1、 中考数学几何模型 5：角含半角模型 TH 名师点睛 拨开云雾 开门见山 角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角 模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折 目标三角形法。 类型一：等腰直角三角形角含半角模型类型一：等腰直角三角形角含半角模型 （1）如图，在ABC 中，AB=AC，BAC=90，点 D，E 在 BC 上，且DAE=45，则：BD2+CE2=DE2. 图示（1） 作法 1：将ABD 旋转 90 作法 2：分别翻折ABD,ACE （2）如图，在ABC 中，AB=AC，BAC=90，点
2、 D 在 BC 上，点 E 在 BC 延长线上，且DAE=45， 则：BD2+CE2=DE2. 图示（2） （3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理 任意等腰三角形 类型二：正方形中角含半角模型类型二：正方形中角含半角模型 （1）如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，EAF=45，连接 EF，过点 A 作 AG 于 EF 于点 G，则：EF=BE+DF，AG=AD. 图示（1） 作法：将ABE 绕点 A 逆时针旋转 90 （2） 如图， 在正方形 ABCD 中， 点 E， F 分别在边 CB， DC 的延长线上， EAF=45
3、， 连接 EF， 则： EF=DF-BE. 图示（2） 作法：将ABE 绕点 A 逆时针旋转 90 （3）如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形 ABCD 中，AB=AD，BAD+ C=180，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，EAF= 1 2 BAD，连接 EF，则：EF=BE+DF. 图示（3） 作法：将ABE 绕点 A 逆时针旋转BAD 的大小 典题探究 启迪思维 探究重点 例题例题 1. 如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E，F 分别在 AB，AD 上，若 CE5，且ECF45，则 CF 的长为 4 【解答】解：如图，延长 FD 到 G，使 DGBE；连
4、接 CG、EF； 四边形 ABCD 为正方形，在BCE 与DCG 中，BCEDCG（SAS） ， CGCE，DCGBCE，GCF45， 在GCF 与ECF 中，GCFECF（SAS） ，GFEF， CE5，CB4，BE3，AE1， 设 AFx，则 DF4x，GF1+（4x）5x，EF， （5x）21+x2，x，即 AF，DF4， CF4， 故答案为：4 变式练习变式练习 1如图四边形 ABCD 中，ADBC，BCD90，ABBC+AD，DAC45，E 为 CD 上一点，且 BAE45若 CD4，则ABE 的面积为（ ） A B C D 【解答】解法一：作 AFCB 交 CB 的延长线于 F，在
5、 CF 的延长线上取一点 G，使得 FGDE ADBC， BCD+ADC180， ADCBCDAFC90， 四边形 ADCF 是矩形， CAD45， ADCD， 四边形 ADCF 是正方形， AFAD，AFGADF90， AFGADE， AGAE，FAGDAE， FAG+FABEAD+FAB45BAE， BAEBAG， BEBGBF+GFBF+DE， 设 BCa，则 AB4+a，BF4a， 在 RtABF 中，42+（4a）2（4+a）2，解得 a1， BC1，BF3，设 BEb，则 DEb3，CE4（b3）7b 在 RtBCE 中，12+（7b）2b2，解得 b， BGBE， SABESAB
6、G4 例题例题 2. 在正方形 ABCD 中，连接 BD （1）如图 1，AEBD 于 E直接写出BAE 的度数 （2）如图 1，在（1）的条件下，将AEB 以 A 旋转中心，沿逆时针方向旋转 30后得到ABE， AB与 BD 交于 M，AE的延长线与 BD 交于 N 依题意补全图 1； 用等式表示线段 BM、DN 和 MN 之间的数量关系，并证明 （3）如图 2，E、F 是边 BC、CD 上的点，CEF 周长是正方形 ABCD 周长的一半，AE、AF 分别与 BD 交于 M、N，写出判断线段 BM、DN、MN 之间数量关系的思路 （不必写出完整推理过程） 【解答】解： （1）BD 是正方形
7、ABCD 的对角线， ABDADB45， AEBD， ABEBAE45， （2）依题意补全图形，如图 1 所示， BM、DN 和 MN 之间的数量关系是 BM2+MD2MN2， 将AND 绕点 D 顺时针旋转 90，得到AFB， ADBFBA，BAFDAN，DNBF，AFAN， 在正方形 ABCD 中，AEBD， ADBABD45， FBMFBA+ABDADB+ABD90， 在 RtBFM 中，根据勾股定理得，FB2+BM2FM2， 旋转ANE 得到 AB1E1， E1AB145， BAB1+DAN904545， BAFDAN， BAB1+BAF45， FAM45， FAME1AB1， AMA
