1、 20202020 年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用）年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用） 专题专题 04 二次函数与特殊图形的存在性问题二次函数与特殊图形的存在性问题 【真题再现】【真题再现】 1 （2019 年盐城 27 题） 如图所示， 二次函数 yk （x1） 2+2 的图象与一次函数 ykxk+2 的图象交于 A、 B 两点，点 B 在点 A 的右侧，直线 AB 分别与 x、y 轴交于 C、D 两点，其中 k0 （1）求 A、B 两点的横坐标； （2）若OAB 是以 OA 为腰的等腰三角形，求 k 的值； （3）二次函数图象的对称轴与 x 轴交于点 E，
2、是否存在实数 k，使得ODC2BEC，若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由 2 （2019 年连云港 26 题）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 L1：yx2+bx+c 过点 C（0，3） ，与 抛物线 L2：yx2x+2 的一个交点为 A，且点 A 的横坐标为 2，点 P、Q 分别是抛物线 L1、L2上 的动点 （1）求抛物线 L1对应的函数表达式； （2）若以点 A、C、P、Q 为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点 P 的坐标； （3）设点 R 为抛物线 L1上另一个动点，且 CA 平分PCR若 OQPR，求出点 Q 的坐标 3 （2019 年无锡 27 题）已知二次函数
3、yax24ax+c（a0）的图象与它的对称轴相交于点 A，与 y 轴相 交于点 C（0，2） ，其对称轴与 x 轴相交于点 B （1）若直线 BC 与二次函数的图象的另一个交点 D 在第一象限内，且 BD，求这个二次函数的表达 式； （2）已知 P 在 y 轴上，且POA 为等腰三角形，若符合条件的点 P 恰好有 2 个，试直接写出 a 的值 4 （2017 年淮安 28 题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 yx2+bx+c 的图象与坐标轴交于 A， B，C 三点，其中点 A 的坐标为（3，0） ，点 B 的坐标为（4，0） ，连接 AC，BC动点 P 从点 A 出发， 在线段 AC 上以
4、每秒 1 个单位长度的速度向点 C 作匀速运动；同时，动点 Q 从点 O 出发，在线段 OB 上 以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动 时间为 t 秒连接 PQ （1）填空：b ，c ； （2）在点 P，Q 运动过程中，APQ 可能是直角三角形吗？请说明理由； （3）在 x 轴下方，该二次函数的图象上是否存在点 M，使PQM 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角 形？若存在，请求出运动时间 t；若不存在，请说明理由； （4）如图，点 N 的坐标为（，0） ，线段 PQ 的中点为 H，连接 NH，当点 Q 关于直线 NH 的对称 点
5、Q恰好落在线段 BC 上时，请直接写出点 Q的坐标 5 （2017 年宿迁 25 题）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx22x3 交 x 轴于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，将该抛物线位于 x 轴上方曲线记作 M，将该抛物线位于 x 轴下方部分沿 x 轴翻折，翻折 后所得曲线记作 N，曲线 N 交 y 轴于点 C，连接 AC、BC （1）求曲线 N 所在抛物线相应的函数表达式； （2）求ABC 外接圆的半径； （3）点 P 为曲线 M 或曲线 N 上的一动点，点 Q 为 x 轴上的一个动点，若以点 B，C，P，Q 为顶点的四 边形是平行四边形，求点 Q 的坐标 6
6、（2017 年常州 27 题）如图，在平面直角坐标系 xOy，已知二次函数 yx2+bx 的图象过点 A（4，0） ， 顶点为 B，连接 AB、BO （1）求二次函数的表达式； （2）若 C 是 BO 的中点，点 Q 在线段 AB 上，设点 B 关于直线 CQ 的对称点为 B，当OCB为等边三 角形时，求 BQ 的长度； （3）若点 D 在线段 BO 上，OD2DB，点 E、F 在OAB 的边上，且满足DOF 与DEF 全等，求点 E 的坐标 【专项突破】【专项突破】 【题组一】【题组一】 1 （2020张家港市模拟）如图，二次函效 yx2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，B 点
7、坐标为（4，0） ， 与 y 轴交于点 C（0，4）点 D 为抛物线上一点 （1）求抛物线的解析式及 A 点坐标； （2）若BCD 是以 BC 为直角边的直角三角形时，求点 D 的坐标； （3）若BCD 是锐角三角形，请写出点 D 的横坐标 m 的取值范围 2 （2020宝应县一模）如图 1，矩形 ABCD 的一边 BC 在直角坐标系中 x 轴上，折叠边 AD，使点 D 落在 x 轴上点 F 处，折痕为 AE，已知 AB8，AD10，并设点 B 坐标为（m，0） ，其中 m0 （1）求点 E、F 的坐标（用含 m 的式子表示） ； （2）连接 OA，若OAF 是等腰三角形，求 m 的值； （3
