1、专题18.1 平行四边形一、知识点1、平行四边形的性质1）. ； 2）. ；3）. ； 2、三角形中位线定理3、平行四边形的判定1）.边的判定 ； ； ；2）. 从角的判定 ； ；3）.从对角线判定 二、考点点拨与训练考点1：应用平行四边形的性质进行计算求解典例：（2019陕西初三）如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC上的一点，F在线段DE上，且AFEADC（1）若AFE70，DEC40，求DAF的大小；（2）若DEAD，求证：AFDDCE方法或规律点拨此题主要考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟知三角形的内角和及全等三角形的判定定理.巩固练习1（2020山东初二期末）如图，在ABC
2、D中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分BAD交BC边于点E，则EC等于 （ ）A1cmB2cmC3cmD4cm2（2020全国初二课时练习）如图，在ABCD中，BF平分ABC，交AD于点F，CE平分BCD，交AD于点E，若AB6，EF2，则BC的长为()A8B10C12D143（2020广东初三期末）如图，ABCD的对角线相交于点O，且，过点O作交BC于点E，若的周长为10，则ABCD的周长为A14B16C20D184（2018山东初二期末）如图，在平行四边形ABCD中，BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F（1）求证：CD=BE；（2）若AB=4，点F为DC的中点，DG
3、AE，垂足为G，且DG=1，求AE的长5（2019河北初二期中）已知：如图，ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F（1）求证：OE=OF；（2）连接BE，DF，求证：BE=DF考点2：平行四边形的判定典例：（2020湖南初三期末）如图，在四边形ABCD中，ADBC，AC与BD交于点E，点E是BD的中点，延长CD到点F，使DFCD，连接AF，（1）求证：AECE；（2）求证：四边形ABDF是平行四边形；（3）若AB2，AF4，F30，则四边形ABCF的面积为 方法或规律点拨本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积等知识点，能综合运用定理进行推理是解
4、此题的关键巩固练习1（2018广东初二期中）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）AAB/CD，AD=BCBCAO=OC，DO=OBDAB=AD，CB=CD2（2020全国初二课时练习）在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )AABDC，ADBCBADBC，ADBCCABDC，ADBCDOAOC，ODOB3（2019商南县富水初级中学初三）如图，在ABCD中，过对角线BD上一点P作EFBC，GHAB，且CG2BG，SBPG1，则SAEPH（）A3B4C5D64（2019江阴市敔山湾实验学校初三期中）在下列给出
5、的条件中，不能判定四边形ABCD一定是平行四边形的是（ ）AAB=CD，AD=BC BAB/CD，AD=BC CAB/CD，AB=CD DAB/CD，AD/BC5（2020全国初二课时练习）如图，在ABCD中，G是边CD上一点，BG的延长线交AD的延长线于点E，AFCG（1）求证：四边形DFBG是平行四边形（2）若DGE105，求AFD的度数考点3：平行四边形存在性判定典例：（2019温州市第八中学初二月考）如图，在平面直角坐标系中，点A（4，2），B（-1，-3），P是x轴上的一点，Q是y轴上的一点，若以点A，B，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标方法或规律点拨此题考查了平行
6、四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，结合AB的长分别确定P，Q的位置是解决问题的关键巩固练习1（2020山东初三期末）点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有（ ）A1个B2个C3个D4个2（2019武胜县乐善镇二中初二期中）平行四边形的一条边长为6cm，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（ ）A8cm和3cmB8cm和4cmC8cm和5cmD8cm和20cm3（2019河北初二期末）平行四边形一边长12，那么它的两条对角线的长度可能是（）A8和16B10和16C8和14D8和124
