1、4.3三角函数的图像与性质1.考查三角函数的图像：五点法作简图、图像变换、图像的解析式；2.考查三角函数的性质：值域或最值，单调区间、对称性等；3.考查数形结合思想复习备考要这样做1.会作三角函数的图像，通过图像研究三角函数的性质；2.对三角函数进行恒等变形，然后讨论其图像、性质；3.注重函数与方程、转化、数形结合等数学思想方法的应用1 “五点法”作图原理在确定正弦函数ysin x在0,2上的图像形状时，起关键作用的五个点是(0,0)、(，0)、(2，0)余弦函数呢？2 三角函数的图像和性质函数性质ysin xycos xytan x定义域RRx|xk，kZ图像值域1,11,1R对称性对称轴：
2、xk(kZ)；对称中心：(k，0)(kZ)对称轴：xk(kZ)；对称中心：(k，0) (kZ)对称中心： (kZ)周期22单调性单调增区间2k，2k(kZ)；单调减区间2k，2k (kZ)单调增区间2k，2k (kZ)；单调减区间2k，2k(kZ)单调增区间(k，k)(kZ)奇偶性奇函数偶函数奇函数难点正本疑点清源1 函数的周期性若f(xT)f(x) (0)，常数T不能说是函数f(x)的周期因为f(xT)f，即自变量由x增加到x，是函数的周期2 求三角函数值域(最值)的方法(1)利用sin x、cos x的有界性；(2)形式复杂的函数应化为yAsin(x)k的形式逐步分析x的范围，根据正弦函数
3、的单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题1 设点P是函数f(x)sin x (0)的图像C的一个对称中心，若点P到图像C的对称轴的距离的最小值是，则f(x)的最小正周期是_答案解析由正弦函数的图像知对称中心与对称轴的距离的最小值为最小正周期的，故f(x)的最小正周期为T4.2y23cos的最大值为_，此时x_.答案52k，kZ解析当cos1时，函数y23cos取得最大值5，此时x2k (kZ)，从而x2k，kZ.3 (2012福建)函数f(x)sin的图像的一条对称轴是()Ax Bx Cx Dx答案C解析方法一正弦函数图
4、像的对称轴过图像的最高点或最低点，故令xk，kZ，xk，kZ.取k1，则x.方法二用验证法x时，ysin0，不合题意，排除A；x时，ysin，不合题意，排除B；x时，ysin1，符合题意，C项正确；x时，ysin，不合题意，故D项也不正确4 函数ytan的定义域为()Ax|xk，kZ Bx|x2k，kZCx|xk，kZ Dx|x2k，kZ答案A解析令xk，kZ，xk，kZ.5 给出下列四个命题，其中不正确的命题为()若cos cos ，则2k，kZ；函数y2cos的图像关于x对称；函数ycos(sin x)(xR)为偶函数；函数ysin|x|是周期函数，且周期为2.A B C D答案D解析命题
5、：若，则cos cos ，假命题；命题：x，coscos 0，故x不是y2cos的对称轴；命题：函数ysin|x|不是周期函数题型一三角函数的定义域、值域问题例1(1)求函数ylg sin 2x的定义域；(2)求函数ycos2xsin x 的最大值与最小值思维启迪：求函数的定义域可利用三角函数的图像或数轴；求函数值域时要利用正弦函数的值域或化为二次函数解(1)由，得3x或0x.函数ylg sin 2x的定义域为x|3x或0x0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答列不等式的原则：把“x (0)”视为一个“整体”；A0 (A0)时，所列不等式的方向与ysin x(xR)，ycos x(
6、xR)的单调区间对应的不等式方向相同(反)(2)对于yAtan(x) (A、为常数)，其周期T，单调区间利用x，解出x的取值范围，即为其单调区间对于复合函数yf(v)，v(x)，其单调性的判定方法：若yf(v)和v(x)同为增(减)函数时，yf(x)为增函数；若yf(v)和v(x)一增一减时，yf(x)为减函数(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图像，结合图像判定 求函数ysincos的周期、单调区间及最大、最小值解，coscoscossin.y2sin，周期T.当2k4x2k (kZ)时，函数单调递增，函数的递增区间为 (kZ)当2k4x2k (kZ)时，函数单调递减，函
7、数的递减区间为(kZ)当x (kZ)时，ymax2；当x (kZ)时，ymin2.题型三三角函数的对称性与奇偶性例3(1)已知f(x)sin xcos x(xR)，函数yf(x) 的图像关于直线x0对 称，则的值为_(2)如果函数y3cos(2x)的图像关于点中心对称，那么|的最小值为()A. B.C. D.答案(1)(2)A解析(1)f(x)2sin，yf(x)2sin图像关于x0对称，即f(x)为偶函数k，kZ，k，kZ，又|，.(2)由题意得3cos3cos3cos0，k，kZ，k，kZ，取k0，得|的最小值为.故选A.探究提高若f(x)Asin(x)为偶函数，则当x0时，f(x)取得最
8、大值或最小值若f(x)Asin(x)为奇函数，则当x0时，f(x)0.如果求f(x)的对称轴，只需令xk (kZ)，求x.如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令xk (kZ)即可(1)定义运算adbc，则函数f(x)的图像的一条对称轴方程是()Ax BxCx Dx答案A解析f(x)3cos xsin x2cos.所以当x时，f(x)2cos2.(2)若函数f(x)asin xbcos x (05，ab0)的图像的一条对称轴方程是x，函数f(x)的图像的一个对称中心是，则f(x)的最小正周期是_答案解析由题设，有f，即(ab)，由此得到ab.又f0，a0，从而tan 1，k，kZ，即8k2，k