8、）如图 2，设抛物线 ya（xm+6）2+h 经过 A、E 两点，其顶点为 M，连接 AM，若OAM90， 求 a、h、m 的值 3 （2019 秋邗江区校级期末）如图抛物线 yax2+bx+4（a0）与 x 轴，y 轴分别交于点 A（1，0） ， B（4，0） ，点 C 三点 （1）试求抛物线解析式； （2）点 D（3，m）在第一象限的抛物线上，连接 BC，BD试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一 点 P，满足PBCDBC？如果存在，请求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点 N 在抛物线的对称轴上， 点 M 在抛物线上， 当以 M、 N、 B、C 为顶点的四边形是平行四边形
9、时， 请直接写出点 M 的坐标 4 （2019 秋亭湖区校级期末）如图，抛物线 yx2+bx+3 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，其中 点 A（1，0） 过点 A 作直线 yx+c 与抛物线交于点 D，动点 P 在直线 yx+c 上，从点 A 出发，以每 秒2个单位长度的速度向点 D 运动， 过点 P 作直线 PQy 轴， 与抛物线交于点 Q， 设运动时间为 t （s） （1）直接写出 b，c 的值及点 D 的坐标； （2）点 E 是抛物线上一动点，且位于第四象限，当CBE 的面积为 6 时，求出点 E 的坐标； （3）在线段 PQ 最长的条件下，点 M 在直线 PQ 上运
10、动，点 N 在 x 轴上运动，当以点 D、M、N 为顶点 的三角形为等腰直角三角形时，请求出此时点 N 的坐标 【题组二】【题组二】 5 （2019 秋崇川区期末）如图所示，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1）的抛物线交 y 轴于 A 点，交 x 轴于 B，C 两点（点 B 在点 C 的左侧） ，已知 A 点坐标为（0，3） （1）求此抛物线的解析式； （2）过点 B 作线段 AB 的垂线交抛物线于点 D，如果以点 C 为圆心的圆与直线 BD 相切，请判断抛物线 的对称轴与C 有怎样的位置关系，并给出证明 6 （2019徐州一模）如图，已知二次函数 yax2+bx+3 的图象与 x 轴交于点
11、A（1，0） 、B（4，0） ，与 y 的正半轴交于点 C （1）求二次函数 yax2+bx+3 的表达式 （2）点 Q（m，0）是线段 OB 上一点，过点 Q 作 y 轴的平行线，与 BC 交于点 M，与抛物线交于点 N， 连结 CN，将CMN 沿 CN 翻折，M 的对应点为 D探究：是否存在点 Q，使得四边形 MNDC 是菱形？ 若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 （3）若点 E 在二次函数图象上，且以 E 为圆心的圆与直线 BC 相切与点 F，且 EF= 6 5，请直接写出点 E 的坐标 7 （2019亭湖区二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y= 1 4x 2+b
12、x+c 的图象与 y 轴交于点 A（0， 8） ，与 x 轴交于 B、C 两点，其中点 C 的坐标为（4，0） 点 P（m，n）为该二次函数在第二象限内图象 上的动点，点 D 的坐标为（0，4） ，连接 BD （1）求该二次函数的表达式及点 B 的坐标； （2） 连接 OP， 过点 P 作 PQx 轴于点 Q， 当以 O、 P、 Q 为顶点的三角形与OBD 相似时， 求 m 的值； （3）连接 BP，以 BD、BP 为邻边作BDEP，直线 PE 交 y 轴于点 T 当点 E 落在该二次函数图象上时，求点 E 的坐标； 在点 P 从点 A 到点 B 运动过程中（点 P 与点 A 不重合） ，直接
13、写出点 T 运动的路径长 8 （2019 秋灌云县期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A（2，0） ，B（0，2） ，C（1，0）三 点 （1）求抛物线的解析式； （2）若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m，AMB 的面积为 S，求 S 关于 m 的函 数关系式，并求出 S 的最大值 （3）若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 yx 上的动点，判断有几个位置能够使得点 P、Q、B、 O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点 Q 的坐标 【题组你】【题组你】 9 （2019清江浦区一模）如图，抛物线 yax2+bx+4（a0）与 x 轴交于点 B（3，
14、0）和 C （4，0）与 y 轴交于点 A （1）a ，b ； （2）点 M 从点 A 出发以每秒 1 个单位长度的速度沿 AB 向 B 运动，同时，点 N 从点 B 出发以每秒 1 个 单位长度的速度沿 BC 向 C 运动，当点 M 到达 B 点时，两点停止运动t 为何值时，以 B、M、N 为顶点 的三角形是等腰三角形？ （3）点 P 是第一象限抛物线上的一点，若 BP 恰好平分ABC，请直接写出此时点 P 的坐标 10 （2019灌南县二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 yax2+bx3的图象经过点 A（1，0） 、 C（2，0） ，与 y 轴交于点 B，其对称轴与 x 轴交于点 D