7、（2019广东省英德市英城街中学初二期末）如图，ABC的三个顶点的坐标分别为A(2，3)、B(6，0)、C(1，0).(1)画出把ABC向下平移4个单位后的图形(2)画出将ABC绕原点O按顺时针方向旋转90后的图形(3)写出符合条件的以A、B、C、D为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标考点4：三角形中位线性质典例：（2020南通市启秀中学初二期末）如图，在已知中，分别是的中点，求证.利用第题的结论，解决下列问题:如图，在四边形中，点分别在上，点分别为的中点，连接，求长度的最大值.方法或规律点拨本题考查中位线有关的三角形性质、勾股定理的应用,关键在于根据题意构造三角形中位线.巩固练习1（202
8、0山东初二期末）如图，在四边形中，是对角线的中点，、分别是、的中点，则的度数是（ ）ABCD2（2018山东初二期末）如图，ABC的周长为19，点D，E在边BC上，ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为（）AB2CD33（2018广东初二期中）如图，D是ABC内一点，BDCD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是 4（2020全国初二课时练习）如图，ABC中，AB6，AC4，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CGAD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为
9、_考点5：平行四边形与折叠问题典例：（2018浙江初二期末）如图，在中，点是边上的动点，已知，现将沿折叠，点是点的对应点，设长为.（1）如图1，当点恰好落在边上时，_；（2）如图2，若点落在内（包括边界），则的取值范围是_.方法或规律点拨本题考查翻折变换、平行四边形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型巩固练习1（2019广西初三）如图，将ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若，则为ABCD2（2019郑州枫杨外国语学校中考模拟）如图，在ABCD 中，A60，AB8，AD6，点 E、F 分别是边 AB、CD 上
10、的动点，将该四边形沿折痕 EF 翻折，使点 A 落在边 BC 的三等分点处，则 AE 的长为 3（2020山东初二期末）已知，如图，把平行四边形纸片沿折叠，点落在处，与相交于点.（1）求证：；（2）连接，求证：.专题18.1 平行四边形一、知识点1、平行四边形的性质1）.平行四边形的边：对边平行且相等； 2）.平行四边形的角：对角相等、邻角互补；3）.平行四边形的对角线互相平分； 2、三角形中位线定理三角形的中位线平行且等于第三边的一半；3、平行四边形的判定1）.边的判定两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；2）.
11、 从角的判定邻角互补的四边形是平行四边形； 两组对角分别相等的四边形是平行四边形；3）.从对角线判定对角线互相平分的四边形是平行四边形；二、考点点拨与训练考点1：应用平行四边形的性质进行计算求解典例：（2019陕西初三）如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC上的一点，F在线段DE上，且AFEADC（1）若AFE70，DEC40，求DAF的大小；（2）若DEAD，求证：AFDDCE【答案】（1）DAF30；（2）见解析【解析】（1）解：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADFDEC40AFD+AFE180，AFD180AFE110，DAF180ADFAFD30；（2）证明：四边形ABCD是
12、平行四边形，BADC，ABCD，ADBC，C+B180，ADFDEC，AFD+AFE180，AFEADC，AFDC，在AFD和DEC中，AFDDCE（AAS）方法或规律点拨此题主要考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟知三角形的内角和及全等三角形的判定定理.巩固练习1（2020山东初二期末）如图，在ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分BAD交BC边于点E，则EC等于 （ ）A1cmB2cmC3cmD4cm【答案】B【解析】解：如图， AE平分BAD交BC边于点E，BAE=EAD，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，AD=BC=5，DAE=AEB，BAE=AEB，AB=BE
13、=3，EC=BC-BE=5-3=2故选B2（2020全国初二课时练习）如图，在ABCD中，BF平分ABC，交AD于点F，CE平分BCD，交AD于点E，若AB6，EF2，则BC的长为()A8B10C12D14【答案】B【解析】根据平行四边形的性质可知AB=CD，ADBC，AD=BC，然后根据平行线的性质和角平分线的性质可知AB=AF，DE=CD，因此可知AF+DE=AD+EF=2AB=12，解得AD=BC=12-2=10.故选B.3（2020广东初三期末）如图，ABCD的对角线相交于点O，且，过点O作交BC于点E，若的周长为10，则ABCD的周长为A14B16C20D18【答案】C【解析】解：四