9、Z，而00，a0或a0，则，解得；7分若a0或a0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x所在的区间应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内考虑注意区分下列两题的单调增区间的不同：(1)ysin；(2)ysin.3利用换元法求三角函数最值时注意三角函数的有界性，如：ysin2x4sin x5，令tsin x(|t|1)，则y(t2)211，解法错误A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1 函数y的定义域为()A.B.，kZC.，kZDR答案C解析由题意得cos x，即2kx2k，kZ，故函数定义域为，kZ.2 ysin的图像的一个对称中心是()A
10、(，0) B.C. D.答案B解析ysin x的对称中心为(k，0) (kZ)，令xk (kZ)，xk (kZ)，由k1，x得ysin的一个对称中心是.3 (2011山东)若函数f(x)sin x (0)在区间上是增加的，在区间上是减少的，则等于()A. B. C2 D3答案B解析f(x)sin x(0)过原点，当0x，即0x时，ysin x是增函数；当x，即x时，ysin x是减函数由f(x)sin x (0)在上是增加的，在上是减少的，.4 函数f(x)cos 2xsin是()A非奇非偶函数B仅有最小值的奇函数C仅有最大值的偶函数D有最大值又有最小值的偶函数答案D解析f(x)cos 2xs
11、in2cos2x1cos x22.显然有最大值又有最小值，而且在R上有f(x)f(x)，所以正确答案为D.二、填空题(每小题5分，共15分)5函数ylg(sin x)的定义域为_答案 (kZ)解析要使函数有意义必须有，即，解得(kZ)，2k0)和g(x)2cos(2x)1的图像的对称轴完全相同若x0，则f(x)的取值范围是_答案，3解析由对称轴完全相同知两函数周期相同，2，f(x)3sin(2x)由x0，得2x，f(x)3.7 函数f(x)2sin x(0)在上是增加的，且在这个区间上的最大值是，那么_.答案解析因为f(x)2sin x (0)在上是增加的，且在这个区间上的最大值是，所以2si
12、n ，且0，因此.三、解答题(共22分)8 (10分)设函数f(x)sin (0)，yf(x)图像的一条对称轴是直线x.(1)求；(2)求函数yf(x)的单调增区间解(1)令2k，kZ，k，kZ，又0，则k，kZ.k1，则.(2)由(1)得：f(x)sin，令2k2x2k，kZ，可解得kxk，kZ，因此yf(x)的单调增区间为，kZ.9 (12分)(1)求函数y2sin (x)的值域；(2)求函数y2cos2x5sin x4的值域解(1)x，02x，00)的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点，则的最小值是()A. B1 C. D2答案D解析根据题意平移后函数的解析式为ysin ，将代入得s
13、in 0，则2k，kZ，且0，故的最小值为2.2 (2012上海)若Snsin sin sin (nN*)，则在S1，S2，S100中，正数的个数是()A16 B72 C86 D100答案C解析易知S10，S20，S30，S40，S50，S60，S70.S8sin sin sin sin sin sin sin 0，S9sin sin sin 0，S10sin sin 0，S11sin sin sin 0，S12sin sin 0，S13sin 0，S14sin sin 0，S1，S2，S100中，S130，S140，S270，S280，S410，S420，S550，S560，S690，S70
14、0，S830，S840，S970，S980，共14个在S1，S2，S100中，正数的个数是1001486(个)3 已知函数f(x)2sin x(0)在区间上的最小值是2，则的最小值等于()A. B. C2 D3答案B解析f(x)2sin x (0)的最小值是2，x，kZ，kZ，6k且8k2，kZ，min，故选B.二、填空题(每小题5分，共15分)4 函数y2sin(3x) (|)的一条对称轴为x，则_.答案解析由题意得3k，kZ，k，kZ，又|，.5 函数y (0xcos x时，f(x)sin x.给出以下结论：f(x)是周期函数；f(x)的最小值为1；当且仅当x2k (kZ)时，f(x)取得
15、最小值；当且仅当2kx0；f(x)的图像上相邻两个最低点的距离是2.其中正确的结论序号是_答案解析易知函数f(x)是周期为2的周期函数函数f(x)在一个周期内的图像如图所示由图像可得，f(x)的最小值为，当且仅当x2k (kZ)时，f(x)取得最小值；当且仅当2kx0；f(x)的图像上相邻两个最低点的距离是2.所以正确的结论的序号是.三、解答题7 (13分)已知a0，函数f(x)2asin2ab，当x时，5f(x)1.(1)求常数a，b的值；(2)设g(x)f且lg g(x)0，求g(x)的单调区间解(1)x，2x.sin，2asin2a，af(x)b,3ab，又5f(x)1，b5,3ab1，因此a2，b5.(2)由(1)得，f(x)4sin1，g(x)f4sin14sin1，又由lg g(x)0，得g(x)1，4sin11，sin，2k2x2k，kZ，其中当2k2x2k，kZ时，g(x)单调递增，即kxk，kZ，g(x)的单调增区间为，kZ.又当2k2x2k，kZ时，g(x)单调递减，即kxk，kZ.g(x)的单调减区间为，kZ.
