1、 温馨提示：温馨提示： 此题库为此题库为 WordWord 版版, , 请按住请按住 Ctrl, Ctrl, 滑动鼠标滚轴滑动鼠标滚轴, , 调节合适的观调节合适的观 看比例看比例, , 关闭关闭 WordWord 文档返回原板块。文档返回原板块。 考点考点 10 10 利用导数研究函数的单调性、极值、最值利用导数研究函数的单调性、极值、最值 一、选择题 1.(2019天津高考理科T8)已知aR,设函数f(x)= - - 若关于x的不等式f(x)0 在 R 上恒成立,则a的取 值范围为 ( ) A.0,1 B.0,2 C.0,e D.1,e 【解析】选 C.对于第一段函数,当a1 时,只需f(
2、1)=12-2a+2a=1,此时f(x)0,符合题意;当a1),即a (x1),设 y= (x1),易知该函数在(1,e)上为减函数,在(e,+)上为 增函数,所以其最小值为 e,所以ae. 综上可知:0ae. 【一题多解】解答本题还可以用如下的方法解决: 选 C.若a=0,当x1 时,f(x)=x2,f(x)0; 当x1 时,f(x)=x,f(x)0.所以排除 D 选项. 若a=2,当x1 时,f(x)=x2-4x+4,f(x)0; 当x1 时,f(x)=x-2ln x0,所以排除 A 选项. 若a=e,当x1 时,f(x)=x2-2ex+2e,f(x)0; 当x1 时,f(x)=x-eln
3、 x0,所以排除 B 选项. 2.(2019天津高考文科T8)已知函数f(x)= 若关于x的方程f(x)=- x+a(aR)恰有两个互异的实数解,则 a 的取值范围为 ( ) A.* + B.( + C.( +1 D.* +1 【解题指南】画出f(x)图象及直线y=- x+a,借助图象分析. 【解析】 选 D.如图,当直线y=- x+a 位于B点及其上方且位于A点及其下方,或者直线y=- x+a 与曲线y= 相切在第一象限 时符合要求. 即 1- +a2,即 a , 或者- =- ,得 x=2,y= , 即 =- 2+a,得 a=1, 所以a的取值范围是* +1. 【方法技巧】根据方程实根个数
4、确定参数范围,常把其转化为曲线交点个数,特别是其中一条为直线时常用此法. 二、填空题 3.(2019北京高考理科T13)设函数f(x)=ex+ae-x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a= ;若f(x)是 R 上的增函数,则a 的取值范围是 . 【命题意图】本题考查了函数奇偶性,单调性,指数函数的性质,同时也考查了数学运算能力. 【解析】显然f(0)有意义,又f(x)为奇函数,所以f(0)=0,得a=-1. 因为f(x)是R上的增函数,所以f(x)=ex-ae-x= - 0恒成立,即g(x)=(ex)2a恒成立,又因为g(x)0,且当x趋向于- 时,g(x)趋向于 0,所以 0a,即a的取值
5、范围是(-,0. 答案:-1 (-,0 【误区警示】若f(x)为奇函数,不一定有f(0)=0,例如f(x)= .f(0)有意义时有 f(0)=0. 三、解答题 4.(2019全国卷理科T20)已知函数f(x)=sin x-ln(1+x),f(x)为f(x)的导数.证明: (1)f(x)在区间(- )存在唯一极大值点; (2)f(x)有且仅有 2 个零点. 【命题意图】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键:一方面是利用 零点存在定理或最值点来说明存在零点,另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性,二者缺一不可. 【解析】(1)设g(x)=
6、f(x), 则g(x)=cos x- ,g(x)=-sin x+ . 当x(- )时,g(x)单调递减,而 g(0)0,g( )0;当x( )时,g(x)0.从而,f(x)在( +没有零点. 当x( +时,f(x)0,f()1,所以f(x)0,所以 f(x)分别在(0,1)和(1,+)上单调递增. 因为f(e)=1- - 0, 所以f(x)在(1,+)有唯一零点x1,即f(x1)=0. 又 0 0,f(x)单调递增.因此,f(x)存在唯一的极值点. (2)由(1)知f(x0)0, 所以f(x)=0 在(x0,+)内存在唯一根x= 由x01 得 0; 当x( )时,f(x)0; 当x( )时,f
7、(x)0. 故f(x)在(-,0),( )上单调递增,在( )上单调递减; 若a=0,f(x)在(-,+)上单调递增; 若a0; 当x( )时,f(x)0. 故f(x)在(- ),(0,+)上单调递增,在( )上单调递减. (2)当 0a3 时,由(1)知,f(x)在( )上单调递减,在( )上单调递增, 所以f(x)在0,1的最小值为f( )=- +2,最大值为 f(0)=2 或f(1)=4-a. 于是m=- +2,M= - 所以M-m= - 当 0a2 时,可知 2-a+ 单调递减,所以 M-m的取值范围是( ). 当 2a3 时, 单调递增, 所以M-m的取值范围是* ). 综上,M-m
