1、S 数学 I 试卷 第 1 页(共 13 页) 苏北四市 2018 届高三一模数学试卷 参考公式：1.柱体的体积公式：VSh，其中S是柱体的底面面积，h是高 2.圆锥的侧面积公式： 1 2 Scl，其中c是圆锥底面的周长，l是母线长 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分分请把答案填写在请把答案填写在答题卡相应位置答题卡相应位置 1已知集合 2 0Ax xx， 1,0B ，则AB = 2已知复数 2i 2i z （i为虚数单位） ，则z的模为 3函数 1 2 logyx的定义域为 4如图是一个算法的伪代码，运行后输出b的值为 5某地
2、区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了 150 分到 450 分之间的 1 000 名学生的成绩，并根据这 1 000 名学生的成绩画出样本的频率分布直方 图(如图)，则成绩在250，400)内的学生共有 人 6在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线方程为 20xy，则该双曲线的离心率为 7连续 2 次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6 的正方 体） ，观察向上的点数，则事件“点数之积是 3 的倍数”的概率为 注注 意意 事事 项项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求考生在
3、答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1本试卷共 4 页，均为非选择题（第 1 题第 20 题，共 20 题） 。本卷满分为 160 分，考试 时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置。 3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置 作答一律无效。 5如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 150 200 250 300
4、350 400 450 成绩/分 0.001 频率 组距 （第 5 题） （第题） 0.003 0.004 0.005 a 0 1 2 While 6 2 End While Print a b I I aab bab II b （第 4 题） S 数学 I 试卷 第 2 页(共 13 页) 8已知正四棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长是3 5cm，则这个正四棱柱的体积 是 3 cm 9若函数( )sin()(0,0)f xAxA的图象与直线ym的三个相邻交点的横坐标 分别是 6 ， 3 ， 2 3 ，则实数的值为 10在平面直角坐标系xOy中，曲线:3C xy 上任意一点P到直线:30l
5、 xy的距离 的最小值为 11已知等差数列 n a满足 13579 +10aaaaa， 22 82 36aa，则 11 a的值为 12在平面直角坐标系xOy中，若圆 1 C： 222 (1)(0)xyr r上存在点P，且点P关于 直线0xy的对称点Q在圆 2 C ： 22 (2)(1)1xy上， 则r的取值范围是 13 已知函数 2 211 ( ) (1)1 xx f x xx ， ， ， 函数( )( )()g xf xfx， 则不等式( )2g x 的解集 为 14如图，在ABC中，已知32120ABACBAC ，D为边BC的中点若 CEAD， 垂足为E， 则 EB EC 的值为 二、解答
6、题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分请在分请在答题卡指定区域内作答答题卡指定区域内作答 ，解答时应写出，解答时应写出 文字说明、证明过程或计算步骤文字说明、证明过程或计算步骤 15(本小题满分 14 分) 在ABC中， 角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 3 cos 5 A, 1 tan() 3 BA. 求tan B的值； 若13c ，求ABC的面积. 16 （本小题满分 14 分） 如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，90ABC， 1 =AB AA，M，N分别是AC， 11 BC 的中点. 求证：/MN平面 11 ABB A； 1 ANAB. B
