1、第三章 三角形第一节 认识三角形知识点一、三角形相关概念1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。表示为“ABC”2.边：组成三角形的线段叫做三角形的边； 表示： AB,AC,BC 或 a, b, c3.顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；4.角：相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。5.三角形有三条边、三个内角、三个顶点 例：如图，共有三角形的个数是（ ） A3 B4 C5 D6练习1如做下图所示，图中的三角形有（ ） A.6个 B.8个 C.10个 D.12个 2. 如右上图所示，图中三角形的个数为（ ）.A.3个 B.4个 C.5个 D
2、.6个知识点二、三角形的三边关系1.三角形的两边之和大于第三边。2.三角形的两边之差小于第三边。3.作用：判断三条已知线段能否组成三角形当已知两边时，可确定第三边的范围。证明线段不等关系。例1七（1）班某同学想利用下列长度的木棒制成一个三角形工具，下列各组你认为可行的是（ ）A5，2，2 B2，3，6 C5，3，4 D7，13，6例2一个三角形两边长为5和7，且有两边长相等，这个三角形的周长是（ ） A.17 B.19 C.17或19 D.无法确定练习1.有下列长度（cm）的三条小木棒，如果首尾顺次连结，能钉成三角形的是（ ）A10、14、24 B12、16、32 C16、6、4 D8、10、
3、122.有5根小木棒，长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm、6cm，任意取其中的3根小木棒首尾相接搭三角形，可搭出不同的三角形的个数为（ ）A5个 B6个 C7个 D8个3.已知等腰三角形的周长为16，且一边长为3，则腰长为（ ）A3 B10 C6.5 D3或6.54.甲地离学校4km，乙地离学校1km，记甲乙两地之间的距离为d km，则d的取值范围为_5.如果三角形的两边长分别是2和4，且第三边是奇数，那么第三边长为 ，如果第三边长为偶数，则此三角形的周长为 .知识点三、三角形的内角的关系1.三角形三个内角和等于180。2.直角三角形的两个锐角互余。例1：在ABC中，已知B = 40，C
4、 = 80，则A = （度）例2：已知A、B、C是ABC的三个内角. 如果A=90，C=55，那么B=_；如果A=90，BC=24，那么B=_，C=_；如果C=4A，A+B=100，那么A=_，B=_. 例3：直角三角形的一锐角为60，则另一锐角为 。练习1ABC中，A=B=C，则三个内角分别为_2一个三角形最多有_个直角：有_个锐角；有_个钝角3在ABC中，AB=15，C=75，则A=_，B=_4. 已知一个三角形三个内角度数的比是，则其最大内角的度数为（ ）A. B. C. D.5.直角三角形的一个锐角的是32，则另一个锐角是度。6.等腰三角形的一个角为45，则顶角为 。知识点四、三角形的
5、稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。例：木工师傅作一木制矩形门框时，常需在其相邻两边之门钉上一根木条，其中所涉及的数学道理是 .练习：如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常象图中所示那样钉上两条斜拉的木条(图中的AB、CD两根木条)，这样做是运用了三角形的( )A、全等性 B、灵活性 C、稳定性 D、对称性知识点五、三角形的分类1.三角形按边分类 不等边三角形三角形 底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形2.三角形按角分类 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）三角形 直角三角形（有一个角为直角的三角形） 钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）等腰直角三角
6、形：两条直角边相等的直角三角形。例1. 已知，在ABC中， A + B = C，那么ABC的形状为（ ） A、直角三角形 B、钝角三角形 C、锐角三角形 D、以上都不对例2.适合条件A =B =C的三角形一定是（ ）A锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.任意三角形变：1.如果一个三角形的三个内角的度数之比为2：3：5，那么这个三角形是（ ）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D无法判断2.ABC中，A=2B=3C，则这个三角形中最小的角是_度例3.一个零件的形状如图所示，若A=600，B=200，D=300，求BCD练习1.在三角形的三个内角中，最多的锐角个数是（ ）A0个
7、B1个 C2个 D3个2.锐角三角形中任意两个锐角的和必大于（ ）A120 B110 C100 D903.下列判断，其中判断正确的有（）三角形的三个内角中最多有一个钝角三角形的三个内角中至少有两个锐角有两个内角为500和200的三角形一定是钝角三角形直角三角形中两锐角的和为900A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4.如图ABCD,AD、BC交于点O，A=420，C=580则AOB=（ ） A420 B580 C800 D1000 第4题图 第5题图 第6题图 第7题图5.如图，在ABC中，ABC=90，C=40，ACBD，则ABD=_度6如图，直线ab，则A的度数是（ ）A28 B31 C