15、 （1）求二次函数的表达式及其顶点坐标； （2）M（s，t）为抛物线对称轴上的一个动点， 若平面内存在点 N，使得 A、B、M、N 为顶点的四边形为矩形，直接写出点 M 的坐标； 连接 MA、MB，若AMB 不小于 60，求 t 的取值范围 11 （2019 秋沭阳县期末）如图，抛物线 yax2+bx2 的对称轴是直线 x1，与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，点 A 的坐标为（2，0） ，点 P 为抛物线上的一个动点，过点 P 作 PDx 轴于点 D，交 直线 BC 于点 E （1）求抛物线解析式； （2）若点 P 在第一象限内，当 OD4PE 时： 求点 D、P、E 的坐标
16、； 求四边形 POBE 的面积 （3）在（2）的条件下，若点 M 为直线 BC 上一点，点 N 为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点 M 和点 N，使得以点 B，D，M，N 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点 N 的坐标；若不存在， 请说明理由 12 （2019 秋江都区期末）已知二次函数 y= 1 8 2+bx+c（b、 c 为常数） 的图象经过点 （0，1）和点 A（4， 1） （1）求 b、c 的值； （2）如图 1，点 C（10，m）在抛物线上，点 M 是 y 轴上的一个动点，过点 M 平行于 x 轴的直线 l 平分 AMC，求点 M 的坐标； （3）如图 2，在（2）的条件
17、下，点 P 是抛物线上的一动点，以 P 为圆心、PM 为半径的圆与 x 轴相交于 E、F 两点，若PEF 的面积为 26，请直接写出点 P 的坐标 【题组四】【题组四】 13 （2019宿豫区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0） 、B（3， 0）两点，且抛物线经过点 D（2，3） （1）求这条抛物线的表达式； （2）将该抛物线向下平移，使得新抛物线的顶点 G 在 x 轴上原抛物线上一点 M 平移后的对应点为点 N，如果AMN 是以 MN 为底边的等腰三角形，求点 N 的坐标； （3）若点 P 为抛物线上第一象限内的动点，过点 B 作 BEOP
18、，垂足为 E，点 Q 为 y 轴上的一个动点， 连接 QE、QD，试求 QE+QD 的最小值 14 （2019江西模拟）已知抛物线 l1：y1ax22 的顶点为 P，交 x 轴于 A、B 两点（A 点在 B 点左侧） ，且 sinABP= 5 5 （1）求抛物线 l1的函数解析式； （2）过点 A 的直线交抛物线于点 C，交 y 轴于点 D，若ABC 的面积被 y 轴分为 1：4 两个部分，求直 线 AC 的解析式； （3）在（2）的情况下，将抛物线 l1绕点 P 逆时针旋转 180得到抛物线 l2，点 M 为抛物线 l2上一点， 当点 M 的横坐标为何值时，BDM 为直角三角形？ 15 （2
19、019 秋锡山区期末）在平面直角坐标系中，二次函数 yax2+bx+2 的图象与 x 轴交于 A（3，0） ， B（1，0）两点，与 y 轴交于点 C （1）求这个二次函数的解析式，并直接写出当 x 满足什么值时 y0？ （2）点 P 是直线 AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点 P，使ACP 面积最大？若存在，求出点 P 的 坐标；若不存在，请说明理由； （3）点 M 为抛物线上一动点，在 x 轴上是否存在点 Q，使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边 形？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 16 （2019 秋徐州期末）如图，矩形 OABC 中，O 为原点，点
20、A 在 y 轴上，点 C 在 x 轴上，点 B 的坐标为 （4，3） ，抛物线 y= 3 8x 2+bx+c 与 y 轴交于点 A，与直线 AB 交于点 D，与 x 轴交于 C，E 两点 （1）求抛物线的表达式； （2）点 P 从点 C 出发，在线段 CB 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 运动，与此同时，点 Q 从点 A 出发， 在线段AC上以每秒5 3个单位长度的速度向点C运动， 当其中一点到达终点时， 另一点也停止运动 连 接 DP、DQ、PQ，设运动时间为 t（秒） 当 t 为何值时，DPQ 的面积最小？ 是否存在某一时刻 t，使DPQ 为直角三角形？ 若存在，直接写出 t 的值
21、；若不存在，请说明理由 【题组五】【题组五】 17 （2019 秋江都区期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线 yx2+4x （1）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“方点” 试求拋物线 yx2+4x 的“方点”的坐标； （2）如图，若将该抛物线向左平移 1 个单位长度，新抛物线与 x 轴相交于 A、B 两点（A 在 B 左侧） ，与 y 轴相交于点 C，连接 BC若点 P 是直线 BC 上方抛物线上的一点，求PBC 的面积的最大值； （3） 第 （2） 问中平移后的抛物线上是否存在点 Q， 使QBC 是以 BC 为直角边的直角三角形？若存在， 直接写出所有符合条件的点 Q