7、（第 14 题） A D C E （第 16 题） 1 A 1 BN M 1 C C B A S 数学 I 试卷 第 3 页(共 13 页) 17(本小题满分 14 分) 某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组 成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图 1为了便于设计，可将该礼品看成是由圆 O 及 其内接等腰三角形 ABC 绕底边 BC 上的高所在直线 AO 旋转 180 而成，如图 2已知 圆 O 的半径为 10 cm，设BAO=， 0 2 ，圆锥的侧面积为 S cm2 求 S 关于 的函数关系式； 为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积 S 最大求 S 取得最大
8、值时腰 AB 的长 度 18 （本小题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 1 2 ，且 过点 3 1 2 ( ，).F为椭圆的右焦点，,A B为椭圆上关于原点对称的两点，连接,AF BF分 别交椭圆于,C D两点. 求椭圆的标准方程； 若AFFC，求 BF FD 的值； 设直线AB，CD的斜率分别为 1 k， 2 k，是否存在实数m，使得 21 kmk，若存在， 求出m的值；若不存在，请说明理由. A B C O A B C O 图 1 图 2 （第 17 题） A C y D B O x F （第 18 题） S
9、 数学 I 试卷 第 4 页(共 13 页) 19(本小题满分 16 分) 已知函数 2 ( )1( )ln()f xxaxg xxa a R， 当1a 时，求函数( )( )( )h xf xg x的极值； 若存在与函数( )f x，( )g x的图象都相切的直线，求实数a的取值范围 20 （本小题满分 16 分） 已知数列 n a， 其前n项和为 n S， 满足 1 2a ， 1nnn Snaa ， 其中2n，n N， ，R. 若0 ，4 ， 1 2 nnn baa + （n N） ，求证：数列 n b是等比数列； 若数列 n a是等比数列，求，的值； 若 2 3a ，且 3 2 ，求证：
10、数列 n a是等差数列. 数学数学(附加题附加题) 21 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题 ，并在相应的答题区域 内作答 ，若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤 A选修 41：几何证明选讲（本小题满分 10 分） 如图，AB是圆O的直径，弦BD,CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于 点F 求证： 2 ABBE BDAE AC A B C D E F (第 21A 题) O . S 数学 I 试卷 第 5 页(共 13 页) B选修：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 已知矩阵 10 01 A， 41 23 B，若矩阵MB
11、A，求矩阵M的逆矩阵 1 M C选修：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建 立极坐标系，判断直线 12 : 12 xt l yt （t为参数）与圆 2 :2 cos2 sin0C的 位置关系 D选修：不等式选讲（本小题满分 10 分） 已知, , ,a b c d都是正实数，且1abcd，求证: 2222 1 11115 abcd abcd 【必做题】第【必做题】第22题题、第第23题，每题题，每题10分，共计分，共计20分请在分请在答题卡指定区域答题卡指定区域 内作答，解答时应写内作答，解答时应写 出文字说明、
12、证明过程或演算步骤出文字说明、证明过程或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 在正三棱柱 111 ABCABC中，已知1AB ， 1 2AA ，E，F，G分别是 1 AA，AC和 11 AC的中点以,FA FB FG为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz 求异面直线AC与BE所成角的余弦值； 求二面角 1 FBCC的余弦值 23 （本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知平行于x轴的动直线l交抛物线 2 :4C yx于点P， 点 F为C的焦点圆心不在y轴上的圆M与直线l，PF，x轴都相切，设M的轨迹为 曲线E 求曲线E的方程； 若直线 1 l与曲线E相切于点(
