1、 第第 1919 讲讲 点、直线和圆的位置关系及其计算点、直线和圆的位置关系及其计算 一、考点知识梳理一、考点知识梳理 【考点【考点 1 1 切线的性质与判定】切线的性质与判定】 1.点与圆的位置关系(设 r 为圆的半径，d 为点到圆心的距离) 位置关系,数量(d 与 r) 点在圆内 dr,点在圆上 dr,点在圆外 dr，数量(d 与 r) 2.直线和圆的三种位置关系： 相离：一条直线和圆没有公共点 相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫 切点 相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线 3.判断直线和圆的位
2、置关系：设O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d 位置关系,相离,相切,相交 公共点个数,0,1,2 公共点的名称,无,切点,交点 数量关系,dr,dr,dr 4.切线的判定： 判定切线的方法有三种：利用切线的定义，即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；到圆心的距离等 于半径的直线是圆的切线；经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 5. 切线的五个性质： 切线与圆只有一个公共点； 切线到圆心的距离等于圆的半径； 切线垂直于经过切点的半径； 经过圆心垂直于切线的直线必过切点； 经过切点垂直于切线的直线必过圆心 6.切线长定理： 经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长度，叫做这
3、点到圆的切线长经圆外一点可以引圆 的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 【考点【考点 2 2 三角形内切圆】三角形内切圆】 内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做 圆的外切三角形三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点 二、考点分析 【考点【考点 1 1 切线的性质与判定】切线的性质与判定】 【解题技巧】1判断直线与圆相切时：(1)直线与圆的公共点已知时，连半径证垂直；(2)直线与圆的公共 点未知时，过圆心作直线的垂线证垂线段等于半径 2利用切线的性质解决问题，通常连过切点的半径，构造直
4、角三角形来解决 3.由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系简记作：见切点，连 半径，见垂直 【例 1】 （2019 浙江杭州中考）如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA3，则PB （ ） A2 B3 C4 D5 【答案】B 【分析】连接OA、OB、OP，根据切线的性质得出OAPA，OBPB，然后证得 RtAOPRtBOP，即可求得 PBPA3 【解答】解：连接OA、OB、OP， PA，PB分别切圆O于A，B两点， OAPA，OBPB， 在 RtAOP和 RtBOP中， ， RtAOPRtBOP（HL） ， PBPA3， 故选：B 【一领三
5、通一领三通 1-1】 （2019 重庆中考）如图，AB是O的直径，AC是O的切线，A为切点，BC与O交于点 D，连结OD若C50，则AOD的度数为（ ） A40 B50 C80 D100 【答案】C 【分析】 由切线的性质得出BAC90， 求出ABC40， 由等腰三角形的性质得出ODBABC40， 再由三角形的外角性质即可得出结果 【解答】解：AC是O的切线， ABAC， BAC90， C50， ABC40， ODOB， ODBABC40， AODODB+ABC80； 故选：C 【一领三通一领三通 1-2】 （2019 上海中考）已知A与B外切，C与A、B都内切，且AB5，AC6，BC7， 那
6、么C的半径长是（ ） A11 B10 C9 D8 【答案】C 【分析】如图，设A，B，C的半径为x，y，z构建方程组即可解决问题 【解答】解：如图，设A，B，C的半径为x，y，z 由题意：， 解得， 故选：C 【一领三通一领三通 1-3】 （2019 南京中考）如图，PA、PB是O的切线，A、B为切点，点C、D在O上若P 102，则A+C 【答案】219 【分析】连接AB，根据切线的性质得到PAPB，根据等腰三角形的性质得到PABPBA（180 102）39，由圆内接四边形的性质得到DAB+C180，于是得到结论 【解答】解：连接AB， PA、PB是O的切线， PAPB， P102， PABP