8、M，AFAN， AFMANM， FMMN， FB2+BM2FM2， DN2+BM2MN2， 变式练习变式练习 2. （1） 【探索发现】 如图 1，正方形 ABCD 中，点 M、N 分别是边 BC、CD 上的点，MAN45，若将DAN 绕点 A 顺时 针旋转90到BAG位置， 可得MANMAG， 若MCN的周长为6， 则正方形ABCD的边长为 3 （2） 【类比延伸】 如图（2） ，四边形 ABCD 中，ABAD，BAD120，B+D180，点 M、N 分别在边 BC、CD 上的点，MAN60，请判断线段 BM，DN，MN 之间的数量关系，并说明理由 （3） 【拓展应用】 如图 3，四边形 A
9、BCD 中，ABAD10，ADC120，点 M，N 分别在边 BC，CD 上，连接 AM， MN，ABM 是等边三角形，AMAD，DN5（1） ，请直接写出 MN 的长 【解答】解： （1）如图 1 中， MANMAG，MNGM， DNBG，GMBG+BM， MNBM+DN， CMN 的周长为：MN+CM+CN6， BM+CM+CN+DN6， BC+CD6， BCCD3， 故答案为 3 （2）如图 2 中，结论：MNNM+DN 延长 CB 至 E，使 BEDN，连接 AE， ABC+D180，ABC+ABE180， DABE， 在ABE 和ADN 中， ABEADN， ANAE，DANBAE，
10、 BAD2MAN， DAN+BAMMAN， MANEAM， 在MAN 和MAE 中， MANMAE， MNEMBE+BMBM+DN，即 MNBM+DN； （3）解：如图 3，把ABM 绕点 A 逆时针旋转 150至ADG，连接 AN作 NHAD 于 H，在 AH 上 取一点 K，使得NKH30 在 RtDHN 中，NDH60DN5（1） ， DHDN，HNDH， 在 RtKNH 中，KN2HN155，HKHN， AKAHHK155， AKKN， KANKNA， NKHKAN+KNA， NAK15， MAN75BAD， 由（2）得，MNBM+DN10+5（1）5+5 例题例题 3. 如图，在四边
11、形 ABCD 中，AB=BC，A=C=90，B=135，K，N 分别是 AB，BC 上的点， 若BKN 的周长为 AB 的 2 倍，求KDN 的度数. 变式练习变式练习 3. 如图，正方形被两条与边平行的线段 EF，GH 分割成四个小矩形，P 是 EF 与 GH 的交点，若矩形 PFCH 的面积恰是矩形 AGPE 面积的 2 倍，试确定HAF 的大小并证明你的结论. 例题例题 4. 如图，在四边形 ABCD 中，ABAD，BCCD，ABCADC90，MANBAD （1）如图 1，将MAN 绕着 A 点旋转，它的两边分别交边 BC、CD 于 M、N，试判断这一过程中线段 BM、DN 和 MN 之
12、间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明； （2）如图 2，将MAN 绕着 A 点旋转，它的两边分别交边 BC、CD 的延长线于 M、N，试判断这一过 程中线段 BM、DN 和 MN 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论； （3）如图 3，将MAN 绕着 A 点旋转，它的两边分别交边 BC、CD 的反向延长线于 M、N，试判断这 一过程中线段 BM、DN 和 MN 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明 【解答】解： （1）证明：延长 MB 到 G，使 BGDN，连接 AG ABGABCADC90，ABAD， ABGADN AGAN，BGDN，14 1+24+2MANBAD GAMMA
13、N 又 AMAM， AMGAMN MGMN MGBM+BG MNBM+DN （2）MNBMDN 证明：在 BM 上截取 BG，使 BGDN，连接 AG ABCADC90，ADAB， ADNABG， ANAG，NADGAB， MANNAD+BAMDAB， MAGBAD， MANMAG， MANMAG， MNMG， MNBMDN （3）MNDNBM 达标检测 领悟提升 强化落实 1. 请阅读下列材料： 问题：正方形 ABCD 中，M，N 分别是直线 CB、DC 上的动点，MAN45，当MAN 交边 CB、DC 于点 M、N（如图）时，线段 BM、DN 和 MN 之间有怎样的数量关系？ 小聪同学的思
14、路是： 延长 CB 至 E 使 BEDN， 并连接 AE， 构造全等三角形经过推理使问题得到解决 请 你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： （1）直接写出上面问题中，线段 BM，DN 和 MN 之间的数量关系； （2）当MAN 分别交边 CB，DC 的延长线于点 M/N 时（如图） ，线段 BM，DN 和 MN 之间的又有怎 样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明； （3）在图中，若正方形的边长为 16cm，DN4cm，请利用（1）中的结论，试求 MN 的长 【解答】解： （1）BM+DNMN； （2）DNBMMN 理由如下： 如图，在 DC 上截取 DFBM，连接 AF ABAD，A