8、的取值范围是* ). 9.(2019北京高考理科T19 同 2019北京高考文科T20)已知函数f(x)= x 3-x2+x. (1)求曲线y=f(x)的斜率为 1 的切线方程. (2)当x-2,4时,求证:x-6f(x)x. (3)设F(x)=|f(x)-(x+a)|(aR),记F(x)在区间-2,4上的最大值为M(a),当M(a)最小时,求a的值. 【命题意图】本题主要考查导数的应用,求切线方程,研究函数的极值和最值,考查转化与化归能力、运算求解能力,体现了逻 辑推理和数学运算的核心素养.试题难度:难. 【解析】(1)f(x)定义域为 R,f(x)= x 2-2x+1, 设切点为P(x0,
9、y0),则 y0=f(x0)= - +x0,k=f(x0)= -2x0+1=1, 所以x0=0, , 当x0=0 时,y0=0,切线方程为y-0=x-0,即x-y=0; 当x0= 时,y0= ,切线方程为 y- =x- ,即 27x-27y-64=0. (2)令g(x)=f(x)-x= x 3-x2,x-2,4,则 g(x)=f(x)-1= x 2-2x, 令g(x)=0 得x=0, , x,g(x),g(x)关系如下 x (-2,0) 0 ( ) ( ) g(x) + 0 - 0 + g(x) 又因为g(-2)=-6,g(0)=0,g( )=- ,g(4)=0, 所以在x-2,4上,g(x)
10、min=-6,g(x)max=0, 所以-6g(x)0,即x-6f(x)x. (3)由(2)知,-6f(x)-x0,-6-af(x)-(x+a)-a, 所以M(a)=max|-6-a|,|-a|=max|a+6|,|a|, 若a-6,则M(a)=max-a-6,-a=-a, 当a=-6 时,M(a)最小,为 6; 若-6a0,则M(a)=maxa+6,-a = - - - - - a=-3 时M(a)最小,为 3; 若a0,则M(a)=maxa+6,a=a+6, 当a=0 时,M(a)最小,为 6. 综上,M(a)最小为 3,M(a)最小时a=-3. 10.(2019江苏高考T19)设函数f(
11、x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,cR,f(x)为f(x)的导函数. (1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值. (2)若ab,b=c,且f(x)和f(x)的零点均在集合-3,1,3中,求f(x)的极小值. (3)若a=0,0b1,c=1,且f(x)的极大值为M,求证:M . 【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的性质,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力. 【解题指南】(1)由题意得到关于a的方程,解方程即可确定a的值. (2)由题意首先确定a,b,c的值从而确定函数的解析式,然后求其导函数,由导函数即可确定函数的极小值. (3)由题意首先确定函数的极大值
12、M的表达式,然后证明题中的不等式. 【解析】(1)因为a=b=c,所以f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=(x-a)3. 因为f(4)=8,所以(4-a)3=8,解得a=2. (2)因为b=c, 所以f(x)=(x-a)(x-b)2=x3-(a+2b)x2+b(2a+b)x-ab2, 从而f(x)=3(x-b)( - ).令f(x)=0,得x=b或x= . 因为a,b, 都在集合-3,1,3中,且ab, 所以 =1,a=3,b=-3. 此时f(x)=(x-3)(x+3)2,f(x)=3(x+3)(x-1). 令f(x)=0,得x=-3 或x=1.列表如下: x (-,-3) -3 (-3
13、,1) 1 (1,+) f(x) + 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 所以f(x)的极小值为f(1)=(1-3)(1+3)2=-32. (3)因为a=0,c=1,所以f(x)=x(x-b)(x-1)=x3-(b+1)x2+bx, f(x)=3x2-2(b+1)x+b. 因为 00, 则f(x)有 2 个不同的零点,设为x1,x2(x1x2). 由f(x)=0,得x1= - - , x2= - . 列表如下: x (-,x1) x1 (x1,x2 ) x2 (x2,+ ) f(x) + 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 所以f(x)的极大值M=f(x1). 因为 0b1,所以x1(0,1). 当x(0,1)时,f(x)=x(x-b)(x-1)x(x-1)2. 令g(x)=x(x-1)2,x(0,1),则g(x)=3( - )(x-1). 令g(x)=0,得x= .列表如下: x ( ) ( ) g(x) + 0 - g(x) 极大值 所以当x= 时,g(x)取得极大值,且是最大值,故 g(x)max=g( )= . 所以当x(0,1)时,f(x)g(x) ,因此 M .
