1、2023-4-24第三章 第一节 拉格朗日插值2第五章第五章 插值法插值法2 分段低次插值分段低次插值3 差商与牛顿差商与牛顿插值多项式插值多项式1 拉格朗日拉格朗日(Lagrange)插值插值 4 差分与等距节点插值公式差分与等距节点插值公式 6 三次样条插值三次样条插值 5 埃尔米特埃尔米特(Hermite)插值插值2023-4-24第三章 第一节 拉格朗日插值30 1 ()()(,),iiiP xf xyin成立，就称 P(x)为 f(x)的插值函数插值函数，这类问题称为插值插值问题问题。常用的插值函数有代数多项式，三角多项式，有理函数，正交函数系等。本章讨论代数插值。近几十年发展起来的
2、样条(Spline)插值，获得了广泛的应用。基本问题：存在唯一性、构造方法、截断误差、收敛性、数值计算的稳定性。设函数 y=f(x)在区间a,b上有定义，且已知在点 上的值 ，若存在一简单函数 P(x)，使01naxxxb01nyyy,2023-4-24第三章 第一节 拉格朗日插值41 拉格朗日插值拉格朗日插值第五章第五章一、代数插值问题一、代数插值问题二、插值多项式的存在唯一性二、插值多项式的存在唯一性三、线性插值三、线性插值四、抛物线插值四、抛物线插值五、拉格朗日插值多项式五、拉格朗日插值多项式2023-4-24第三章 第一节 拉格朗日插值5一、代数插值问题一、代数插值问题2012nnnP
3、 xaa xa xa x()插值多项式0 1niiiP xf xyin ()()(,)插值条件插值节点011nnaxxxxb插值区间 a,b,代数插值的几何意义插值多项式的余项nnRxf xP x()()()2023-4-24第三章 第一节 拉格朗日插值6二、插值多项式的存在唯一性二、插值多项式的存在唯一性0 1niiiP xf xyin ()()(,)定理定理1 在n+1个互异节点xi 上满足插值条件的次数不高于n次的插值多项式Pn(x)存在且唯一。证证 2012nnnP xaa xa xa x()20102000201 121112012nnnnnnnnnnaa xa xa xyaa xa
4、 xa xyaa xa xa xy,2023-4-24第三章 第一节 拉格朗日插值7系数行列式为范德蒙行列式200021112111nnnnnnxxxxxxVxxx.012na a aa故存在唯一解,.例例1 x=0 1 2 3;y=2 3 0-1;求插值多项式：c=vander(x)y;p=poly2sym(c)011nnxxxxV，互异，0,因节点2023-4-24第三章 第一节 拉格朗日插值8三、线性插值三、线性插值 设y=f(x),给定区间x0,x1及端点函数值 y0=f(x0)，y1=f(x1),要求线性插值多项式 L1(x)，使它满足100111(),().L xyL xy称L1(
5、x)为线性插值函数。由直线方程的两点式可得011010110().xxxxL xyyxxxx01010110(),(),xxxxlxlxxxxx记2023-4-24第三章 第一节 拉格朗日插值910 01 1()()().L xy lxy lx则01(),()lxlx称为线性插值基函数，10 ,(),kiiklxik当当时时，当当时时.设 f(x)在x0,x1上连续，f(x)在x0,x1内存在，则插值余项（截断误差）为11012()()()()()(),!fR xf xL xxxxx11012MR xxxxx|()|()()|.!则截断误差限为011max|()|,xx xMfx 若若2023
6、-4-24第三章 第一节 拉格朗日插值10四、抛物线插值四、抛物线插值 设已知y=f(x)在三个不同的点x0,x1,x2上的值分别为y0,y1,y2.要求做一个二次插值多项式L2(x),使它满足插值条件20 1 2 ()(,).iiLxyi20 01 12 2()()()().Lxy lxy lxy lx 设 f(x)在x0,x1上连续，f(x)在x0,x1内存在，则插值余项（截断误差）为220123()()()()()()().!fRxf xLxxxxxxx有：2023-4-24第三章 第一节 拉格朗日插值11五、拉格朗日插值多项式五、拉格朗日插值多项式 设已知y=f(x)在n+1个节点要求
7、做一个n次插值多项式Ln(x),使它满足插值条件011nnxxxx处的函数值为0 1iiyf xin=()(,)0 1niiLxyin ()(,).000()().nnnink kkkkikii kxxLxy lxyxx 2023-4-24第三章 第一节 拉格朗日插值12这个多项式称为这个多项式称为n次拉格朗日插值多项式。次拉格朗日插值多项式。2023-4-24第三章 第一节 拉格朗日插值132023-4-24第三章 第一节 拉格朗日插值142023-4-24第三章 第一节 拉格朗日插值152023-4-24第三章 第一节 拉格朗日插值162023-4-24第三章 第一节 拉格朗日插值172.
8、2023-4-24第三章 第一节 拉格朗日插值182023-4-24第三章 第一节 拉格朗日插值19例例2 给定 f(x)=的函数表如下：xxy=f(x)144169225121315试分别用线性插值多项式和二次拉格朗日插值多项式计算 f(175)的值。答：L1(175)=13.214 285 72L2(175)=13.230 158 73 f(175)=13.228 756 562023-4-24第三章 第一节 拉格朗日插值20例例3 设 f(x)=x4,试写出以-1,0,1,2为插值节点的三次插值多项式.2023-4-24第三章 第一节 拉格朗日插值21作作 业业习题五习题五 1,4,5.
