1、 中考数学几何模型 8:费马点最值模型 TH 名师点睛 拨开云雾 开门见山 费马尔问题思考:费马尔问题思考: 如何找一点 P 使它到ABC 三个顶点的距离之和 PA+PB+PC 最小? 当当 B、P、Q、E 四点共线时取得最小值四点共线时取得最小值 =BPAPCP BPPQQEBE 费马点的定义:费马点的定义:数学上称,到三角形 3 个顶点距离之和最小的点为费马点。 它是这样确定的: 1. 如果三角形有一个内角大于或等于 120,这个内角的顶点就是费马点; 2. 如果 3 个内角均小于 120,则在三角形内部对 3 边张角均为 120的点,是三角形的费马点。 费马点的性质:费马点的性质:费马点
2、有如下主要性质: 1费马点到三角形三个顶点距离之和最小。 2费马点连接三顶点所成的三夹角皆为 120。 费马点最小值快速求解:费马点最小值快速求解: 费尔马问题告诉我们,存在这么一个点到三个定点的距离的和最小,解决问题的方法是运用旋 转变换 秘诀:秘诀:以ABC 任意一边为边向外作等边三角形,这条边所对两顶点的距离即为最小值 典题探究 启迪思维 探究重点 例题例题 1. 已知: ABC 是锐角三角形,G 是三角形内一点。AGC=AGB=BGC=120 . 求证:GA+GB+GC 的值最小. 证明:将 BGC 逆时针旋转 60 ,连 GP,DB.则 CGBCPD; CPD=CGB=120 ,CG
3、=CP,GB=PD, BC=DC,GCB=PCD. GCP=60 , BCD=60 , GCP 和 BCD 都是等边三角形。 AGC=120 , CGP=60 . A、G、P 三点一线。 CPD=120 , CPG=60 . G、P、D 三点一线。 AG、GP、PD 三条线段同在一条直线上。 GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD. G 点是等腰三角形内到三个顶点的距离之和最小的那一点 变式练习变式练习 1如图,P是边长为 1 的等边ABC内的任意一点,求tPAPBPC的取值范围. 解:将BPC绕点B顺时针旋转 60 得到BP C, 易知BPP为等边三角形. 从而PAPBPCPAPPP CA
4、C (两点之间线段最短),从而3t . 过P作BC的平行线分别交ABAC、于点MN、, 易知MNANAM. 因为在BMP和PNC中, PBMPBM, PCPNNC。 又APMANMAMN,所以PAAM. +可得 12tAMBMMPNPNCABMNNCANNC , 即2t .综上,tPAPBPC的取值范围为32t . 例题例题 2. 已知正方形 ABCD 内一动点 E 到 A、B、C 三点的距离之和的最小值为26,求正方形的边长 解解 如图 2,连接 AC,把 AEC 绕点 C 顺时针旋转 60 ,得到 GFC,连接 EF、BG、AG, 可知 EFC、 AGC 都是等边三角形,则 EF=CE又
5、FG=AE, AE+BE+CE = BE+EF+FG 点 B、点 G 为定点(G 为点 A 绕 C 点顺时针旋转 60 所得) 线段 BG 即为点 E 到 A、B、C 三点的距离之和的最小值,此时 E、F 两点都在 BG 上 设正方形的边长为a,那么 BO=CO= 2 2 a,GC=2a, GO= 6 2 a BG=BO+GO = 2 2 a+ 6 2 a 点 E 到 A、B、C 三点的距离之和的最小值为26 2 2 a+ 6 2 a=26,解得a=2 注注 本题旋转 AEB、 BEC 也都可以,但都必须绕着定点旋转,读者不妨一试 变式练习变式练习 2若 P 为锐角 ABC 的费马点,且ABC
6、=60 ,PA=3,PC=4, 求 PB 的值. 例题例题 3. 如图,矩形 ABCD 是一个长为 1000 米,宽为 600 米的货场,A、D 是入口,现拟在货场内建一个收 费站 P,在铁路线 BC 段上建一个发货站台 H,设铺设公路 AP、DP 以及 PH 之长度和为 l,求 l 的最小值 600m 1000m DA C P BH 【解答解答】3500600,线段 A1E 为最短 变式练习变式练习 3如图,某货运场为一个矩形场地 ABCD,其中 AB500 米,AD800 米,顶点 A,D 为两个出口,现在 想在货运广场内建一个货物堆放平台 P,在 BC 边上(含 B,C 两点)开一个货物
