1、第二章方程与不等式综合测试卷分值：120分一、选择题（每小题3分，共30分）1.若x3是方程x23mx6m0的一个根，则m的值为（C）A. 1 B. 2C. 3 D. 4【解析】把x3代入方程，得99m6m0，m3.2.下列说法中，错误的是（C）A. 不等式x2的正整数解只有一个B. 2是不等式2x10的一个解C. 不等式3x9的解是x3D. 不等式x10的整数解有无数个【解析】不等式3x9的解是x3.故选C.3.“六一”儿童节前夕，某超市用3360元购进A，B两种童装共120套，其中A型童装每套24元，B型童装每套36元.若设购买A型童装x套，B型童装y套，依题意列方程组正确的是（B）A.
2、B.C. D.【解析】设购买A型童装x套，B型童装y套，由题意，得4.如图，A，B两点在数轴上表示的数分别是a，b，则下列式子中成立的是（C）（第4题）A. ab0 B. a12b D. |a|b|0【解析】由图可知2a1，2b3，a0，故A错误.ab，故B错误.ab，2a2b，12a12b，故C正确.|a|b|，|a|b|a，则a的取值范围是（A）A.a3 B.a3C.a3 D.aa，得a3.7.已知关于x的方程kx2（1k）x10，则下列说法中正确的是（C）A. 当k0时，方程无解B. 当k1时，方程有一个实数解C. 当k1时，方程有两个相等的实数解D. 当k0时，方程总有两个不相等的实数
3、解【解析】当k0时，原方程变为x10，解得x1.当k0时，（1k）24k（1）（k1）20.当k1时，0，方程有两个相等的实数解.当k1且k0时，0，方程有两个不相等的实数解.8.如图，天平呈平衡状态，其中左侧秤盘中有一袋玻璃球，右侧秤盘中也有一袋玻璃球，还有2个各20 g的砝码.现将左侧袋中一颗玻璃球移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘的1个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图，则被移动的玻璃球的质量为（A）（第8题）A. 10 g B. 15 gC. 20 g D. 25 g【解析】设图天平左侧袋中玻璃球的质量为m（g），右侧袋中玻璃球的质量为n（g），根据题意，得mn40.设被移动的玻璃球的质量为x（
4、g），根据题意，得mxnx20，x（mn20）（n40n20）10（g）.9.若用“i”表示虚数单位，且规定i21，并用abi（a，b都是实数且b0）表示一个任意的虚数.我们把实数和虚数统称为复数，那么，在实数范围内无解的一元二次方程，在复数范围内就有解了.例如，方程x22x20在复数范围内用公式法（用i2替换1）解得其解为x11i，x21i.那么方程2x2x10在复数范围内的解为（B）A. x1，x2B. x1，x2C. x1，x2D. x2，x2【解析】x，x1，x2.10.某市出租车的收费标准是：起步价8元（即行驶距离不超过3 km都需付8元车费），超过3 km以后，每增加1 km，加收
5、1.5元（不足1 km按1 km算）.某人从甲地到乙地经过的路程是x（km），出租车费为15.5元，那么x的最大值是（B）A. 11 B. 8C. 7 D. 5【解析】由题意，得1.5（x3）815.5，解得x8.x的最大值是8.二、填空题（每小题4分，共24分）11.方程x2x的根是x10，x21.【解析】由方程x2x，得x2x0，x（x1）0，x10，x21.12.若关于x的方程（m5）x24x10有实数根，则m的取值范围是m1.【解析】当该方程是一元一次方程时，m50，得m5.此时x；当该方程是一元二次方程时，二次项系数m50，0，解得m1且m5.综合可得m1.13.杭州到北京的铁路长1
6、487 km，火车的原平均速度为x（km/h），提速后平均速度增加了70 km/h，由杭州到北京的行驶时间缩短了3 h，则可列方程为3.【解析】由提速前行驶时间提速后行驶时间缩短时间，可得3.14.当2x1时，ax60，则a的取值范围是a0，解得a0，解得a6.a的取值范围为a2.不等式组的解为x2.最小整数解为x3.16.某班级为筹备篮球赛，准备用365元购买两种颜色的运动服，其中蓝色运动服20元/套，黄色运动服35元/套，在钱都用尽的条件下，有2种购买方案.【解析】设蓝色运动服买x套，黄色运动服买y套，由题意，得20x35y365，y.x，y都为正整数，x只能为6或13.当x6时，y7；当
7、x13时，y3，符合题意的解是或有2种购买方案.三、解答题（共66分）17.（8分）解方程（组）：（1）【解析】，得4x20，x5.将x5代入，得y3.（2）0.【解析】去分母，得4x（x3）0.去括号，得4xx30.移项、合并同类项，得3x3.系数化为1，得x1.经检验，x1是原方程的解.（3）x24x4.【解析】配方，得（x2）28，x22，x22.（4）（x3）24x（x3）0.【解析】（x3）（x34x）0，即（x3）（5x3）0，x13，x2.18.（6分）解不等式组：并把它的解在数轴上表示出来.（第18题）【解析】解，得x1.解，得x4.这个不等式组的解是1x4.在数轴上表示如解图