13、 , )Q s t，过Q且垂直于 1 l的直线为 2 l，直线 1 l， 2 l分别 与y轴相交于点A，B当线段AB的长度最小时，求s的值 A B C 1 A 1 B 1 C F E x y z G （第 22 题） S 数学 I 试卷 第 6 页(共 13 页) 数学参考答案与评分标准参考答案与评分标准 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分分请把答案填写在请把答案填写在答题卡相应位置答题卡相应位置 1 1,0,1 21 3(0,1 413 5750 6 5 2 7 5 9 854 94 103 1111 12 21, 21 13
14、 2,2 14 27 7 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分请在分请在答题卡指定区域内作答答题卡指定区域内作答 ，解答时应写出，解答时应写出 文字说明、证明过程或计算步骤文字说明、证明过程或计算步骤 15 （1）在ABC中，由 3 cos 5 A，得A为锐角，所以 2 4 sin1 cos 5 AA， 所以 sin4 tan cos3 A A A ，2 分 所以 tan()tan tantan() 1tan() tan BAA BBAA BAA . 4 分 14 33 3 14 1 33 6 分 （2）在三角形ABC中,由tan3B ， 所以 3 10
15、10 sin,cos 1010 BB， 8 分 由 13 10 sinsin()sincoscossin 50 CABABAB，10 分 由正弦定理 sinsin bc BC ,得 3 10 13 sin 10 =15 sin13 10 50 cB b C ，12 分 所以ABC的面积 114 sin15 1378 225 SbcA. 14 分 16 （1）证明：取AB的中点P，连结 1 ,.PM PB 因为,M P分别是,AB AC的中点， 所以/,PMBC且 1 . 2 PMBC 在直三棱柱 111 ABCABC中， 11 /BCBC， 11 BCBC， 又因为N是 11 BC 的中点，
16、所以 1 /,PMB N且 1 PMB N. 2 分 所以四边形 1 PMNB是平行四边形， 所以 1 / /MNPB， 4 分 S 数学 I 试卷 第 7 页(共 13 页) 而MN 平面 11 ABB A， 1 PB 平面 11 ABB A， 所以/MN平面 11 ABB A. 6 分 （2）证明：因为三棱柱 111 ABCABC为直三棱柱，所以 1 BB 面 111 A BC， 又因为 1 BB 面 11 ABB A， 所以面 11 ABB A 面 111 A BC， 8 分 又因为90ABC，所以 1111 BCB A， 面 11 ABB A面 11111 =ABCB A， 11111
17、 BCABC 平面， 所以 11 BC 面 11 ABB A， 10 分 又因为 1 AB 面 11 ABB A， 所以 111 BCAB，即 11 NBAB， 连结 1 AB，因为在平行四边形 11 ABB A中， 1 =AB AA， 所以 11 ABAB， 又因为 111 =NBABB，且 1 AB， 1 NB 面 1 AB N， 所以 1 AB 面 1 AB N，12 分 而AN 面 1 AB N， 所以 1 ABAN.14 分 17 （1）设AO交BC于点D，过O作OEAB，垂足为E， 在AOE中，10cosAE，220cosABAE， 2 分 在ABD中，sin20cossinBDA
18、B， 4 分 所以 1 220sin cos20cos 2 S 2 400 sin cos，(0) 2 6 分 （2）要使侧面积最大，由（1）得： 23 400 sin cos400 (sinsin)S8 分 设 3 ( ),(01)f xxxx 则 2 ( )1 3fxx ，由 2 ( )1 30fxx 得： 3 3 x 当 3 (0,) 3 x时，( )0fx，当 3 (,1) 3 x时，( )0fx 所以( )f x在区间 3 (0,) 3 上单调递增，在区间 3 (,1) 3 上单调递减， 所以( )f x在 3 3 x 时取得极大值，也是最大值； 所以当 3 sin 3 时，侧面积S
19、取得最大值， 11 分 D A B C O E （第 16 题） 1 A 1 B N M 1 C C B A P S 数学 I 试卷 第 8 页(共 13 页) 此时等腰三角形的腰长 22 320 6 20cos20 1 sin20 1 () 33 AB 答：侧面积S取得最大值时，等腰三角形的腰AB的长度为 20 6 cm 3 14 分 18 （1）设椭圆方程为 22 22 1(0) xy ab ab ，由题意知： 22 1 2 19 1 4 c a ab 2 分 解之得： 2 3 a b ，所以椭圆方程为： 22 1 43 xy 4 分 （2）若AFFC ，由椭圆对称性，知 3 (1,) 2