7、入口 M,并修建三条专用 车道 PA,PD,PM若修建每米专用车道的费用为 10000 元,当 M,P 建在何处时,修建专用车道的费用 最少?最少费用为多少?(结果保留整数) P1 E A1 DA C P B H 连接 AM,DM,将 ADP 绕点 A 逆时针旋转 60 ,得 APD, 由(2)知,当 M,P,P,D在同一条直线上时,AP+PM+DP 最小,最小值为 DN, M 在 BC 上, 当 DMBC 时,DM 取最小值, 设 DM 交 AD 于 E, ADD是等边三角形, EMAB500, BM400,PMEMPE500, DEAD400, DM400+500, 最少费用为 10000
8、 (400+500)1000000(4+5)元; M 建在 BC 中点 (BM400 米) 处,点 P 在过 M 且垂直于 BC 的直线上,且在 M 上方 (500) 米处,最少费用为 1000000(4+5)元 例题例题 4. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中, ABC 三个顶点的坐标分别为 A(6,0),B(6,0),C(0, 4),延长 AC 到点 D,使 CDAC,过点 D 作 DEAB 交 BC 的延长线于点 E (1)求 D 点的坐标; (2)作 C 点关于直线 DE 的对称点 F,分别连接 DF、EF,若过 B 点的直线 ykx+b 将四边形 CDFE 分 成周长相等的两个四边
9、形,确定此直线的解析式; (3)在第二问的条件下,设 G 为 y 轴上一点,点 P 从直线 ykx+b 与 y 轴的交点出发,先沿 y 轴到达 G 点,再沿 GA 到达 A 点,若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2 倍,试确定 G 点的 位置,使 P 点按照上述要求到达 A 点所用的时间最短(要求:简述确定 G 点位置的方法,但不要求证 明) 【解答】解:(1)A(6,0),C(0,4) OA6,OC4,设 DE 与 y 轴交于点 M 由 DEAB 可得 DMCAOC,又CDAC ,CM2,MD3,同理可得 EM3 OM6,D 点的坐标为(3,6); (2)由(1
10、)可得点 M 的坐标为(0,6) 由 DEAB,EMMD,可得 y 轴所在直线是线段 ED 的垂直平分线 点 C 关于直线 DE 的对称点 F 在 y 轴上,ED 与 CF 互相垂直平分 CDDFFEEC,四边形 CDFE 为菱形,且点 M 为其对称中心 作直线 BM,设 BM 与 CD、EF 分别交于点 S、点 T, 可证 FTMCSM,FTCS, FECD,TESD, ECDF,TE+EC+CS+STSD+DF+FT+TS, 直线 BM 将四边形 CDFE 分成周长相等的两个四边形, 由点 B(6,0),点 M(0,6)在直线 ykx+b 上,可得直线 BM 的解析式为 yx+6 (3)解
11、法解法 1 BQ=AQ, MQ2AQ 最小就是 MQAQBQ 最小,就是在直线 MO 上找点 G 使他 到 A、B、M 三点的距离和最小至此,再次发现这又是一个费尔马问题的变形,注意到题目中等边三角形 的信息,考虑作旋转变换 把 MQB 绕点 B 顺时针旋转 60 ,得到 MQB,连接 QQ、MM(图 5),可知 QQB、 MMB 都是等边三角形,则 QQ=BQ 又 MQ=MQ,MQAQBQ= MQ+ QQ+AQ 点 A、M为定点,所以当 Q、Q两点在线段 A M上时,MQAQBQ 最小由条件可证明 Q点总 在 AM上,所以 A M与 OM 的交点就是所要的 G 点(图 6)可证 OG= 1