22、 的坐标；若不存在，说明理由 18 （2019 秋兴化市期末）如图，RtFHG 中，H90，FHx 轴， =0.6，则称 RtFHG 为准黄 金直角三角形（G 在 F 的右上方） 已知二次函数 y1ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交 于点 E（0，3） ，顶点为 C（1，4） ，点 D 为二次函数 y2a（x1m）2+0.6m4（m0）图象的 顶点 （1）求二次函数 y1的函数关系式； （2）若准黄金直角三角形的顶点 F 与点 A 重合、G 落在二次函数 y1的图象上，求点 G 的坐标及FHG 的面积； （3）设一次函数 ymx+m 与函数 y1、y2的图象对称
23、轴右侧曲线分别交于点 P、Q且 P、Q 两点分别与 准黄金直角三角形的顶点 F、G 重合，求 m 的值，并判断以 C、D、Q、P 为顶点的四边形形状，请说明 理由 19 （2019 秋赣榆区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 yax2+bx+2（a0）与 x 轴交于 A（ 1，0） ，B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C，连接 BC （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点 N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点 M，使得以 B，C，M，N 为顶点的四边形是 平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点 P 是直线 BC 上方抛
24、物线上的点，若PCBBCO，求出 P 点的到 y 轴的距离 20 （2019海陵区校级三模）如图抛物线 yx2+（m1）x+m 与直线 ykx+k 交于点 A、B，其中 A 点在 x 轴上，它们与 y 轴交点分别为 C 和 D，P 为抛物线的顶点，且点 P 纵坐标为 4，抛物线的对称轴 交直线于点 Q （1）试用含 k 的代数式表示点 Q、点 B 的坐标 （2）连接 PC，若四边形 CDQP 的内部（包括边界和顶点）只有 4 个横坐标、纵坐标均为整数的点，求 k 的取值范围 （3）如图，四边形 CDQP 为平行四边形时， 求 k 的值； E、 F 为线段 DB 上的点 （含端点） ， 横坐标分
25、别为 a， a+n （n 为正整数） ， EGy 轴交抛物线于点 G 问 是否存在正整数 n，使满足 tanEGF= 1 2的点 E 有两个？若存在，求出 n；若不存在说明理由 【题组六】【题组六】 21 （2019泉山区校级二模）如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，B 点坐标为（3，0） ，与 y 轴交于点 C（0，3） （1）求抛物线对应函数的关系式，及 A 点坐标 （2）点 D 为抛物线对称轴上一点 当BCD 是以 BC 为直角边的直角三角形时，求点 D 的坐标； 若BCD 是锐角三角形，求点 D 的纵坐标的取值范围 22 （2019宿迁模拟）如图，抛物线 y=
26、 1 2x 2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，直线 y=1 2x+ 1 2经过点 A，与抛 物线的另一个交点为点 C（3，m） ，线段 PQ 在线段 AB 上移动，PQ1，分别过点 P、Q 作 x 轴的垂线， 交抛物线于 E、F，交直线于 D、G （1）求抛物线的解析式； （2）设四边形 DEFG 的面积为 S，求 S 的最大值； （3）在线段 PQ 的移动过程中，以 D，E，F，G 为顶点的四边形是平行四边形时，求点 P 的坐标 23 （2019东台市模拟）如图，抛物线 yax2+bx+3 的图象经过点 A（1，0） ，B（3，0） ，交 y 轴于点 C， 顶点是 D （1）求抛物
27、线的表达式和顶点 D 的坐标； （2）在 x 轴上取点 F，在抛物线上取点 E，使以点 C、D、E、F 为顶点的四边形是平行四边形，求点 E 的坐标； （3）将此抛物线沿着过点（0，2）且垂直于 y 轴的直线翻折，E 为所得新抛物线 x 轴上方一动点，过 E 作 x 轴的垂线，交 x 轴于 G，交直线 l：y= 1 2x1 于点 F，以 EF 为直径作圆在直线 l 上截得弦 MN，求 弦 MN 长度的最大值 24 （2019阜宁县一模）如图，已知抛物线 y= 1 4x 2+bx+4 与 x 轴相交于 A、B 两点，与 y 轴相交于点 C， 若已知 A 点的坐标为 A（2，0） （1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程； （2）求点 C 的坐标，连接 AC、BC 并求线段 BC 所在直线的解析式； （3）证明：以 AC 为直径的圆与抛物线的对称轴相离； （4）在抛物线对称轴上是否存在点 Q，使ACQ 的外心恰好在一条边上？若存在，求出符合条件的 Q 点坐标；若不存在，请说明理由
