1、第七节 正弦定理和余弦定理最新考纲1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题.2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题知识梳理1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容2R.(R为ABC外接圆半径)a2b2c22bccos A；b2c2a22cacos B；c2a2b22abcos C变形形式(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)abcsin Asin Bsin C；(3)sin A，sin B，sin Ccos A；cos B；cos C2.在ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式ab
2、sin Absin Aababab解的个数一解两解一解一解 3.三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示边a上的高)；(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A；(3)Sr(abc)(r为内切圆半径)4. 三角形中的常见结论(1) ABC，变形：.(2) 在三角形中大边对大角，大角对大边：ABabsinAsinB.(3) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(4)在三角形中有：sin 2Asin 2BAB或2A+2B=三角形为等腰或直角三角形；（5）三角形中的三角函数关系：sin(AB)sin C； cos(AB)cos C；sincos ； cossin .典型例题考点一
3、正弦定理解三角形【例1】在ABC中，a，b，B45.求角A、C和边c.【答案】当A60时，C75，c；当A120时，C15，c.【解析】由正弦定理，得，即， sinA. ab， A60或A120.当A60时，C180456075，c；当A120时，C1804512015，c.规律方法 正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用.【变式训练1】在ABC中，(1) 若a4，B30，C105，则b_(2) 若b3，c，C45，则a_(3) 若AB，BC，C30，则A_【答案】(1) 2.(2) 无解(3) A45或135.
4、 【解析】(1) 已知两角和一边只有一解，由B30，C105，得A45.由正弦定理，得b2.(2) 由正弦定理得sinB1， 无解(3) 由正弦定理，得， sinA. BCAB， AC， A45或135.考点二余弦定理解三角形【例2】在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且.(1) 求角B的大小；(2) 若b，ac4，求ABC的面积【答案】(1) B.(2) SABC.规律方法 (1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用 (2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用【变式训练2】
5、在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知c2，C.(1) 若ABC的面积等于，求a、b；(2) 若sinCsin(BA)2sin2A，求ABC的面积【答案】(1) a2，b2. (2) S.【解析】(1) 由余弦定理及已知条件，得a2b2ab4.因为ABC的面积等于，所以absinC，得ab4.联立方程组解得a2，b2.(2) 由题意得sin(BA)sin(BA)4sinAcosA，所以sinBcosA2sinAcosA.当cosA0时，A，所以B，所以a，b.当cosA0时，得sinB2sinA，由正弦定理得b2a，联立方程组解得a，b. 所以ABC的面积SabsinC.考点三
6、三角形形状的判定【例3】设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosCccosBasinA，则ABC的形状为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定【答案】B【解析】bcosCccosBasinA，由正弦定理得sinBcosCsinCcosBsin2A，sin(BC)sin2A，即sinAsin2A.又sinA0，sinA1，A，故ABC为直角三角形【题点发散1】本例条件变为若，判断ABC的形状【答案】ABC为等腰三角形或直角三角形【解析】由，得，sinAcosAcosBsinB，sin2Asin2B.A、B为ABC的内角，2A2B或2A2B，AB或AB，ABC为等
7、腰三角形或直角三角形【题点发散2】本例条件变为若a2bcosC，判断ABC的形状【答案】三角形定是等腰三角形【解析】法一：因为a2bcosC，所以由余弦定理得，a2b，整理得b2c2，则此三角形一定是等腰三角形法二：sinA2sinBcosC，sin(BC)2sinBcosC，sin(BC)0，BC，BC0，BC，则此三角形定是等腰三角形【题点发散3】本例条件变为若cosA，判断ABC的形状【答案】ABC是钝角三角形【解析】依题意得cosA，sinCsinBcosA，所以sin(AB)sinBcosA.即sinBcosAcosBsinAsinBcosA0.所以cosBsinA0，于是有cosB
8、0，B为钝角，所以ABC是钝角三角形规律方法 利用正、余弦定理判定三角形形状的技巧(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论.注意：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.【变式训练3】已知ABC中，试判断ABC的形状【答案】ABC为等腰或直角三角形考点四 正弦定理、余弦定理的综合应用【例4】在ABC中，A、