14、边形ABCD是平行四边形，的周长为10，平行四边形ABCD的周长；故选：C4（2018山东初二期末）如图，在平行四边形ABCD中，BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F（1）求证：CD=BE；（2）若AB=4，点F为DC的中点，DGAE，垂足为G，且DG=1，求AE的长【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）四边形ABCD是平行四边形，CD/AB，DAE=E，AE平分BAD，DAE=EAB，EAB=E，CD=BE.（2）CD/AB.BAF=DFA.AE平分BAD，DAE=EAB，DAF=DFA.DA=DF.F为DC中点，AB=4，DF=CF=AD=2，DGAE，DG=1，A
15、G=GF=，AF=2AG=2，DAF=E，ADF=FCE，DF=CF.ADFECF.AF=EF.AE=2AF=4.5（2019河北初二期中）已知：如图，ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F（1）求证：OE=OF；（2）连接BE，DF，求证：BE=DF【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】证明：四边形ABCD是平行四边形，OA=OC，ADBC，OAF=OCE，在OAF和OCE中，AOFCOE（ASA），OE=OF；（2）证明：四边形ABCD是平行四边形，OB=OD，OE=OF，四边形DEBF是平行四边形，BE=DF考点2：平行四边形的判定典例：（
16、2020湖南初三期末）如图，在四边形ABCD中，ADBC，AC与BD交于点E，点E是BD的中点，延长CD到点F，使DFCD，连接AF，（1）求证：AECE；（2）求证：四边形ABDF是平行四边形；（3）若AB2，AF4，F30，则四边形ABCF的面积为 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）6【解析】解：（1）证明：点E是BD的中点，BEDE，ADBC，ADECBE，在ADE和CBE中ADECBE（ASA），AECE；（2）证明：AECE，BEDE，四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABCD，DFCD，DFAB，即DFAB，DFAB，四边形ABDF是平行四边形；（3）解：过C作CHBD
17、于H，过D作DQAF于Q，四边形ABCD和四边形ABDF是平行四边形，AB2，AF4，F30，DFAB2，CDAB2，BDAF4，BDAF，BDCF30，DQDF1，CHDC1，四边形ABCF的面积SS平行四边形BDFA+SBDCAFDQ+41+6，故答案为：6方法或规律点拨本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键巩固练习1（2018广东初二期中）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）AAB/CD，AD=BCBCAO=OC，DO=OBDAB=AD，CB=CD【答案】C【解析】解：A、由ABCD，AD=BC不能判定四边形
18、ABCD为平行四边形；B、由A=B，C=D不能判定四边形ABCD为平行四边形；C、由OA=OC，OD=OB能判定四边形ABCD为平行四边形；D、AB=AD，BC=CD不能判定四边形ABCD为平行四边形；故选：C2（2020全国初二课时练习）在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )AABDC，ADBCBADBC，ADBCCABDC，ADBCDOAOC，ODOB【答案】C【解析】A. ABDC，ADBC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可以判定四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；B. ADBC，ADBC，根据一组对边平行且
19、相等的四边形是平行四边形可以判定四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；C. ABDC，ADBC，一组对边平行，另一组对边平行的四边形可能是平行四边形也可能是等腰梯形，故符合题意；D. OAOC，ODOB，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可以判定四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意，故选C.3（2019商南县富水初级中学初三）如图，在ABCD中，过对角线BD上一点P作EFBC，GHAB，且CG2BG，SBPG1，则SAEPH（）A3B4C5D6【答案】B【解析】EFBC，GHAB，四边形HPFD、BEPG、AEPH、CFPG为平行四边形，SPEBSBGP，同理可得SPHDSDFP，
