1、2 误差与数值计算的误差估计误差与数值计算的误差估计二、误差与有效数字二、误差与有效数字三、数值计算的误差分析三、数值计算的误差分析一、一、误差的来源与分类误差的来源与分类一、误差来源与分类一、误差来源与分类 用计算机解决科学计算问题首先要建立数学模型，用计算机解决科学计算问题首先要建立数学模型，它是对被描述的实际问题进行抽象、简化而得到的，它是对被描述的实际问题进行抽象、简化而得到的，因而是近似的因而是近似的.数学模型与实际问题之间出现的误差称为数学模型与实际问题之间出现的误差称为模型误差模型误差.在数学模型中往往还有一些根据观测得到的物理量，在数学模型中往往还有一些根据观测得到的物理量，如
2、温度、长度、电压等等，这些参量显然也包含误差如温度、长度、电压等等，这些参量显然也包含误差.这种由观测产生的误差称为这种由观测产生的误差称为观测误差观测误差.以上两种误差在以上两种误差在“数值计算方法数值计算方法”中不予讨论中不予讨论.数数值分析只研究用数值方法求解数学模型产生的误差值分析只研究用数值方法求解数学模型产生的误差.2023-4-24第一章 第二节 误差分析简介2 当数学模型不能得到精确解时，通常要用数值方当数学模型不能得到精确解时，通常要用数值方法求它的近似解，其近似解与精确解之间的误差称为法求它的近似解，其近似解与精确解之间的误差称为截断误差截断误差或或方法误差方法误差.例如，
3、函数例如，函数 f(x)用泰勒用泰勒(Taylor)(Taylor)多项式多项式 nnnxnfxfxffxP!)(!)(!)()()()(0201002 近似代替，则数值方法的截断误差是近似代替，则数值方法的截断误差是(1)1()()()(),0.(1)!nnnnfRxf xP xxxn在 与 之间2023-4-24第一章 第二节 误差分析简介3公式公式 称为称为 的的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式.)(xf公式公式 称为称为n 阶泰勒公式的阶泰勒公式的拉格朗日余项拉格朗日余项.泰勒中值定理泰勒中值定理 （高等数学（高等数学3.3节节）内具有的某开区间在包含若),()(0baxxf1n直到阶的导数
4、阶的导数,),(bax时时,有有)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中其中10)1()(!)1()()(nnnxxnfxR则当则当)0(之间与在xx2023-4-24第一章 第二节 误差分析简介4 此外由原始数据或机器中的十进制数转化为二进此外由原始数据或机器中的十进制数转化为二进制数产生的初始误差对数值计算也将造成影响，分析制数产生的初始误差对数值计算也将造成影响，分析初始数据的误差通常也归结为舍入误差初始数据的误差通常也归结为舍入误差.有了计算公式以后，用计算机做数值计算时，受有了计算公式以后，用计算机做数值计算时，
5、受计算机字长的限制，原始数据在计算机上表示会产生计算机字长的限制，原始数据在计算机上表示会产生误差，计算过程又可能产生新的误差，这种误差称为误差，计算过程又可能产生新的误差，这种误差称为舍入误差舍入误差.例如，用例如，用3.14159近似代替近似代替，产生的误差，产生的误差就是舍就是舍入误差入误差.0000026.014159.3 R 研究计算结果的误差是否满足精度要求就是误差研究计算结果的误差是否满足精度要求就是误差分析问题，这里主要讨论算法的截断误差与舍入误分析问题，这里主要讨论算法的截断误差与舍入误差，而截断误差将结合具体算法讨论差，而截断误差将结合具体算法讨论.2023-4-24第一章