7、BA（180102）39， DAB+C180， PAD+CPAB+DAB+C180+39219， 故答案为：219 【一领三通一领三通 1-4】（2019 浙江温州中考） 如图， O分别切BAC的两边AB，AC于点E，F， 点P在优弧 （） 上，若BAC66，则EPF等于 度 【答案】57 【分析】连接OE，OF，由切线的性质可得OEAB，OFAC，由四边形内角和定理可求EOF114，即可 求EPF的度数 【解答】解：连接OE，OF O分别切BAC的两边AB，AC于点E，F OEAB，OFAC 又BAC66 EOF114 EOF2EPF EPF57 故答案为：57 【考点【考点 2 2 三角形
8、内切圆】三角形内切圆】 【解题技巧】1.任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形 2.三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这 个内角 3.直角三角形的外接圆与内切圆半径的求法：若 a，b 是RtABC 的两条直角边，c 为斜边，则(1)直角三角 形的外接圆半径 Rc 2；(2)直角三角形的内切圆半径 r abc 2 . 【例 2】 （2019 云南中考）如图，ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB5，BC 13，CA12，则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是（ ） A4 B6.25 C7.5
9、 D9 【答案】A 【分析】利用勾股定理的逆定理得到ABC为直角三角形，A90，再利用切线的性质得到OFAB，OE AC，所以四边形OFAE为正方形，设OEAEAFr，利用切线长定理得到BDBF5r，CDCE12 r，所以 5r+12r13，然后求出r后可计算出阴影部分（即四边形AEOF）的面积 【解答】解：AB5，BC13，CA12， AB 2+CA2BC2， ABC为直角三角形，A90， AB、AC与O分别相切于点E、F OFAB，OEAC， 四边形OFAE为正方形， 设OEr， 则AEAFr， ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F， BDBF5r，CDCE12r， 5
10、r+12r13， r2， 阴影部分（即四边形AEOF）的面积是 224 故选：A 【一领三通一领三通 2-1】 （2019台湾）如图，直角三角形ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点，根据图 中标示的长度与角度，求AD的长度为何？（ ） A B C D 【答案】D 【分析】设ADx，利用切线长定理得到BDBE1，ABx+1，ACAD+CEx+4，然后根据勾股定理得到 （x+1） 2+52（x+4）2，最后解方程即可 【解答】解：设ADx， 直角三角形ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点， BDBE1， ABx+1，ACAD+CEx+4， 在 RtABC中， （x+1） 2+5
11、2（x+4）2，解得 x， 即AD的长度为 故选：D 【一领三通一领三通 2-2】 （2019山东济南模拟）如图，在矩形ABCD中，AB4，AD5，AD，AB，BC分别与O相 切于E，F，G三点，过点D作O的切线BC于点M，切点为N，则DM的长为（ ） A B C D2 【答案】A 【分析】连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，得到AB90，CDAB4，由于AD，AB，BC分别 与O相切于E，F，G三点得到AEOAFOOFBBGO90，推出四边形AFOE，FBGO是正方形， 得到AFBFAEBG2，由勾股定理列方程即可求出结果 【解答】解：连接OE，OF，ON，OG， 在矩形ABCD中
12、， AB90，CDAB4， AD，AB，BC分别与O相切于E，F，G三点， AEOAFOOFBBGO90， 四边形AFOE，FBGO是正方形， AFBFAEBG2， DE3， DM是O的切线， DNDE3，MNMG， CM52MN3MN， 在RtDMC中，DM 2CD2+CM2， （3+NM） 2（3NM）2+42， NM， DM3， 故选：A 【一领三通一领三通 2-3】（2019青海） 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作 数书九章 中提出了 “三斜求积术” ， 三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积若改用现代数学语言表示，其形式为：设a，b， c为三角形三边，S为面积，则S 这