12、2 MG 图 5 图 6 图 7 解法解法 2 考虑 1 2 MQAQ 最小,过 Q 作 BM 的垂线交 BM 于 K,由 OB=6,OM=6 3,可得BMO30 , 所以 QK 1 2 MQ要使 1 2 MQAQ 最小,只需使 AQQK 最小, 根据“垂线段最短”,可推出当点 A、Q、 K 在一条直线上时,AQ+QK 最小,并且此时的 QK 垂直于 BM,此时的点 Q 即为所求的点 G(图 7) 过 A 点作 AHBM 于 H,则 AH 与 y 轴的交点为所求的 G 点. 由 OB=6,OM=6 3,可得OBM=60 ,BAH=30 在 RtOAG 中,OG=AO tanBAH=2 3 G
13、点的坐标为(0,2 3)(G 点为线段 OC 的中点) 例题例题 5. 如图 1,已知一次函数 yx+3 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点,抛物线 yx2+bx+c 过 A、 B 两点,且与 x 轴交于另一点 C (1)求 b、c 的值; (2)如图 1,点 D 为 AC 的中点,点 E 在线段 BD 上,且 BE2ED,连接 CE 并延长交抛物线于点 M,求 点 M 的坐标; (3)将直线 AB 绕点 A 按逆时针方向旋转 15 后交 y 轴于点 G,连接 CG,如图 2,P 为 ACG 内一点,连 接 PA、PC、PG,分别以 AP、AG 为边,在他们的左侧作等边 APR,等
14、边 AGQ,连接 QR 求证:PGRQ; 求 PA+PC+PG 的最小值,并求出当 PA+PC+PG 取得最小值时点 P 的坐标 【解答】解:(1)一次函数 yx+3 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点, A(3,0),B(0,3), 抛物线 yx2+bx+c 过 A、B 两点,解得,b2,c3 (2),对于抛物线 yx22x+3,令 y0,则x22x+30,解得 x3 或 1, 点 C 坐标(1,0), ADDC2,点 D 坐标(1,0), BE2ED,点 E 坐标(,1), 设直线 CE 为 ykx+b,把 E、C 代入得到解得,直线 CE 为 yx+, 由解得或,点 M 坐标
15、(,) (3)AGQ, APR 是等边三角形, APAR,AQAG,QACRAP60 , QARGAP, 在 QAR 和 GAP 中, QARGAP,QRPG 如图 3 中,PA+PG+PCQR+PR+PCQC, 当 Q、R、P、C 共线时,PA+PG+PC 最小, 作 QNOA 于 N,AMQC 于 M,PKOA 于 K GAO60 ,AO3, AGQGAQ6,AGO30 , QGA60 ,QGO90 ,点 Q 坐标(6,3), 在 RT QCN 中,QN3,CN7,QNC90 , QC2, sinACM,AM, APR 是等边三角形,APM60 ,PMPR,cos30 , AP,PMRM,
16、MC,PCCMPM, ,CK,PK,OKCKCO, 点 P 坐标(,) PA+PC+PG 的最小值为 2,此时点 P 的坐标(,) 达标检测 领悟提升 强化落实 1. 如图,已知矩形 ABCD,AB=4,BC=6,点 M 为矩形内一点,点 E 为 BC 边上任意一点,则 MA+MD+ME 的最小值为_ A BC D M E F G E M D CB A H F G E M D CB A 【分析】依然构造 60旋转,将三条折线段转化为一条直线段 分别以 AD、AM 为边构造等边ADF、等边AMG,连接 FG, 易证AMDAGF,MD=GF ME+MA+MD=ME+EG+GF 过 F 作 FHBC
17、 交 BC 于 H 点,线段 FH 的长即为所求的最小值43 3 2. 如图,P 为正方形 ABCD 对角线 BD 上一动点,若 AB2,则 AP+BP+CP 的最小值为( ) A+ B+ C4 D3 【解答】解:如图将 ABP 绕点 A 顺时针旋转 60 得到 AEF, 当 E、F、P、C 共线时,PA+PB+PC 最小 理由:APAF,PAF60 , PAF 是等边三角形, PAPFAF,EFPB, PA+PB+PCEF+PF+PC, 当 E、F、P、C 共线时,PA+PB+PC 最小, 作 EMDA 交 DA 的延长线于 M,ME 的延长线交 CB 的延长线于 N,则四边形 ABNM 是