20、 A，所以 3 ( 1,) 2 B ， 此时直线BF方程为3430xy， 6 分 由 22 3430, 1, 43 xy xy ，得 2 76130xx，解得 13 7 x （1x 舍去） ，8 分 故 1( 1)7 13 3 1 7 BF FD 10 分 （3）设 00 ,)A xy（，则 00 (,)Bxy， 直线AF的方程为 0 0 (1) 1 y yx x ，代入椭圆方程 22 1 43 xy ，得 222 0000 (15 6)815240x xyxx， 因为 0 xx 是该方程的一个解，所以C点的横坐标 0 0 85 52 C x x x ，12 分 又(,) cC C xy在直线
21、 0 0 (1) 1 y yx x 上，所以 00 00 3 (1) 152 Cc yy yx xx ， 同理，D点坐标为 0 0 85 (5 2 x x ， 0 0 3 ) 52 y x ， 14 分 所以 00 000 21 00 0 00 33 555252 8585 33 5252 yy yxx kk xx x xx ， 即存在 5 3 m ，使得 21 5 3 kk 16 分 19 （1）函数( )h x的定义域为(0,) 当1a 时， 2 ( )( )( )ln2h xf xg xxxx， 所以 1(21)(1) ( )21 xx h xx xx 2 分 S 数学 I 试卷 第 9
22、 页(共 13 页) 所以当 1 0 2 x时，( )0h x，当 1 2 x 时，( )0h x， 所以函数( )h x在区间 1 (0, ) 2 单调递减，在区间 1 ( ,) 2 单调递增， 所以当 1 2 x 时，函数( )h x取得极小值为11+ln2 4 ，无极大值；4 分 （2）设函数( )f x上点 11 (,()xf x与函数( )g x上点 22 (, ()x g x处切线相同， 则 12 12 12 ( )() ( )() f xg x fxg x xx 所以 2 112 1 212 1(ln)1 2 xaxxa xa xxx 6 分 所以 1 2 1 22 a x x
23、，代入 2 12 112 2 1 (ln) xx xaxxa x 得： 2 2 2 22 1 ln20(*) 424 aa xa xx 8 分 设 2 2 1 ( )ln2 424 aa F xxa xx ，则 2 323 1121 ( ) 222 axax F x xxxx 不妨设 2 000 210(0)xaxx 则当 0 0xx时，( )0F x，当 0 xx时，( )0F x 所以( )F x在区间 0 (0,)x上单调递减，在区间 0 (,)x 上单调递增，10 分 代入 2 0 0 00 121 =2 x ax xx 可得： 2 min0000 0 1 ( )()2ln2F xF
24、xxxx x 设 2 1 ( )2ln2G xxxx x ，则 2 11 ( )220G xx xx 对0x 恒成立， 所以( )G x在区间(0,)上单调递增，又(1)=0G 所以当01x 时( )0G x ，即当 0 01x时 0 ()0F x, 12 分 又当 2a xe 时 2 2 242 1 ( )ln2 424 a aa aa F xea ee 2 2 11 ()0 4 a a e 14 分 因此当 0 01x时， 函数( )F x必有零点； 即当 0 01x时， 必存在 2 x使得(*)成立； 即存在 12 ,x x使得函数( )f x上点 11 (,()xf x与函数( )g
25、x上点 22 (, ()x g x处切线相同 又由 1 2yx x 得： 2 1 20y x 所以 1 2(0,1)yx x 在单调递减，因此 2 0 0 00 121 =2 1+ ) x ax xx ， 所以实数a的取值范围是 1,) 16 分 20 （1）证明：若=0,4 ，则当 1 4 nn Sa (2n), 所以 111 4() nnnnn aSSaa ， 即 11 22(2) nnnn aaaa ， S 数学 I 试卷 第 10 页(共 13 页) 所以 1 2 nn bb ， 2 分 又由 1 2a ， 121 4aaa， 得 21 36aa， 21 220aa，即0 n b ，
26、所以 1 2 n n b b ， 故数列 n b是等比数列4 分 （2）若 n a是等比数列，设其公比为q（0q ） ， 当2n 时， 221 2Saa，即 1221 2aaaa，得 12qq， 当3n 时， 332 3Saa，即 12332 3aaaaa，得 22 13qqqq， 当4n 时， 443 4Saa，即 123443 4aaaaaa，得 2332 14+qqqqq， q，得 2 1q ， q，得 3 1q ， 解得1,1 q 代入式，得0 8 分 此时 nn Sna (2n)， 所以 1 2 n aa， n a是公比为的等比数列， 故10 ， 10 分 （3）证明：若 2 3a