13、是中国古代数学的瑰宝之一 而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设p（周长的 一半） ，则S （1）尝试验证这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以 5，7，8 为三边构成的三角形，分别验证它 们的面积值； （2）问题探究经过验证，你发现公式和等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从 或者） ； （3）问题引申三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公 式请你证明如下这个公式：如图，ABC的内切圆半径为r，三角形三边长为a，b，c，仍记p， S为三角形面积，则Spr 【分析】 （1）由公式得：S10，由得：p10，S
14、 10； （2） 求出 2pa+b+c， 把中根号内的式子可化为：（ab+）（ab） （a+b+c） （a+bc） （c+ab） （ca+b）2p（2p2c） （2p2b） （2p2a）p（pa） （pb） （pc） ， 即可得出结论； （3）连接OA、OB、OC，SSAOB+SAOC+SBOC，由三角形面积公式即可得出结论 【解答】解： （1）由得：S10， 由得：p10， S10； （2）公式和等价；推导过程如下： p， 2pa+b+c， 中根号内的式子可化为： （ab+） （ab） （2ab+a 2+b2c2） （2aba2b2+c2） （a+b） 2c2c2（ab）2 （a+b+c）
15、（a+bc） （c+ab） （ca+b） 2p（2p2c） （2p2b） （2p2a） p（pa） （pb） （pc） ， ； （3）连接OA、OB、OC，如图所示： SSAOB+SAOC+SBOCrc+rb+ra（）rpr 【一领三通一领三通 2-4】 （2019 山西中考）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 莱昂哈德欧拉（LeonhardEuler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和 定理，下面就是欧拉发现的一个定理：在ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其 中外心和内心，则OI 2R22Rr 如图 1，O和I分别是ABC的外接圆和内切圆
16、，I与AB相切分于点F，设O的半径为R，I的半 径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI d，则有d 2R22Rr 下面是该定理的证明过程（部分） ： 延长AI交O于点D，过点I作O的直径MN，连接DM，AN DN，DMINAI（同弧所对的圆周角相等） MDIANI，IAIDIMIN， 如图 2，在图 1（隐去MD，AN）的基础上作O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF DE是O的直径，所以DBE90 I与AB相切于点F，所以AFI90， DBEIFA BADE（同弧所对的圆周角相等） ， AIFEDB， IABDDEIF 任务： （1）
17、观察发现：IMR R+d，IN （用含R，d的代数式表示） ； （2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由 （3）请观察式子和式子，并利用任务（1） ， （2）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩 余部分； （4）应用：若ABC的外接圆的半径为 5cm，内切圆的半径为 2cm，则ABC的外心与内心之间的距离为 cm 【分析】 （1）直接观察可得； （2）BDID，只要证明BIDDBI，由三角形内心性质和圆周角性质即可得证； （3）应用（1） （2）结论即可； （4）直接代入计算 【解答】解： （1）O、I、N三点共线， OI+INON INONOIR Rd 故答案为：R Rd； （