18、矩形, 在 RT AME 中,M90 ,MAE30 ,AE2, ME1,AMBN,MNAB2,EN1, EC + PA+PB+PC 的最小值为+ 故选:B 3如图,四边形 ABCD 是菱形,AB4,且ABCABE60 ,M 为对角线 BD(不含 B 点)上任意一 点,将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60 得到 BN,连接 EN、AM、CM,则 AM+BM+CM 的最小值为 4 【解答】解:如图,连接 MN,ABE 是等边三角形, BABE,ABE60 MBN60 , MBNABNABEABN 即MBANBE 又MBNB, AMBENB(SAS), AMEN, MBN60 ,MBNB, BMN
19、是等边三角形 BMMN AM+BM+CMEN+MN+CM 根据“两点之间线段最短”,得 EN+MN+CMEC 最短 当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时,AM+BM+CM 的值最小,即等于 EC 的长, 过 E 点作 EFBC 交 CB 的延长线于 F, EBF180 120 60 , BC4, BF2,EF2,在 Rt EFC 中, EF2+FC2EC2, EC4 故答案为:4 4将 ABC 放在每个小正方形的边长为 1 的网格中,点 B、C 落在格点上,点 A 在 BC 的垂直平分线上, ABC30 ,点 P 为平面内一点 (1)ACB 30 度; (2)如图,将 APC 绕点 C
20、顺时针旋转 60 ,画出旋转后的图形(尺规作图,保留痕迹); (3)AP+BP+CP 的最小值为 【解答】解(1)点 A 在 BC 的垂直平分线上 ABAC, ABCACB, ABC30 , ACB30 故答案为 30 (2)如图 CAP就是所求的三角形 (3)如图当 B、P、P、A共线时,PA+PB+PCPB+PP+PA 的值最小, 此时 BC5,ACCA,BA 故答案为 5如图,四个村庄坐落在矩形 ABCD 的四个顶点上,AB10 公里,BC15 公里,现在要设立两个车站 E, F,则 EA+EB+EF+FC+FD 的最小值为 (15+10) 公里 【解答】解:如图 1,将 AEB 绕 A
21、 顺时针旋转 60 得 AGH,连接 BH、EG,将 DFC 绕点 D 逆时针 旋转 60 得到 DFM,连接 CM、FF, 由旋转得:ABAH,AEAG,EAGBAH60 ,BEGH, AEG 和 ABH 是等边三角形, AEEG, 同理得: DFF和 DCM 是等边三角形,DFFF,FCFM, 当 H、G、E、F、F、M 在同一条直线上时,EA+EB+EF+FC+FD 有最小值,如图 2, AHBH,DMCM, HM 是 AB 和 CD 的垂直平分线, HMAB,HMCD, AB10, ABH 的高为 5, EA+EB+EF+FC+FDEG+GH+EF+FF+FMHM15+5+515+10
22、, 则 EA+EB+EF+FC+FD 的最小值是(15+10)公理 故答案为:(15+10) 6已知,在 ABC 中,ACB30 (1)如图 1,当 ABAC2,求 BC 的值; (2)如图 2,当 ABAC,点 P 是 ABC 内一点,且 PA2,PB,PC3,求APC 的度数; (3) 如图 3, 当 AC4, AB(CBCA) , 点 P 是 ABC 内一动点, 则 PA+PB+PC 的最小值为 【解答】解:(1)如图 1 中,作 APBC 于 P ABAC,APBC, BPPC, 在 Rt ACP 中,AC2,C30 , PCACcos30, BC2PC2 (2)如图 2 中,将 AP