27、，由 1221 2aaaa，得562， 又 3 2 ，解得 1 1 2 ，12 分 由 1 2a ， 2 3a ， 1 2 ，1，代入 1nnn Snaa 得 3 4a ， 所以 1 a， 2 a， 3 a成等差数列， 由 1 2 nnn n Saa ，得 11 1 2 nnn n Saa ， 两式相减得： 111 1 22 nnnnn nn aaaaa 即 11 (1)(2)20 nnn nanaa 所以 21 (1)20 nnn nanaa 相减得： 211 2(1)(2)220 nnnnn nananaaa 所以 2111 (2)2(2)0 nnnnnn n aaaaaa 所以 2 21
28、111-2 22 (2)(2)(2) (1) nnnnnnnnn aaaaaaaaa nn n 1 321 ( 2) (2) (1)2 n aaa n n ， 14 分 因为 123 20aaa，所以 21 20 nnn aaa ， S 数学 I 试卷 第 11 页(共 13 页) 即数列 n a是等差数列.16 分 数学数学(附加题附加题)参考答案与评分标准参考答案与评分标准 21A证明：连接AD，因为AB为圆的直径，所以ADBD， 又EFAB，则, ,A D E F四点共圆， 所以BD BEBA BF 5 分 又ABCAEF， 所以 ABAC AEAF ，即AB AFAE AC， 2 ()
29、BE BDAE ACBA BFAB AFABBFAFAB 10 分 B因为 411041 230123 MBA ， 5 分 所以 1 31 1010 12 55 M 10 分 C. .把直线方程 12 : 12 xt l yt 化为普通方程为 2xy 3 分 将圆 :C 2 2 cos2 sin0化为普通方程为 22 220xxyy， 即 22 (1)(1)2xy 6 分 圆心C到直线l的距离 2 2 2 d ， 所以直线l与圆C相切.10 分 D证明：因为 2222 (1)(1)(1)(1)() 1111 abcd abcd abcd 2 ( 1111) 1111 abcd abcd abc
30、d 2 ()1abcd ， 5 分 又(1)(1)(1)(1)5abcd， 所以 2222 1 11115 abcd abcd 10 分 22 （1）因为 1 1,2ABAA，则 1131 (0,0,0), ( ,0,0),(,0,0), (0,0), ( ,0,1) 2222 FACBE， 所以( 1,0,0) AC， 13 ( ,1) 22 BE， 2 分 记直线AC和BE所成角为， S 数学 I 试卷 第 12 页(共 13 页) 则 22 1 1 2 2 cos|cos,| | 4 13 ( )()1 22 AC BE， 所以直线AC和BE所成角的余弦值为 2 4 4 分 （2）设平面
31、 1 BFC的法向量为 111 ( ,)x y zm ， 因为 3 (0,0) 2 FB ， 1 1 (,0,2) 2 FC ， 则 1 111 3 0 2 1 20 2 FBy FCxz m m ，取 1 4x 得：(4,0,1)m 6 分 设平面 1 BCC的一个法向量为 222 (,)xyzn， 因为 13 ( ,0) 22 CB ， 1 (0,0,2)CC ， 则 22 12 13 0 22 20 CBxy CCz n n ，取 2 3x 得：( 3, 1,0)n 8 分 222222 43( 1)01 02 51 cos, 17 ( 3)( 1)0401 m n 根据图形可知二面角
32、1 FBCC为锐二面角， 所以二面角 1 FBCC的余弦值为 2 51 17 ； 10 分 23 （1）因为抛物线C的方程为 2 4yx，所以F的坐标为(1,0)， 设( , )M m n，因为圆M与x轴、直线l都相切，l平行于x轴， 所以圆M的半径为n，点P 2 (,2 )nn， 则直线PF的方程为 2 1 21 yx nn ，即 2 2 (1 )(1 ) 0nxyn ，2 分 所以 2 222 2 (1)(1) (2 )(1) n mn n n nn ，又,0m n， 所以 22 211mnn，即 2 10nm ， 所以E的方程为 2= 1yx(0)y 4 分 （2）设 2 (1, )Q
33、tt， 1 (0,)Ay， 2 (0,)By， 由（1）知，点Q处的切线 1 l的斜率存在，由对称性不妨设0t， 由 1 21 y x ，所以 1 2 2 1 1 21 1 AQ ty k t t ， 2 2 2 21 1 1 BQ ty kt t ， S 数学 I 试卷 第 13 页(共 13 页) 所以 1 1 22 t y t ， 3 2 23ytt， 6 分 所以 33 151 |23| 2(0) 2222 t ABttttt tt 8 分 令 3 51 ( )2 22 f ttt t ，0t ， 则 42 2 22 511251 ( )6 222 tt f tt tt ， 由( )0f t得 573 24 t ，由( )0f t得 573 0 24 t ， 所以( )f t在区间 573 (0,) 24 单调递减，在 573 (,) 24 单调递增， 所以当 573 24 t 时，( )f t取得极小值也是最小值，即AB取得最小值 此时 2 1973 1 24 st 10 分