8、.（第18题解）19.（8分）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，很快销空.商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元.（1）该商家购进的第一批衬衫有多少件？（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后的利润率不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？【解析】（1）设该商家购进的第一批衬衫有x件，则第二批衬衫有2x件.由题意，得10，解得x120.经检验，x120是原方程的解且符合题意.答：该商家购进的第一批衬衫有120件.（2）由
9、（1）得：第一批衬衫的进价为13200120110（元/件），第二批的进价为11010120（元/件）.设每件衬衫的标价至少是a元，由题意，得120（a110）（24050）（a120）50（0.8a120）25%（1320028800），解得a150.答：每件衬衫的标价至少是150元.20.（8分）Pn表示n边形的对角线的交点个数（指落在其内部的交点），如果这些交点都不重合，那么Pn与n的关系式是：Pn（n2anb）（其中a，b是常数，n4）.（1）通过画图，可得四边形时，P41（填数字）；五边形时，P55（填数字）.（2）请根据四边形和五边形对角线交点的个数，结合关系式，求a，b的值.【解
10、析】（1）如解图.（第20题解）由解图可知，当n4时，P41；当n5时，P55.（2）将n4，P41；n5，P55代入公式，得解得21.（8分）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图所示的两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）.A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面.（第21题）现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法.（1）用含x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数.（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问：能做多少个盒子？【解析】（1）裁剪时x张用A方法，裁剪时（19x）张用B方法.侧面的个数为6x4（19x）2x76
11、，底面的个数为5（19x）955x.（2）由题意，得，解得x7，盒子的个数为30.答：能做30个盒子.22.（8分）有甲、乙、丙三种糖果混合而成的什锦糖100 kg，其中各种糖果的单价和质量如表所示，商家用加权平均数来确定什锦糖的单价.甲种糖果乙种糖果丙种糖果单价（元/千克）152530质量（千克）404020（1）求该什锦糖的单价.（2）为了使什锦糖的单价每千克至少降低2元，商家计划在什锦糖中加入甲、丙两种糖果共100 千克，问：其中最多可加入丙种糖果多少千克？【解析】（1）单价为22（元/千克）.答：该什锦糖的单价是22元/千克.（2）设加入丙种糖果x（kg），则加入甲种糖果（100x）k
12、g.根据题意，得222，解得x20.答：最多可加入丙种糖果20 kg.23.（8分）为了更好地保护美丽的邛海湿地，西昌市污水处理厂决定先购买A，B两型污水处理设备共20台，对邛海湿地周边污水进行处理，每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元.已知1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水640 t，2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1080 t.（1）求A，B两型污水处理设备每周每台分别可以处理污水多少吨.（2）经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周处理污水的量不低于4500 t，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案
13、所需资金最少？最少是多少？【解析】（1）设A型污水处理设备每周每台可以处理污水x（t），B型污水处理设备每周每台可以处理污水y（t）.由题意，得解得答：A型污水处理设备每周每台可以处理污水240 t，B型污水处理设备每周每台可以处理污水200 t.（2）设购买A型污水处理设备x台，则购买B型污水处理设备（20x）台.由题意，得解得12.5x15.故有三种方案：方案一，购买A型污水处理设备13台，B型污水处理设备7台；方案二，购买A型污水处理设备14台，B型污水处理设备6台；方案三，购买A型污水处理设备15台，B型污水处理设备5台.易知购买A型污水处理设备越少越省钱，故方案一所需资金最少，最少是