8、39 D427.右图中的三角形被木板遮住了一部分，被遮住的两个角不可能是（ ）A一个锐角一个钝角 B两个锐角 C一个锐角一个直角 D一个直角一个钝角8已知三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形是（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不能确定9.在锐角三角形中，任意两个锐角三角形的和一定大于（ ） A90 B.91 C.100 D.120知识点六、三角形的三种重要线段1.三角形的角平分线定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。性质：三角形的三条角平分线交于一点。交点在三角形的内部。注意：三角形的角平分线一条线
9、段，而角的平分线是一条射线2.三角形的中线定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。性质：三角形的三条中线交于一点，交点在三角形的内部。注意：三角形的中线是线段而不是直线，且三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分3.三角形的高线定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。性质：三角形的三条高所在的直线交于一点。锐角三角形的三条高线的交点在它的内部；直角三角形的三条高线的交点是它的斜边的中点；钝角三角形的三条高所在的直线的交点在它的外部； 注意：三角形的高线是线段例：1. 在ABC中，AD是角平分线，若B=5
10、0，C=70 ，则ADC= .2.如图，ABC中，ABC和ACB的平分线交于点O，若BOC=120,求A3.在ABC中，B、C的平分线相交于点O，若A=40，则BOC=_度练习三角形的角平分线1.三角形的角平分线、中线、高都是（ ）A直线 B线段 C射线 D以上都不对2如图，在ABC中，AD平分BAC且与BC相交于点D，B=40，BAD=30，则C的度数是（）A70 B80 C100 D1103.如图，BD是ABC的角平分线，DEBC，交AB于点E，A=45，BDC=60，求BED的度数4.如图，已知DAB+D=180，AC平分A，且CAD=25，B=95。（1）求DCA的度数；（2）求ACE
11、的度数三角形的中线例6能把一个三角形分成面积相等的两部分的是该三角形的一条（ ）A中线 B角平分线 C高线 D边的垂直平分线图1是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图2；再分别连接图2中间小三角形的中点，得到图3（若三角形中含有其它三角形则不记入）（1）图2有_个三角形；图3中有_个三角形（2）按上面方法继续下去，第20个图有_个三角形；第n个图中有_个三角形（用n的代数式表示结论）三角形的高例1.如图1，在直角ABC中，CD是斜边AB上的高，BCD=35，则A=_. 2.如图2，已知ACB=90，CD是斜边AB上的高线，可得：1=_，2=_.(填写图中的角) 1题图 2题图3.如图
12、，ABC中，AD是BC边上的高，AE是三角形BAC的角平分线，若B=40，C=70，求DAE练习1.下列说法：两条直线被第三条直线所截，内错角相等；同角或等角的余角相等；相等的角是对顶角；三角形的三条高交于一点其中正确的有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个2下列说法正确的是（ ）三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高都在三角形的内部 A B C D3.下面四个图形中，线段BE是ABC的高的图是（ ）A B C D4.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D都有可能5.下列说法
13、错误的是（ ）A三角形的角平分线能把三角形分成面积相等的两部分 B三角形的三条中线，角平分线都相交于一点 C直角三角形三条高交于三角形的一个顶点 D钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部6. 如图,在ABC中，ABC=90，BDAC，则图中互余的角有 对.7.如图，DB是ABC的高，AE是角平分线，BAE=260，求BFE的度数. 8.如图，在ABC中，ABC=520，ACB=680，CD、BE分别是AB、AC边上的高，BE、CD相交于O点，求BOC的度数.9.已知：如图所示，ABC=66，ACB=54，BE是AC边上的高，CF是AB边上的高，H是BE和CF的交点，求：ABE，ACF和
14、BHC的度数10.如图，AD为ABC的中线，BE为ABD的中线，（1）若ABE=25，BAD=50，则BED的度数是_度（2）在ADC中过点C作AD边上的高CH（3）若ABC的面积为60，BD=5，求点E到BC边的距离第二节 图形的全等知识点一、全等图形定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。性质：全等图形的形状和大小都相同。第三节 探索三角形全等的条件知识点一、全等三角形相关概念 1、全等三角形全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。对应点：两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点对应边：互相重合的边叫做对应边对应角：互相重合的角叫做对应角2、全等三角形的表示：全等用符号“