18、2）BDID 理由如下： 如图 3，过点I作O直径MN，连接AI交O于D，连接MD，BI，BD， 点I是ABC的内心 BADCAD，CBIABI DBCCAD，BIDBAD+ABI，DBIDBC+CBI BIDDBI BDID （3）由（2）知：BDID IAIDDEIF DEIFIMIN 2Rr（R R+d） （R Rd） R 2d22Rr d 2R22Rr （4）由（3）知：d 2R22Rr；将 R5，r2 代入得： d 2522525， d0 d 故答案为： 三、 【达标测试】 （一）选择题（一）选择题 1.（2019哈尔滨）如图，PA、PB分别与O相切于A、B两点，点C为O上一点，连接
19、AC、BC，若P 50，则ACB的度数为（ ） A60 B75 C70 D65 【答案】D 【分析】先利用切线的性质得OAPOBP90，再利用四边形的内角和计算出AOB的度数，然后根据 圆周角定理计算ACB的度数 【解答】解：连接OA、OB， PA、PB分别与O相切于A、B两点， OAPA，OBPB， OAPOBP90， AOB180P18050130， ACBAOB13065 故选：D 2.（2019广州）平面内，O的半径为 1，点P到O的距离为 2，过点P可作O的切线条数为（ ） A0 条 B1 条 C2 条 D无数条 【答案】C 【分析】先确定点与圆的位置关系，再根据切线的定义即可直接得
20、出答案 【解答】解：O的半径为 1，点P到圆心O的距离为 2， dr， 点P与O的位置关系是：P在O外， 过圆外一点可以作圆的 2 条切线， 故选：C 3.（2019 河北唐山中考模拟）如图，直线yx+1 与x轴、y轴分别相交于A、B两点，P是该直线上的 任一点，过点D（3，0）向以P为圆心，AB为半径的P作两条切线，切点分别为E、F，则四边形PEDF 面积的最小值为（ ） A B C2 D 【答案】A 【分析】连接DP，根据直线yx+1 与x轴、y轴分别相交于A、B两点，求得AB的长，即可得出P的 半径，证PEDPFD，可得四边形PEDF面积2SPED2PEDE，当DPAP时，四边形PEDF
21、面积的 最小，利用锐角三角函数求出DP的长，即可得出四边形PEDF面积的最小值 【解答】解：如图，连接DP， 直线yx+1 与x轴、y轴分别相交于A、B两点， 当x0 时，y1，当y0 时，x2， A（2，0） ，B（0，1） ， AB， 过点D（3，0）向以P为圆心，AB为半径的P作两条切线，切点分别为E、F， DEDF，PEDE， PEPF，PDPD， PEDPFD（SSS） ， P的半径为， DE， 当DPAP时，DP最小，此时DPADsinBAO5， 四边形PEDF面积2SPED2PEDEDE， 四边形PEDF面积的最小值为 故选：A 4.（2019 天津北辰区中考模拟）如图，AB、A
22、C为O的切线，B、C是切点，延长OB到D，使BDOB，连 接AD，如果DAC78，那么ADO等于（ ） A70 B64 C62 D51 【答案】B 【分析】连接OC证明CAOOABBAD，从而进一步求解 【解答】解：连接OC 则OCOB，ACAB，OAOA，AOCAOB CAOBAO AB是O的切线， OBAB BDOB， AB是线段OD的垂直平分线，OAAD OABDABOAC7826 ADO180ABDDAB180902664 故选：B 5.（2019 山东威海中考模拟）如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB2，AD10，C是弧 BD上的一个动点， 连接AC， 过D点作DHAC于H
23、， 连接BH， 在点C移动的过程中，BH的最小值是 （ ） A5 B6 C7 D8 【答案】D 【分析】如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM由题意点H在以M为圆心，MD为半径的M上，推出当 M、H、B共线时，BH的值最小； 【解答】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM DHAC， AHD90， 点H在以M为圆心，MD为半径的M上， 当M、H、B共线时，BH的值最小， AB是直径， ADB90， BD12， BM13， BH的最小值为BMMH1358 故选：D 6. （2019 辽宁葫芦岛中考模拟） 设正三角形1的面积为S1， 作1的内切圆， 再作内切圆的内接正三角形， 设为2，
24、面积为S2，如此下去作一系列的正三角形3，4，其面积相应为S3，S4，设S11， TnS1+S2+Sn，则当n充分大时，Tn的值最接近以下哪个值？（ ） A B C D2 【答案】C 【分析】由题意Tn1+（） n1，两边乘 4 得到：4T n4+1+（） n2，得到：3T n 4（） n1，由此即可判断 【解答】解：由题意：S11，S2，S3（） 2，S n（） n1， Tn1+（） n1 两边乘 4 得到：4Tn4+1+（） n2， 得到：3Tn4（） n1， 当n充分大时， （） n1接近 0， Tn的值接近， 故选：C 7.（2019 河南郑州中考模拟）如图，A、B、C、D、E是O上的