14、1312710226（万元）.24.（12分）对x，y定义一种新运算，规定：T（x，y）（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）b.（1）已知T（1，1）2，T（4，2）1.求a，b的值.若关于m的不等式组恰好有3个整数解，求实数P的取值范围.（2）若T（x，y）T（y，x）对任意实数x，y都成立这里T（x，y）和T（y，x）均有意义，则a，b应满足怎样的关系？【解析】（1）由题意，得T（1，1）2，即ab2.T（4，2）1，即2ab5.联立解得由题意，得解得m.不等式组恰好有3个整数解，m0，1，2，2AC)，ACB90，点D在AB边上，DEAC于点E.(
15、1)若，AE2，求EC的长(2)设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P.问：线段CP是CFG的高线、中线还是两者都有可能？请说明理由【解析】(1)ACB90，DEAC，DEBC，.，AE2，解得EC6.(2)若CFG1ECD，此时线段CP1为RtCFG1的斜边FG1上的中线证明如下：CFG1ECD，CFG1FCP1.又CFG1CG1F90，FCP1P1CG190，CG1FP1CG1，CP1G1P1.又CFG1FCP1，CP1FP1，CP1FP1G1P1，线段CP1为RtCFG1的斜边FG1上的中线若CFG2EDC，此时线段CP2
16、为RtCFG2的斜边FG2上的高线证明如下：DEAC，DEC90，EDCECD90.CFG2EDC，ECDCFG290，CP2FG2.线段CP2为RtCFG2的斜边FG2上的高线当CD为ACB的平分线时，CP既是CFG的FG边上的高线，又是中线22(12分)我们给出如下定义：顺次连结任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形(1)如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点求证：中点四边形EFGH是平行四边形(2)如图，P是四边形ABCD内一点，且满足PAPB，PCPD，APBCPD，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH
17、的形状，并证明你的猜想(3)若改变(2)中的条件，使APBCPD90，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状(不必证明)(第22题)【解析】(1)如解图，连结BD.E，H分别为边AB，DA的中点，EHBD，EHBD.F，G分别为边BC，CD的中点，FGBD，FGBD.EHFG，EHFG.中点四边形EFGH是平行四边形(第22题解)(2)四边形EFGH是菱形证明如下：如解图，连结AC，BD.APBCPD，APBAPDCPDAPD，即APCBPD.在APC和BPD中，APCBPD(SAS)ACBD.E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，EFAC，FGBD.EFFG.同(1)可得四边形E
18、FGH是平行四边形，四边形EFGH是菱形(3)四边形EFGH是正方形如解图，设AC与BD相交于点O，AC与PD相交于点M，AC与EH相交于点N.APCBPD，ACPBDP.DMOCMP，CODCPD90.EHBD，ACHG，EHGENOBOCCOD90.又四边形EFGH是菱形，四边形EFGH是正方形23(12分)如图，在等边三角形ABC中，点D在直线BC上，连结AD，作ADN60，直线DN交射线AB于点E，过点C作CFAB交直线DN于点F.(1)如图，当点D在线段BC上，NDB为锐角时，求证：CFBECD(提示：过点F作FMBC交射线AB于点M)(2)如图，当点D在线段BC的延长线上，NDB为
19、锐角时；如图，当点D在线段CB的延长线上，NDB为钝角时，请分别写出线段CF，BE，CD之间的数量关系，不需要证明(3)在(2)的条件下，若ADC30，SABC4，则BE_8_，CD4或8【解析】(1)如解图，过点F作FMBC交射线AB于点M.FMBC，EMFABC，BDEMFE.CFAB，FMBC，四边形BMFC是平行四边形，BCMF，CFBM.ABC是等边三角形，ABCACB60，BCAC，EMFACB，MFCA.ADEACB60，BDECDA120，CADCDA120，BDECAD.MFECAD.在MEF与CDA中，MEFCDA(ASA)CDMEBEBM.CDBECF.(2)题图中，CDBECF；题图中，CDCFBE.(3)如解图.由题意，易得CDACAD30，BAD90，BCACCD.SABCBCBCsin60BC24，BC4.CD4.BDEADNADC30，BED90ADN30，BDEBED，BEBDBCCD8；如解图.同理可得，此时BDBCAB，BC4，BAD30，BD4，DEBADNBAD30.又ADNADC90，EDB90.BE2BD8，CDBDBC8.综上所述，BE8，CD4或8.