9、B、C所对的边分别是a、b、c，且bcosB是acosC、ccosA的等差中项(1) 求B的大小；(2) 若ac，b2，求ABC的面积【答案】(1) B.(2) SABC.【解析】(1) 由题意，得acosCccosA2bcosB.由正弦定理，得sinAcosCcosAsinC2sinBcosB， 即sin(AC)2sinBcosB. ACB，0B， sin(AC)sinB0. cosB， B.(2) 由B，得，即， ac2. SABCacsinB.规律方法 三角形面积公式的应用方法：(1)对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积
10、有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化【变式训练4】已知a、b、c分别为ABC三个内角A、B、C的对边，acosCasinCbc0.(1) 求A；(2) 若a2，ABC的面积为，求b、c.【答案】(1) A.(2) bc2. 【解析】(1) 由acosCasinCbc0及正弦定理得sinAcosCsinAsinCsinBsinC0. 因为BAC，所以sinAsinCcosAsinCsinC0.由于sinC0，所以sin. 又0Ab，B45，A180604575.3在ABC中，A60，AC4，BC2，则ABC的面积等于_.【答案】2.【解析】由题意及余弦定理得cos A，解得c
11、2，所以Sbcsin A42sin 602.4在ABC中，acos Abcos B，则这个三角形的形状为_【答案】等腰三角形或直角三角形.【解析】由正弦定理，得sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形5设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2，cosC，3sinA2sinB，则c_.【答案】4【解析】由3sinA2sinB及正弦定理，得3a2b，所以ba3.由余弦定理的推论得cosC，得，解得c4.6.设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若bc2a,3sinA
12、5sinB，则角C_. 【答案】【解析】由3sinA5sinB，得3a5b，ab，又bc2a，所以cb.根据余弦定理的推论cosC，把ab，cb代入，化简得cosC，所以C.7. ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosBacosCccosA，则B_.【答案】【解析】法一：由2bcosBacosCccosA及正弦定理，得2sinBcosBsinAcosCsinCcosA.2sinBcosBsin(AC)又ABC，ACB.2sinBcosBsin(B)sinB.又sinB0，cosB.B.法二：在ABC中，acosCccosAb，条件等式变为2bcosBb，cosB.又0B，B
13、.8. 2016全国卷ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA，cosC，a1，则b_.【答案】【解析】由条件可得sinA，sinC，从而有sinBsin(AC)sin(AC)sinAcosCcosAsinC.由正弦定理，可知b.9.在ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若asinAbsinBcsinC，则ABC的形状是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定【答案】C【解析】根据正弦定理可得a2b2c2.由余弦定理的推论得cosC0，故C是钝角10.已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，sin2B2sin Asin C(1)若ab，求co
14、s B；(2)设B90，且a，求ABC的面积【答案】(1) . (2)1.11. 2017全国卷ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知ABC的面积为.(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC1，a3，求ABC的周长【答案】(1).(2)3.【解析】(1)由题设得acsinB，即csinB.由正弦定理得sinCsinB .故sinBsinC.(2)由题设及(1)得cosBcosCsinBsinC，即cos(BC).所以BC，故A.由题意得bcsinA，a3，所以bc8.由余弦定理得b2c2bc9，即(bc)23bc9.由bc8，得bc.故ABC的周长为3.12. 2017
15、全国卷ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinAcosA0，a2，b2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积【答案】(1) c4.(2) .13.2017全国卷ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(AC)8sin2.(1)求cos B；(2)若ac6，ABC的面积为2，求b.【答案】(1) .(2) 2.【解析】(1)由题设及ABC得sin B8sin2，故sin B4(1cos B)上式两边平方，整理得17cos2B32cos B150，解得cos B1(舍去)，或cos B.故cos B.(2)由cos B得sin B，故SABCacsin Bac.又SABC2，则ac.由余弦定理及ac6得b2a2c22accos B(ac)22ac(1cos B)3624.所以b2.