25、 5 等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA，得 到一个五角星图形和五边形MNFGH 有下列 3 个结论： AOBE， CGDCOD+CAD， BMMNNE 其 中正确的结论是（ ） A B C D 【答案】A 【分析】 根据圆的性质得到AOBE， 故正确； 由A、B、C、D、E是O上的 5 等分点， 得到的度数 72求得COD72根据圆周角定理得到CAD36；连接CD求得CGD108，于是得到CGD COD+CAD，故正确；连接AB，AE，根据全等三角形的性质即可得到结论 【解答】解：A、B、C、D、E是O上的 5 等分点， ， AOBE，故正确； A、B、C、D、E是O上的 5 等分点，
26、 的度数72 COD72 COD2CAD CAD36； 连接CD A、B、C、D、E是O上的 5 等分点， ， BDCDCECAD36， CGD108， CGDCOD+CAD，故正确； 连接AB，AE， 则BAMABMEANAEN36， ABAE， ABMAEN（ASA） ， BMENAMAN， MAN36， AMMN，错误 故选：A 8.（2019 河北沧州中考模拟）如图以正五边形ABCDE的顶点A为圆心，AE为半径作圆弧交BA的延长线于 点A，再以点B为圆心，BA为半径作圆弧交CB的延长线于B，依次进行得到螺旋线，再顺次连结EA， AB，BC，CD，DE，得到 5 块阴影区域，若记它们的面
27、积分别为S1，S2，S3，S4，S5，且满足S5S21， 则S4S3的值为（ ） A B C D 【答案】D 【分析】设五边形的边长为a求出各个阴影部分的面积，根据S5S21，寻找关系式，即可解决问题 【解答】解：设五边形的边长为a则S1a 2sin72， S2a2asin72， S3a3asin72， S4a4asin72， S5a5asin72， S5S21， 5a 2 a 2 a 2sin721， a 2 a 2sin721， S4S3a 2 a 2 a 2sin72 a 2 a 2sin72 ， 故选：D （二）（二）填空题填空题 1.（2019 山东淄博中考模拟）如图，已知A（6，0
28、） ，B（4，3）为平面直角坐标系内两点，以点B圆心的 B经过原点O，BCx轴于点C，点D为B上一动点，E为AD的中点，则线段CE长度的最大值 为 【答案】 【分析】如图，作点A关于点C的对称点A，连接BA，BD，DA因为ACCA，DEEA，所以EC DA，求出DA的最大值即可解决问题 【解答】解：如图，作点A关于点C的对称点A，连接BA，BD，DA 由题意ACCA2，BC3，BDOB5， BA， ACCA，DEEA， ECDA， DABD+BA， DA5+， DA的最大值为 5+， EC的最大值为， 故答案为 2.（2019 河北衡水中考模拟）点I为ABC的内心，连AI交ABC的外接圆于点D
29、，若AI2CD，点E为 弦AC的中点，连接EI，IC，若IC6，ID5，则IE的长为 【答案】4 【分析】延长ID到M，使得DMID，连接CM想办法求出CM，证明IE是ACM的中位线即可解决问题； 【解答】解：延长ID到M，使得DMID，连接CM I是ABC的内心， IACIAB，ICAICB， DICIAC+ICA，DCIBCD+ICB，BCDIAB， DICDCI， DIDCDM， ICM90， CM8， AI2CD10， AIIM，AEEC， IECM4， 故答案为 4 3.（2019 湖北黄石中考模拟）如图，矩形ABCD中，AB4，AD8，点E，F分别在边AD，BC上，且点B， F关于
30、过点E的直线对称，如果EF与以CD为直径的圆恰好相切，那么AE 【答案】6 【分析】设O与EF相切于M，连接EB，作EHBC于H由题意易知四边形AEHB是矩形，设AEBHx， 由切线长定理可知，EDEM，FCFM，由B、F关于EH对称，推出HFBHx，EDEM8x，FCFM8 2x，EF163x，在 RtEFH中，根据EF 2EH2+HF2，列出方程即可解决问题 【解答】解：如图，设O与EF相切于M，连接EB，作EHBC于H 由题意易知四边形AEHB是矩形，设AEBHx， 由切线长定理可知，EDEM，FCFM， B、F关于EH对称， HFBHx，EDEM8x，FCFM82x，EF163x， 在