6、 第二节 误差分析简介5二、误差与有效数字二、误差与有效数字定义定义1 设设x为准确值，为准确值，x*为为x的一个近似值，称的一个近似值，称E(x*)=xx*为近似值为近似值x*的的绝对误差绝对误差，简称，简称误差误差.x*xx 通常不能算出通常不能算出E的准确值，只能根据测量工具的准确值，只能根据测量工具或计算情况估计出误差的绝对值不超过某正数或计算情况估计出误差的绝对值不超过某正数(x*)，也就是误差绝对值的一个上界也就是误差绝对值的一个上界.这个正数这个正数(x*)叫做近似值叫做近似值x*的的误差限误差限.|*|*xxxxxxx 对于同一个准确值对于同一个准确值x而言，而言，|E|或或越
7、小，近似值越小，近似值 x*越精确。越精确。2023-4-24第一章 第二节 误差分析简介6 但对于不同的准确值但对于不同的准确值x和和y而言，误差限的大小而言，误差限的大小还不能完全表示近似值的好坏。还不能完全表示近似值的好坏。例如例如 x*152，y*10005，哪一个好？哪一个好？除考虑误差的大小外，还应考虑准确值除考虑误差的大小外，还应考虑准确值x本身本身的大小的大小.定义定义2 近似值近似值x*的误差与的误差与x 之比之比(*)*(*)rE xxxE xxx称为称为x*的的相对误差相对误差，简记为，简记为Er .2023-4-24第一章 第二节 误差分析简介7(*)*(*)*rE x
8、xxExxx2023-4-24第一章 第二节 误差分析简介8 实际计算中，由于真值常是不知道的，通常取实际计算中，由于真值常是不知道的，通常取 例如例如 x*152，y*10005，x真值为真值为15，绝对误差限为绝对误差限为2；y真值为真值为1000，绝对误差限为绝对误差限为5，故故x*的相对误差限为的相对误差限为2/15=13.3%，y*的相对误差的相对误差限为限为5/1000=0.5%.2023-4-24 若若是是x*的绝对误差限，则显然的绝对误差限，则显然 是是x*的的相对误差限相对误差限。第一章 第二节 误差分析简介来作为来作为相对误差相对误差，条件是，条件是*xE*)/(1*)/(
9、)*(*)*(*22xExEExxExxxxExExE 较小。这时较小。这时是是 的平方项级，故可忽略不计。的平方项级，故可忽略不计。*/xE若存在正数若存在正数使得使得,*|*)(|xxxxEr则称则称是近似值是近似值x*的一个的一个相对误差限相对误差限。当准确值当准确值 位数比较多时，常常按四舍五入的原则得位数比较多时，常常按四舍五入的原则得到到 的前几位近似值的前几位近似值 ，例如，例如 xx*x14159265.3 x 取取3位位,002.0*,14.3*33 x 取取5位位,000008.0*,1416.3*55 x它们的误差都不超过末位数字的半个单位，即它们的误差都不超过末位数字的
10、半个单位，即.10211416.3,102114.342 例例1 已知已知e=2.718 281 82，其近似值为，其近似值为e*=2.718 28,求求e*的绝对误差限的绝对误差限和相对误差限和相对误差限r*.2023-4-24第一章 第二节 误差分析简介10定义定义3 如果近似值如果近似值x*的绝对误差限不超过某一位数字的绝对误差限不超过某一位数字的半个单位，就称其的半个单位，就称其“准确准确”到这一位，且从该位数到这一位，且从该位数字到字到x*的第一位非零数字共有的第一位非零数字共有n位，则称近似值位，则称近似值x*有有n位位有效数字有效数字。取取*=3.1415 作为作为的近似值的近似
11、值,它有几位有效数字？它有几位有效数字？121.010 nnkaaaax计算机中的数往往写成如下规格化形式计算机中的数往往写成如下规格化形式例例2 x*=0.0025=10-20.25，y*=-387.8001=-1030.387 800 1.)0(1 a有效数字：有效数字：2023-4-24第一章 第二节 误差分析简介11 .010*21nkaaax如果如果是对是对x的第的第n+1位数字进行四舍五入后得到的近似值位数字进行四舍五入后得到的近似值,则则x*具有具有n位有效数字，且有位有效数字，且有(*)1021|*|nkxx反之，若反之，若(*)成立，则成立，则x*具有具有n位有效数字。位有效