15、”表示，读作“全等于”。如ABCDEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。知识点二、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，对应角相等。全等三角形的性质ABCDEFAB= ，AC= BC= ，A= ，B= ，C= ；1.如图，ABCADE，则AB= ，E= 若BAE=120，BAD=40，则BAC= 2.如图,ABCDEF,求证:AD=BE.知识点三、三角形全等的判定（1）边边边：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。（2）角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“
16、ASA”）（3）角角边：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）（4）边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（5）斜边、直角边：在直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）三角形全等的判定1、如图：ABC与DEF中 2、如图：ABC与DEF中 ABCDEF（ SSS ） ABCDEF（ ASA ）3、如图：ABC与DEF中 4、如图：ABC与DEF中 ABCDEF（AAS ） ABCDEF（ SAS ）5、如图：RtABC与RtDEF中，_=_=90 RtAB
17、CRtDEF（ HL ）例题1.如图，AC=DF ，BC=EF，AE=DB，问：ABC与DEF全等吗？AC与DF平行吗？请说明你的理由。2.已知如图，AC和BD相交于O，且被点O平分，你能得到ABCD，且AB=CD吗？请说明理由。3.如图，BD=CE，B=C，求证ABEACDADEBC4.已知1=2，3=4，问AC=AD吗？说明理由。ACDB12345.已知：如图 , E, B, F, C四点在同一直线上, A=D=90 , BE=FC, AB=DF求证：E=C随堂练习1已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么，图中共有_对全等三角形2已知AC=BD，AE=CF，BE=DF，问
18、AECF吗？ACBDEFDCFEAB3已知AB=CD，BE=DF，AE=CF，问ABCD吗？4.已知，点C是AB的中点，CDBE，且CD=BE，问D=E吗？说明理由。DAECB125.已知AD=AE，B=C，问AC=AB吗？说明理由。ADEBC6.如图：AD=BC，DEAC于E，BFAC于F，DE=BF。求证：（1）AF=CE，（2）ABCD。练习1如图,已知AC和BD相交于O,且BODO,AOCO,下列判断正确的是（）A只能证明AOBCODB只能证明AODCOBC只能证明AOBCOBD能证明AOBCOD和AODCOB2已知ABC的六个元素,下面甲、乙、丙三个三角形中和ABC全等的图形是（ ）
19、 A甲和乙 乙和丙 只有乙 只有丙3如图,已知MBND,MBANDC,下列不能判定ABMCDN的条件是（）AMNBABCDCAMCNDAMCN4某同学把一块三角形的玻璃打碎也成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是（）A带去B带去C带去D带和去第3题第4题第7题5下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（）A两条直角边对应相等 B两个锐角对应相等C一条直角边和它所对的锐角对应相等D一个锐角和锐角所对的直角边对应相等 6ABC中,ABAC,BD、CE是AC、AB边上的高,则BE与CD的大小关系为（）ABECDBBECDCBECDD不确定7.“三月三,放风筝”,如图是小明
20、制作的风筝,他根据DEDF,EHFH,不用度量,就知道DEHDFH,小明是通过全等三角形的识别得到的结论,请问小明用的识别方法是（用字母表示）8.如图，给出下列四组条件：；其中，能使的条件共有（ ）A1组B2组C3组D4组9.如图，在ABC与DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使ABCDEF，不能添加的一组条件是( ) A. B=E,BC=EF B. BC=EF，AC=DF C. A=D，B=E D. A=D，BC=EF10.尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得的根据是（ ）ODPCAB
21、ASAS BASA CAASDSSS 第9题 第10题 第11题11.A、D、C、F在同一直线上,EDAF，BCAF，AB=EF，BC=ED，依据 得ABCFED12.如图，已知AB=AD，要使ABCADC，可增加条_，理由是_定理。13.如图所示，AB = AD，1 = 2，添加一个适当的条件，使ABC ADE，则需要添加的条件是_.14.如图，BE=CF，AB=DE，添加下列哪些条件可以推证ABCDFE （ ）A. BC=EF B. A=D C. ACDF D. AC=DF15.已知，如图，AC=BC，AD=BD，下列结论，不正确的是（ ）A.CO=DO B. AO=BO C.ABBD D
22、.ACOBCO第12题 第13题 第14题 第15题 16.观察下列图形，则第个图形中三角形的个数是（ ）第1个第2个第3个A BCD17.如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：AD=BE；PQAE；AP=BQ；DE=DP；AOB=60.恒成立的结论有_（把你认为正确的序号都填上）。18.如图，已知是的中线，于，于，且。求证：（1）是的平分线；ABCDEF12（2）。19.如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接BG与DE相交于点H证明：ABG ADE 。CFGEDBAH