23、B 绕点 A 逆时针旋转 120 得到 QAC ABAC,C30 , BAC120 , PAAQ2,PBQC, PAQ120 , PQ2, PQ2+PC2QC2, QPC90 , APQ30 , APC30 +90 120 (3)如图 3 中,将 BCP 绕点 C 逆时针旋转 60 得到 CBP,连接 PP,AB,则ACB90 PA+PB+PCPA+PP+PB, 当 A,P,P,B共线时,PA+PB+PC 的值最小,最小值AB的长, 由 AB,AC4,C30 ,可得 BCCB3, AB 故答案为 7如图 l,在 ABC 中,ACB90 ,点 P 为 ABC 内一点 (1)连接 PB,PC,将
24、BCP 沿射线 CA 方向平移,得到 DAE,点 B,C,P 的对应点分别为点 D、A、 E,连接 CE 依题意,请在图 2 中补全图形; 如果 BPCE,BP3,AB6,求 CE 的长 (2)如图 3,以点 A 为旋转中心,将 ABP 顺时针旋转 60 得到 AMN,连接 PA、PB、PC,当 AC3, AB6 时,根据此图求 PA+PB+PC 的最小值 【解答】解:(1)补全图形如图所示; 如图,连接 BD、CD BCP 沿射线 CA 方向平移,得到 DAE, BCAD 且 BCAD, ACB90 , 四边形 BCAD 是矩形, CDAB6, BP3, DEBP3, BPCE,BPDE,
25、DECE, 在 Rt DCE 中,CE3; (2)证明:如图所示,以点 A 为旋转中心,将 ABP 顺时针旋转 60 得到 AMN,连接 BN 由旋转可得, AMNABP, MNBP,PAAM,PAM60 BAN,ABAN, PAM、 ABN 都是等边三角形, PAPM, PA+PB+PCCP+PM+MN, 当 AC3,AB6 时,BC3, sinABC, ABC30 ,ABN60 , CBN90 当 C、P、M、N 四点共线时,PA+PB+PC 的值最小, 最小值CN3 8(1)阅读证明 如图 1,在 ABC 所在平面上存在一点 P,使它到三角形三顶点的距离之和最小,则称点 P 为 ABC
26、的 费马点,此时 PA+PB+PC 的值为 ABC 的费马距离 如图 2,已知点 P 为等边 ABC 外接圆的上任意一点求证:PB+PCPA (2)知识迁移 根据(1)的结论,我们有如下探寻 ABC(其中A,B,C 均小于 120 )的费马点和费马距离的方法: 第一步:如图 3,在 ABC 的外部以 BC 为边长作等边 BCD 及其外接圆; 第二步: 在上取一点 P0, 连接 P0A, P0B, P0C, P0D 易知 P0A+P0B+P0CP0A+ (P0B+P0C) P0A+ P0D ; 第三步:根据(1)中定义,在图 3 中找出 ABC 的费马点 P,线段 AD 的长度即为 ABC 的费
27、马距 离 (3)知识应用 已知三村庄 A,B,C 构成了如图 4 所示的 ABC(其中A,B,C 均小于 120 ),现选取一点 P 打水 井,使水井 P 到三村庄 A,B,C 所铺设的输水管总长度最小求输水管总长度的最小值 【解答】解:(1)如图 2,延长 BP 至 E,使 PEPC 在等边 ABC 中,EPCBAC60 , PCPE,PCE 为等边三角形, PCPE,PCE60 , BCP+PCEACB+BCP, ACPBCE, 在 ACP 和 BCE 中, , ACPBCE(SAS) APBEBP+PEBP+PC; (2)由(1)得出:第一步:如图 3,在 ABC 的外部以 BC 为边长作等边 BCD 及其外接圆; 第二步:在上取一点 P0,连接 P0A,P0B,P0C,P0D易知 P0A+P0B+P0CP0A+(P0B+P0C)P0A+P0D; 第三步:根据(1)中定义,在图 3 中找出 ABC 的费马点 P,线段 AD 的长度即为 ABC 的费马距离 故答案为:P0D;AD (3)如图 4,以 BC 为边在 ABC 的外部作等边 BCD,连接 AD AD 的长就是 ABC 的费马距离 可得ABD90 AD5(km) 输水管总长度的最小值为 5 千米