31、 RtEFH中，EF 2EH2+HF2， 4 2+x2（163x）2， 解得x6或 6+（舍弃） ， AE6， 故答案为：6 4.（2019 上海黄浦区中考模拟）如图，ABCDE是正五边形，已知AG1，则FG+JH+CD 【答案】+1 【分析】根据对称性可知：GJBH，GBJH，推出四边形JHBG是平行四边形，推出JHBG，同理可证：四 边形CDFB是平行四边形，推出CDFB，推出FG+JH+CDFG+BG+FB2BF，设FGx，由AFGBFA，推 出AF 2FGFB，由此构建方程求出 x即可解决问题； 【解答】解：根据对称性可知：GJBH，GBJH， 四边形JHBG是平行四边形， JHBG，
32、 同理可证：四边形CDFB是平行四边形， CDFB， FG+JH+CDFG+BG+FB2BF， 设FGx， AFGAFB，FAGABF36， AFGBFA， AF 2FGFB， AFAGBG1， x（x+1）1， x（负根已经舍弃） ， BF+1， FG+JH+CD+1 故答案为+1 5.（2019 天津南开区中考模拟）如图，已知AB为O的直径，直线l与O相切于点D，ACl于C，AC交 O于点E，DFAB于F若AE3，CD2，则O的直径为 【答案】5 【分析】利用切线的性质，易得ODAC，继而证明AD是BAC的角平分线，根据角平分线的性质定理可证 得：CDDF，AFAC，进而证得BDFEDC，
33、则BFCE；根据ACAF，BFCE即可求解 【解答】解：连接DE，BD DC是圆的切线 EDCDAC，OD直线l， AC直线l ODAC， ADODAC， OAOD， OADADO， OADDAC， DFCD2，ADFADC， AFAC， DCEACD， CDECAD， CD：CACE：CD， CD 2CECA，即 4CE（CE+3） ， 解得：CE1， DFAB，ACl于C， BFDDCE90， 在BDF和EDC中， ， BDFEDC（AAS） ， FBCE1， ABBF+AFBF+AC1+AE+CE1+3+15 方法二：连接BE交OD于H，解直角三角形OEH即可解决问题； 故答案为：5 6
34、.（2019 河北廊坊中考模拟）如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径 1，直线l的解析式为y x+t若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是 【答案】t或1t1 【分析】若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点C或从直线过点A开始到直线 过点B结束（不包括直线过点A） 当直线和半圆相切于点C时， 根据直线的解析式知直线与x轴所形成的锐角是 45， 从而求得DOC45， 即可求出点C的坐标，进一步求得t的值；当直线过点B时，直接根据待定系数法求得t的值 【解答】解：若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点C或从直线过点A开始到 直线过点B结束（不包括
35、直线过点A） 直线yx+t与x轴所形成的锐角是 45 当直线和半圆相切于点C时，则OC垂直于直线，COD45 又OC1，则CDOD，即点C（，） ， 把点C的坐标代入直线解析式，得 tyx， 当直线过点A时，把点A（1，0）代入直线解析式，得tyx1 当直线过点B时，把点B（1，0）代入直线解析式，得tyx1 即当t或1t1 时，直线和圆只有一个公共点； 故答案为t或1t1 7.（2019 四川成都中考模拟）如图，在ABC中，C90，AC8，AB10，点P在AC上，AP2，若 O的圆心在线段BP上，且O与AB、AC都相切，则O的半径是 【答案】1 【分析】设O和AC，AB分别相切于点D、E，连
36、接OD、OE设圆的半径是x根据切线长定理和勾股定理 求解 【解答】解：设O和AC，AB分别相切于点D、E，连接OD、OE 设圆的半径是x在直角三角形ABC中，根据勾股定理得BC6 又PC826，则BCPC， 所以BPC45， PDODx，ADx+2， 根据切线长定理得AEx+2，BE10（2+x）8x，OBBPOP6x； 在直角三角形OBE中，根据勾股定理得： （6x） 2x2+（8x）2， x1，即O的半径是 1 故答案为O的半径是 1 8.（2019 山东济南中考模拟）图 1 为一锐角是 30的直角三角尺，其边框为透明塑料制成（内、外直角三 角形对应边互相平行且三处所示宽度相等） 将三角尺