12、数字。定义定义4 如果如果n是满足不等式（是满足不等式（*）的最大非负整数，）的最大非负整数，则称则称x*具有具有n位位有效数字有效数字。例例3 x=3.95,x1*=4.0 和和 x2*=3.9 都有都有2位有效数字位有效数字.2023-4-24第一章 第二节 误差分析简介12相对误差与有效数字的关系：相对误差与有效数字的关系：定理定理 设设x*是是x的近似值，它的表达式为的近似值，它的表达式为 .010*21nkaaax则有则有（1）当）当x*具有具有n位有效数字时位有效数字时,x*的相对误差的相对误差Er*满足满足（2）当）当x*的相对误差的相对误差Er*满足满足时时，x*至少具有至少具
13、有n位有效数字。位有效数字。*111|10(1.2.3)2nrEa *111|10(1.2.4)2(1)nrEa)91(1 a2023-4-24第一章 第二节 误差分析简介13例例4 为使为使 的近似值的相对误差小于的近似值的相对误差小于1%1%，问至少，问至少应取几位有效数字？应取几位有效数字？20解解%110421|1 nrE.47.420 解之得解之得 n2，故取，故取 n=3,应用应用,4,.4201 a11*1021|nraE2023-4-24第一章 第二节 误差分析简介14三、数值计算的误差分析三、数值计算的误差分析设可微函数设可微函数x*xx中的自变量中的自变量依次是依次是12(
14、,)nyf x xx 的近似值，则的近似值，则 y 的近似值的近似值相互独立，又相互独立，又12,nx xx12*,*,*nxxx12,nx xx12*(*,*,*).nyf xxx 2023-4-24第一章 第二节 误差分析简介15一元函数的误差估计一元函数的误差估计多元函数的误差估计多元函数的误差估计()*(*),*(*)(*).，yf xyf xyyfxxx (*)*E yyy1212(,)(*,*,*)nnf x xxf xxx121 (*,*,*)(*),nniiiif xxxxxx 即即121 (1.2.5)(*,*,*)(*)(*)nniiif xxxE yE xx 12 1 2
15、(*,*,*)(,)nif xxxinx 称称为为各各个个 1 2 *(,)*ixiny 对对的的绝绝对对误误差差的的增增长长因因子子。2023-4-24第一章 第二节 误差分析简介16121 (1.2.6)*(*,*,*)(*)(*)*ninrriiixf xxxEyExyx (*)(*)*rE yEyy12 1 2*(*,*,*)(,)*inixf xxxinyx 称称为为各各个个 1 2 *(,)*ixiny 对对的的相相对对误误差差的的增增长长因因子子。2023-4-24第一章 第二节 误差分析简介1712*,*xx两两近近似似数数的的和和、差差、积积、商商的的误误差差估估计计：121
16、2(*)(*)(*)E xxE xE x122112(*)*(*)*(*)E xxxE xxE x111222222 0(*)*(*/*)(*)(*)*(*)E xxE xxE xxxx1212121212*(*)(*)(*)*rrrxxExxExExxxxx1212(*)(*)(*)E xxE xE x12122 0(*/*)(*)(*)(*)E xxE xE xx2023-4-24第一章 第二节 误差分析简介18例例5 设设 x=10 5%，试求函数，试求函数 的相的相对误差限。对误差限。()nf xx 例例6 测得某桌面的长测得某桌面的长 a 的近似值为的近似值为 a*=120cm，宽，宽b 的近似值的近似值 b*=60cm.若已知若已知|aa*|0.2cm，|bb*|0.1cm，试求近似面积，试求近似面积 S*=a*b*的绝对误差限的绝对误差限与相对误差限。与相对误差限。2023-4-24第一章 第二节 误差分析简介19见教材第见教材第8-9页。页。作业作业第一章第一章习题习题 2,3,6,7,9,11.2023-4-24第一章 第二节 误差分析简介20
