行一圈，只在其中一半的站台停靠出于技术原因，每次至多行驶三站必须停靠依次，且所停靠的任两个站台不能是圆形轨道的对径点试求不同停靠方式的种数2015