15、BMADF90， ABMADF （SAS） AMAF，MABFAD MAB+BAFFAD+BAF90， 即MAFBAD90 又MAN45， NAFMAN45 ANAN， MANFAN MNFN， 即 MNDNDFDNBM； （3）正方形的边长为 16，DN4， CN12 根据（1）可知，BM+DNMN， 设 MNx，则 BMx4， CM16（x4）20x 在 RtCMN 中， MN2CM2+CN2， x2（20x）2+122 解得 x13.6 MN13.6cm 2. （1）如图 1，在四边形 ABCD 中，ABAD，BD90，E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且 EAFBAD试探究图中线段
16、 BE、EF、FD 之间的数量关系 （1）小王同学探究此问题的方法是：延长 EB 到点 G，使 BGDF，连结 AG，先证明ABGADF， 再证明AEGAEF，可得出结论，他的结论应是 EFBE+FD （2）如图 2，在四边形 ABCD 中，ABAD，B+D180，E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且 EAFBAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由 （3）如图 3，在四边形 ABCD 中，ABAD，B+ADC180，E、F 分别是边 BC、CD 延长线上的 点，且EAFBAD， （1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间 的数量关系，并证明 【解答】解： （1）由
17、ABGADF，AEGAEF 可知，BGDF，EFEGBG+EFDF+EF， 故答案为 EFBE+FD. （2） （1）中的结论 EFBE+FD 仍然成立 理由：延长 EB 到点 G，使 BGDF，连结 AG ABD+D180，ABD+ABG180， ABGD， ABAD，BGDF， ABGADF， BAGDAF，AGAF， EAFBAD， BAE+DAFBADBAE+BAG， EAGEAF， AEAE，AGAF， EAGEAF， EGEF， EGBG+BEDF+BE， EFBE+DF 3. 小曼和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题： “已知正方形 ABCD，点 E、
18、F、G、H 分别在边 AB、BC、CD、DA 上，若 EGFH，则 EGFH ”为了解决这个问题，经过思考， 大家给出了以下两个方案： 方案一：过点 A 作 AMHF 交 BC 于点 M，过点 B 作 BNEG 交 CD 于点 N； 方案二：过点 A 作 AMHF 交 BC 于点 M，过点 A 作 ANEG 交 CD 于点 N （1）对小曼遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明（如图（1） ） （2）如果把条件中的“正方形”改为“长方形” ，并设 AB2，BC3（如图（2） ） ，是探究 EG、FH 之 间有怎样的数量关系，并证明你的结论 （3）如果把条件中的“EGFH”改为“EG
19、与 FH 的夹角为 45” ，并假设正方形 ABCD 的边长为 1， FH 的长为（如图（3） ） ，试求 EG 的长度 【解答】解： （1）证明：过点 A 作 AMHF 交 BC 于点 M，作 ANEG 交 CD 的延长线于点 N， AMHF，ANBC， 在正方形 ABCD 中，ABAD，ABMBADADN90 EGFH， NAM90， BAMDAN， 在ABM 和ADN 中，BAMDAN，ABAD，ABMADN ABMADN AMAN，即 EGFH （2）结论：EG：FH3：2 证明：过点 A 作 AMHF 交 BC 于点 M，作 ANEC 交 CD 的延长线于点 N， AMHF，ANEC
20、，在长方形 ABCD 中，BCAD，ABMBADADN90， EGFH， NAM90， BAMDAN ABMADN ， AB2，BCAD3， （3）解：过点 A 作 AMHF 交 BC 于点 M，过点 A 作 ANEG 交 CD 于点 N， 在 RtABM 中，BM 将AND 绕点 A 顺时针旋转 90到APB EG 与 FH 的夹角为 45， MAN45， DAN+MAB45，即PAMMAN45， 从而APMANM， PMNM 设 DNx，则 NC1x，MNPM 在 RtCMN 中，解得 4. 已知：如图，正方形 ABCD 的边长为 a，BM，DN 分别平分正方形的两个外角，且满足MAN=45，连 接 MC，NC，MN （1）填空：与ABM 相似的三角形是_，BMDN=_； （用含 a 的代数式表示） （2）求MCN 的度数； （3）猜想线段 BM，DN 和 MN 之间的等量关系并证明你的结论.
