1、九年级讲义：定弦定角最值问题 【例 1】如图，ABC 中，AC3，BC24，ACB45，D 为ABC 内一动点，O 为ACD 的外接圆，直线 BD 交O 于 P 点，交 BC 于 E 点，弧 AECP，则 AD 的最小值为（ ） 【例 2】如图，AC3，BC5，且BAC90，D 为 AC 上一动点，以 AD 为直径作圆，连接 BD 交圆于 E 点，连 CE，则 CE 的最小值为（ ） 【练】如图，在ABC 中，AC3，BC24，ACB45，AMBC，点 P 在射线 AM 上运动， 连 BP 交APC 的外接圆于 D，则 AD 的最小值为（ ） 【例 3】如图，O 的半径为 2，弦 AB 的长为
2、32，点 P 为优弧 AB 上一动点，ACAP 交直线 PB 于点 C，则ABC 的面积的最大值是（ ） 【练】如图，O 的半径为 1，弦 AB1，点 P 为优弧 AB 上一动点，ACAP 交直线 PB 于点 C， 则ABC 的最大面积是（ ） 【例 4】如图，边长为 3 的等边ABC，D、E 分别为边 BC、AC 上的点，且 BDCE，AD、BE 交 于 P 点，则 CP 的最小值为_ 【例 5】如图，A(1，0)、B(3，0)，以 AB 为直径作M，射线 OF 交M 于 E、F 两点，C 为弧 AB 的中点，D 为 EF 的中点当射线绕 O 点旋转时，CD 的最小值为_ 【练】如图，AB
3、是O 的直径，AB2，ABC60，P 是上一动点，D 是 AP 的中点，连接 CD，则 CD 的最小值为_ 针对练习： 1如图，在动点 C 与定长线段 AB 组成的ABC 中，AB6，ADBC 于点 D，BEAC 于点 E， 连接 DE当点 C 在运动过程中，始终有 2 2 AB DE ，则点 C 到 AB 的距离的最大值是_ O A B C D P 2如图，已知以 BC 为直径的O，A 为BC中点，P 为AC上任意一点，ADAP 交 BP 于 D，连 CD若 BC8，则 CD 的最小值为_ 定角、定线段与定圆问题定角、定线段与定圆问题 主要是体现在题目中出现了固定度数的角对着固定长度的线段时
4、隐含着一个固定大小的 圆，此时定线段为隐圆的一条弦，定角为弦所对的一个圆周角，借助隐圆来分析问题极其方 便，关键是要先发现隐含着的特殊度数的角。举例如下： 例例 1: 1: 如图，在ABC中，BAC45，AHBC于H（H在边BC上），若BH1，CH2，则 AH 变式变式: : 如图，在ABC中，BAC45，AHBC于H（H在边BC上），若AH4+24，则 BC 的最小值是 例例 2 2：如图,扇形 AOD 中, AOD=90 ,OA=6,点 P 为弧 AD 上任意一点(不 与点 A 和 D 重合),PQOD 于点 Q,点 I 为OPQ 的内心,过 O,I 和 D 三点的 圆的半径为 r.则当点
5、 P 在弧 AD 上运动时，r 的值满足（ ） A.0r3 B.r=3 C.3r32 D. r=32 1.如图，在O 中，弦 AD 等于半径，B 为优弧 AD 上的一动点，等腰ABC 的底边 BC 所在直 线经过点 D，若O 的半径为 1，则 OC 的长不可能为（ ） A. 23 B. 31 C.2 D. 31 2.如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AEDF连接CF交BD于G， 连接BE交AG于点H若正方形的边长为 2，则线段DH长度的最小值是( ) 3. 如图，在 RtABC 中，BAC=90 ，AB=AC，BC=42，点 D 是 AC 边上一动点，连接 BD， 以 AD
6、为直径的圆交 BD 于 E，连接 CE，则线段 CE 长的最小值为( ) 4.如图，直径 AB、CD 的夹角为 60 ，P 为O 一的个动点（不与点 A、B、C、D 重 合） 。 PM， PN 分别垂直于 CD， AB， 垂足分别为 M， N。 若O 的半径长为 2， 则 MN 的长 ( ) A. 随 P 点运动而变化，最大值为3 B. 等于3 C. 随 P 点运动而变化，最小值为3 D. 随 P 点运动而变化，没有最值。 5. 如图,边长为 2 的正方形 ABCD 中,F 为 CD 上一动点,E 为 AF 上一点,且 BE=BA, CBE 的角 平分线交 AF 的延长线于点 G,则 G 到
7、CD 距离的最大值为 。 6将边长为 4 的正方形 ABCD 向右倾斜，边长不变，ABC 逐渐变小，顶点 A、D 及对角线 BD 的中点 N 分别运动到 A、D和 N的位置，若ABC=30，则点 N 到点 N的运动路径 长为 7. 如图，点 C 是O 上一动点，弦 AB=6，ACB=120，ABC 内切圆半径 r 的最大值为 ( ) 。 A 623 B 433 C 633 D 6 8.如图，正方形 ABCD 中，AB=2，动点 E 从点 A 出发向点 D 运动，同时动点 F 从点 D 出发向点 C 运动，点 E、F 运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段 AF、BE 相交
8、于点 P，M 是线段 BC 上任意一点，则 MD+MP 的最小值为 9.如图，矩形 ABCD 中，AB=2，BC=3，以 A 为圆心、1 为半径画圆，E 是A 上一动点，P 是 BC 上的一动点，则 PE+PD 的最小值是 10、.如图，OAOB，垂足为 O，P、Q 分别是射线 OA、OB 上两个动点， 点 C 是线段 PQ 的中点，且 PQ=4则动点 C 运动形成的路径长是 . 11.矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，P 是 BC 边上一动点，把ABP 沿 AP 翻折 得AQP，则 CQ 的最小值为 . 12.如图，以 G(0，-1)为圆心，半径为 2 的圆与 x 轴交于 A，B 两点
9、， 与 y 轴交于 C，D 两点，E 为G 上一动点，DFAE 于点 F当点 E 从点 C 出发顺时针运动到点 B 时，点 F 所经过的路径长为 . Q DA BCP 13.如图，在 RtABC 中，C=90，AC=3，BC=4，动点 P 从点 A 出发，沿 AC 向点 C 以每秒 1 个单位长度的速度运动，动点 Q 从点 C 同时出发，沿 CB 向点 B 以每秒 2 个单位长度的速度 运动，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动设运动的时间为 t 秒（t0），则 在整个运动过程中，线段 PQ 的中点 M 所经过的路径长为 . 14问题提出 （1）如图，在ABC 中，A=120，AB=AC
10、=5，则ABC 的外接圆半径 R 的值为 问题探究 （2）如图，O 的半径为 13，弦 AB=24，M 是 AB 的中点，P 是O 上一动点，求 PM 的最大 值 问题解决 （3）如图所示，AB、AC、是某新区的三条规划路，其中 AB=6km，AC=3km，BAC=60， 所对的圆心角为 60，新区管委会想在路边建物资总站点 P，在 AB，AC 路边分别建 物资分站点 E、F，也就是，分别在、线段 AB 和 AC 上选取点 P、E、F由于总站工作人 员每天都要将物资在各物资站点间按 PEFP 的路径进行运输，因此，要在各物资站 点之间规划道路 PE、EF 和 FP为了快捷、环保和节约成本要使得线段 PE、EF、FP 之和 最短，试求 PE+EF+FP 的最小值（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）