37、移向直径为 4cm的O，它的内 RtABC的斜边AB恰 好等于O的直径，它的外 RtABC的直角边AC恰好与O相切（如图 2） 则边BC的 长 【答案】 （3+）cm 【分析】过O作ODAC于D，交AC于E，由AC与AC，根据与平行线中的一条直线垂直，与另一 条也垂直，得到OD与AC垂直，可得DE为三角尺的宽，由AC与圆O相切，根据切线的性质得到OD为 圆的半径，根据直径AB的长，求出半径OA，OB及OD的长，在直角三角形AOE中，根据A30，利用 直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半可得出OE等于OA的一半，由OA的长求出OE的长， 再由ODOE求出DE的长，即三角尺的宽为 1，设
38、直线AC交AB于M，交BC于N，过A点作AHA B于H，则有AMH30，AH1，得到AM2AH2，可计算出MN，在 RtMBN中利用含 30的直角 三角形三边的关系得到BN长，即可得出答案 【解答】解：过O作ODAC于D，交AC于E， ACAC， ACOD， AC与O相切，AB为圆O的直径，且AB4cm， ODOAOBAB4cm2cm， 在 RtAOE中，A30， OEOA2cm1cm， DEODOE2cm1cm1cm， 则三角尺的宽为 1cm， 在 RtACB中，AB4cm，BAC30， BCAB2cm，ACBC2cm， 设直线AC交AB于M，交BC于N，过A点作AHAB于H， 则有AMH3
39、0，AH1cm，得到AM2AH2cm， MNAM+AC+CN（3+2）cm， 在 RtMBN中，BMN30， BNMNtan30（3+2）（+2）cm， 则BCBN N+NC（3+）cm， 故答案为： （3+）cm （三）（三）解答题解答题 1.（2019 甘肃中考）如图，在 RtABC中，C90，以BC为直径的O交AB于点D，切线DE交AC于 点E （1）求证：AADE； （2）若AD8，DE5，求BC的长 【分析】 （1）只要证明A+B90，ADE+B90即可解决问题； （2） 首先证明AC2DE10，在 RtADC中，DC6， 设BDx， 在 RtBDC中，BC 2x2+62， 在 Rt
40、ABC 中， BC 2（x+8）2102，可得 x 2+62（x+8）2102，解方程即可解决问题 【解答】 （1）证明：连接OD， DE是切线， ODE90， ADE+BDO90， ACB90， A+B90， ODOB， BBDO， ADEA （2）解：连接CD ADEA， AEDE， BC是O的直径，ACB90， EC是O的切线， EDEC， AEEC， DE5， AC2DE10， 在 RtADC中，DC6， 设BDx，在 RtBDC中，BC 2x2+62，在 RtABC 中，BC 2（x+8）2102， x 2+62（x+8）2102， 解得x， BC 2.（2019 广东中考）如图 1
41、，在ABC中，ABAC，O是ABC的外接圆，过点C作BCDACB交O 于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CFAC，连接AF （1）求证：EDEC； （2）求证：AF是O的切线； （3）如图 2，若点G是ACD的内心，BCBE25，求BG的长 【分析】 （1）由ABAC知ABCACB，结合ACBBCD，ABCADC得BCDADC，从而得证； （2）连接OA，由CAFCFA知ACDCAF+CFA2CAF，结合ACBBCD得ACD2ACB， CAFACB，据此可知AFBC，从而得OAAF，从而得证； （3）证ABECBA得AB 2BCBE，据此知 AB5，连接AG，得BAGBAD+DA
42、G，BGAGAC+ ACB，由点G为内心知DAGGAC，结合BAD+DAGGDC+ACB得BAGBGA，从而得出BGAB 5 【解答】解： （1）ABAC， ABCACB， 又ACBBCD，ABCADC， BCDADC， EDEC； （2）如图 1，连接OA， ABAC， ， OABC， CACF， CAFCFA， ACDCAF+CFA2CAF， ACBBCD， ACD2ACB， CAFACB， AFBC， OAAF， AF为O的切线； （3）ABECBA，BADBCDACB， ABECBA， ， AB 2BCBE， BCBE25， AB5， 如图 2，连接AG， BAGBAD+DAG，BGAGAC+ACB， 点G为内心， DAGGAC， 又BAD+DAGGDC+ACB， BAGBGA， BGAB5 3.（2019 江徐州苏中考）如图，AB为O的直径，C为O上一点，D为的中点过点D作直线AC的垂 线，垂足为E，连接OD （1）求证：ADOB； （2）DE与O有怎样的位置关系？请说明理由 【分析】 （1）连接OC，由D为的中点，得到，根据圆周角定理即可得到结论； （2）根据平行线的判定定理得到AEOD，根据平行线性质得到ODDE，于是得到结论 【解答】 （1）证明：连接OC， D为的中点，