20、SABDSCDB，SABDSPEBSPHDSCDBSBGPSDFP，即S四边形AEPHS四边形PFCGCG2BG，SBPG1，S四边形AEPHS四边形PFCG414，故选：B4（2019江阴市敔山湾实验学校初三期中）在下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD一定是平行四边形的是（ ）AAB=CD，AD=BC BAB/CD，AD=BC CAB/CD，AB=CD DAB/CD，AD/BC【答案】B【解析】A、AB=CD，AD=BC能判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；B、AD=CB，ABDC不能判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项符合题意；C、AB=CD，ABCD能判定四边形A
21、BCD为平行四边形，故此选项不符合题意；D、ABCD，ADBC能判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；故选：B5（2020全国初二课时练习）如图，在ABCD中，G是边CD上一点，BG的延长线交AD的延长线于点E，AFCG（1）求证：四边形DFBG是平行四边形（2）若DGE105，求AFD的度数【答案】（1）见解析;（2）105.【解析】证明：（1）ABCD是平行四边形，又AFCG，四边形DFBG是平行四边形（2）四边形DFBG是平行四边形AFDABEDGE105考点3：平行四边形存在性判定典例：（2019温州市第八中学初二月考）如图，在平面直角坐标系中，点A（4，2），B（-1，
22、-3），P是x轴上的一点，Q是y轴上的一点，若以点A，B，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标【答案】符合题意的点Q的坐标为：（0，-5）或（0，-1）或（0，5）【解析】如图所示，当AB为边，即当四边形ABQ2P2是平行四边形，所以AB=P2Q2，AP2=BQ2，点A（4，2），B（-1，-3），AB=5，则OP2=OQ2=5，Q2点的坐标是：（0，-5），当四边形QPBA是平行四边形，所以AB=PQ，QA=PB，Q点的坐标是：（0，5），当AB为对角线，即当四边形P1AQ1B是平行四边形，所以AP1=Q1B，AQ1=BP1，Q1点的坐标是：（0，-1）综上所述：符合题意的点Q
23、的坐标为：（0，-5）或（0，-1）或（0，5）方法或规律点拨此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，结合AB的长分别确定P，Q的位置是解决问题的关键巩固练习1（2020山东初三期末）点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有（ ）A1个B2个C3个D4个【答案】C由题意画出图形，在一个平面内，不在同一条直线上的三点，与D点恰能构成一个平行四边形，符合这样条件的点D有3个故选C2（2019武胜县乐善镇二中初二期中）平行四边形的一条边长为6cm，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以
24、是（ ）A8cm和3cmB8cm和4cmC8cm和5cmD8cm和20cm【答案】C【解析】如图：四边形ABCD是平行四边形，AB=6cm，A、AC=8cm，BD=3cm，OA=AC=4cm，OB=1.5cm，4+1.5=5.56，不能组成三角形，故本选项错误；B、AC=8cm，BD=4cm，OA=AC=4cm，OB=2cm，4+2=6，不能组成三角形，故本选项错误；C、AC=8cm，BD=5cm，OA=AC=4cm，OB=2.5cm，4+2.5=6.56，能组成三角形，故本选项正确；D、BD=8cm，AC=20cm，OB=BD=4cm，OA=10cm，4+6=10不能组成三角形，故本选项错误
25、故选C3（2019河北初二期末）平行四边形一边长12，那么它的两条对角线的长度可能是（）A8和16B10和16C8和14D8和12【答案】B【解析】A、两对角线的一半分别为4、8，4+8=12，不能组成三角形，故本选项错误；B、两对角线的一半分别为5、8，5+812，能组成三角形，故本选项正确；C、两对角线的一半分别为4、7，4+7=1112，不能组成三角形，故本选项错误；D、两对角线的一半分别为4、6，4+6=1012，不能组成三角形，故本选项错误，故选B4（2019广东省英德市英城街中学初二期末）如图，ABC的三个顶点的坐标分别为A(2，3)、B(6，0)、C(1，0).(1)画出把ABC
26、向下平移4个单位后的图形(2)画出将ABC绕原点O按顺时针方向旋转90后的图形(3)写出符合条件的以A、B、C、D为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)D1(3，3)、D2(-7，3)、D3(-5，-3).【解析】（1）如图所示，即为所求作； （2）如图所示，DEF即为所求作；（3）D1(3，3)、D2(-7，3)、D3(-5，-3).考点4：三角形中位线性质典例：（2020南通市启秀中学初二期末）如图，在已知中，分别是的中点，求证.利用第题的结论，解决下列问题:如图，在四边形中，点分别在上，点分别为的中点，连接，求长度的最大值.【答案】（1）证明见解
27、析；（2）3.【解析】(1)延长DE到F,使得EF=DE,连接CF.D、E是AB、AC的中点,AD=BD,AE=CE.AED=CEF,EF=DE,ADECFE(SAS)CF=AD,DAE=FCEBD=CD,ABCF,四边形DBCF为平行四边形,DF=BC,.(2)连接DM,点E,F分别为MN,DN的中点,EF=DM,DM最大时,EF最大,M与B重合时DM最大,此时DM=DB=,EF的最大值为3.方法或规律点拨本题考查中位线有关的三角形性质、勾股定理的应用,关键在于根据题意构造三角形中位线.巩固练习1（2020山东初二期末）如图，在四边形中，是对角线的中点，、分别是、的中点，则的度数是（ ）AB
28、CD【答案】C【解析】是对角线的中点，、分别是、的中点，PF=BC，PE=AD，PF=PE，EFP=PFE= 故选C2（2018山东初二期末）如图，ABC的周长为19，点D，E在边BC上，ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为（）AB2CD3【答案】C【解析】BN平分ABC，BNAE，NBA=NBE，BNA=BNE，在BNA和BNE中， ，BNABNE，BA=BE，BAE是等腰三角形，同理CAD是等腰三角形，点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），MN是ADE的中位线，BE+CD=AB+AC=19BC=197=12，DE=BE+C
29、DBC=5，MN=DE=故选：C3（2018广东初二期中）如图，D是ABC内一点，BDCD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是 【答案】11【解析】利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH=FG=AD，EF=GH=BC，然后代入数据进行计算即可得解：BDCD，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，EH=FG=AD，EF=GH=BC四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC又AD=6，四边形EFGH的周长=65=114（2020全国
30、初二课时练习）如图，ABC中，AB6，AC4，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CGAD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为_【答案】1【解析】在AGF和ACF中，AGFACF，AG=AC=4，GF=CF，则BG=ABAG=64=2.又BE=CE，EF是BCG的中位线，EF=BG=1.故答案是：1考点5：平行四边形与折叠问题典例：（2018浙江初二期末）如图，在中，点是边上的动点，已知，现将沿折叠，点是点的对应点，设长为.（1）如图1，当点恰好落在边上时，_；（2）如图2，若点落在内（包括边界），则的取值范围是_.【答案】（1）2；（2） 【解析】解：（1）折叠，.，.（2）当
31、落在上时，过点作于点.，.在中，.，.，.方法或规律点拨本题考查翻折变换、平行四边形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型巩固练习1（2019广西初三）如图，将ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若，则为ABCD【答案】B【解析】，由折叠可得，又，又，中，故选B2（2019郑州枫杨外国语学校中考模拟）如图，在ABCD 中，A60，AB8，AD6，点 E、F 分别是边 AB、CD 上的动点，将该四边形沿折痕 EF 翻折，使点 A 落在边 BC 的三等分点处，则 AE 的长为 【答案】或【解析】设点A落在BC边上的
32、A点如图1，当AC=BC=2时，AB=4，设AE=x，则AE=x，BE=8-x过A点作AM垂直于AB，交AB延长线于M点，在RtABM中，ABM=60，BM=2，AM=2在RtAEM中，利用勾股定理可得：x2=（10-x）2+12，解得x=即AE=；如图2，当AB=BC=2时，设AE=x，则AE=x，BE=8-x过A点作AN垂直于AB，交AB延长线于N点，在RtABN中，ABN=60，BN=1，AN=在RtAEN中，利用勾股定理可得：x2=（9-x）2+3，解得x=即AE=；所以AE的长为5.6或故答案为5.6或3（2020山东初二期末）已知，如图，把平行四边形纸片沿折叠，点落在处，与相交于点.（1）求证：；（2）连接，求证：.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】证明：（1）由折叠可知：四边形是平行四边形，（2）如图，由（1）知BE=DE，AE=CE，DAC=（180-AEC）=90-AEC，同理：ADB=90-BED，AEC=BED，DAC=ADB，ACBD. 33 / 33
