1、2020高考数学（理科）全国二卷高考模拟试卷（9）一选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1（3分）已知AxN*|x3，Bx|x24x0，则AB（）A1，2，3B1，2C（0，3D（3，42（3分）设i为虚数单位，复数z=2+3ii，则z的共轭复数是（）A32iB3+2iC32iD3+2i3（3分）已知向量a=(1，3)，b=(4，m)，且(a-b)a，则向量a与b夹角为（）A3B6C4D24（3分）已知alog52，blog72，c0.5a2，则a，b，c的大小关系为（）AbacBabcCcbaDcab5（3分）直角坐标系xOy中，点P（cos，sin）在直线y2x上，则cos(2+2
2、)=（）A45B-45C35D-356（3分）如果数据x1，x2，xn的平均数为x，方差为82，则5x1+2，5x2+2，5xn+2的平均数和方差分别为（）Ax，82B5x+2，82C5x+2，2582Dx，25827（3分）函数f（x）=3x-3-xx2的图象大致为（）ABCD8（3分）在三角形ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2，B120，c3，则b（）A7B4C19D59（3分）已知函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可能是（）Ayx（1|x|）By=x4cos(2x)Cy=x4sin(x)Dy|x|（1x）（x+1）10（3分）生物实验室有5只兔子，其中只
3、有3只测量过体重指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过体重指标的概率为（）A23B35C25D31011（3分）在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为A1D1的中点，若三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A12B212C414D1012（3分）以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，称它们互为共轭双曲线设双曲线C1：x2a2-y2b2=1（a0，b0）与双曲线C2互为共轭双曲线，它们的离心率分别为e1、e2以下说法错误的是（）AC1、C2的渐近线方程都是ybaxBe1e2的最小值是2Ce12+e221D1e12+
4、1e22=1二填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）13（3分）过抛物线yax2（a0）的焦点做平行于x轴的直线与抛物线相交于A、B两点，O为坐标原点，OAB面积为12，则a 14（3分）已知实数x，y满足约束条件y2x+y1y2(x-2)，若zx+ty（t0）的最大值为11，则实数t 15（3分）圆锥的底面直径为2，侧面积为2，则它的体积为 16（3分）f（x）=-12x2+lnx+1在1e，e上的最大值是 三解答题（共5小题）17已知数列an满足a1=1，a2=12，an+an+1=2an+2（）求证：an+1an为等比数列；（）求an的通项公式18某学校开设了射击选修课，规定向A、B
5、两个靶进行射击：先向A靶射击一次，命中得1分，没有命中得0分，向B靶连续射击两次，每命中一次得2分，没命中得0分；小明同学经训练可知：向A靶射击，命中的概率为45，向B靶射击，命中的概率为34，假设小明同学每次射击的结果相互独立现对小明同学进行以上三次射击的考核（）求小明同学恰好命中一次的概率；（）求小明同学获得总分X的分布列及数学期望E（X）19如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，PAAB，E为线段PB的中点，若F为线段BC上的动点（不含B）（1）平面AEF与平面PBC是否互相垂直？如果是，请证明：如果不是，请说明理由；（2）求二面角BAFE的余弦值的取值范围
6、20已知函数f（x）alnxx+2（a为不小于1的整数），（1）当a2时，求f（x）在x1处的切线方程；（2）当a1时，若关于x的方程f（x）+2x24x2m+1在区间12，e上有两个实数解，求实数m的取值范围21已知椭圆C：x2a2+y2=1（a1）的离心率是22（）求椭圆C的方程；（）已知F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，过F2作斜率为k的直线l，交椭圆C于A，B两点，直线F1A，F1B分别交y轴于不同的两点M，N如果MF1N为锐角，求k的取值范围四解答题（共1小题）22在平面直角坐标系x0y中，直线l1的参数方程为x=t-3y=kt（t为参数），直线l2的参数方程为x=3-my=m3k
7、（m为参数）设直线l1与l2的交点为P当k变化时点P的轨迹为曲线C1（）求出曲线C1的普通方程；（）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为sin(+4)=32，点Q为曲线C1上的动点，求点Q到直线C2的距离的最大值五解答题（共1小题）23设函数f（x）|x1|+|x+1|，设f（x）4的解集为S（）求S；（）证明：当a，bS时，2|a+b|ab+42020高考数学（理科）全国二卷高考模拟试卷（9）参考答案与试题解析一选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1（3分）已知AxN*|x3，Bx|x24x0，则AB（）A1，2，3B1，2C（0，3D（3，4【解
8、答】解：由题意得：AxN*|x31，2，3，Bx|x24x0x|0x4，所以AB1，2，3，故选：A2（3分）设i为虚数单位，复数z=2+3ii，则z的共轭复数是（）A32iB3+2iC32iD3+2i【解答】解：z=2+3ii=(2+3i)(-i)-i2=3-2i，z=3+2i故选：B3（3分）已知向量a=(1，3)，b=(4，m)，且(a-b)a，则向量a与b夹角为（）A3B6C4D2【解答】解：向量a=(1，3)，b=(4，m)，且(a-b)a，（a-b）a=a2-ab=0，即 a2=ab，即 104+3m，m2，b=（4，2）设向量a与b夹角为，0，则 10|a|b|cos=1016+
9、4cos=1025coscos=22，=4，故选：C4（3分）已知alog52，blog72，c0.5a2，则a，b，c的大小关系为（）AbacBabcCcbaDcab【解答】解：1log25log27，1log52log72，又0.5a20.512，则cab，故选：A5（3分）直角坐标系xOy中，点P（cos，sin）在直线y2x上，则cos(2+2)=（）A45B-45C35D-35【解答】解：点P（cos，sin）在直线y2x上，sincos=tan2，则cos(2+2)=-sin2=-2sincossin2+cos2=-2tantan2+1=-44+1=45，故选：A6（3分）如果数据
10、x1，x2，xn的平均数为x，方差为82，则5x1+2，5x2+2，5xn+2的平均数和方差分别为（）Ax，82B5x+2，82C5x+2，2582Dx，2582【解答】解：数据x1，x2，xn的平均数为x，方差为82，5x1+2，5x2+2，5xn+2的平均数为：5x+2，5x1+2，5x2+2，5xn+2的方差分别S2582故选：C7（3分）函数f（x）=3x-3-xx2的图象大致为（）ABCD【解答】解：f（x）=3-x-3xx2=-f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B，当x+，f（x）+，排除A，D，故选：C8（3分）在三角形ABC中，A，B，C的对边分别为a，b
11、，c，已知a2，B120，c3，则b（）A7B4C19D5【解答】解：已知a2，B120，c3，则b2a2+c22accosB=4+9-223(-12)=19，解得b=19故选：C9（3分）已知函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可能是（）Ayx（1|x|）By=x4cos(2x)Cy=x4sin(x)Dy|x|（1x）（x+1）【解答】解：对于A，因为x（1|x|）x（1|x|），该函数是奇函数，故A错；对于B，-x4cos(-x2)=-x4cos(x2)，该函数为奇函数，故B错；对于D，x0时，f（x）3x2+1，当x1时，f（x）0，该函数为减函数，故D错；对于C，-x4s
12、in(-x)=x4sinx，故函数为偶函数，y=14(sinx+xcosx)，显然，y的符号可正可负，所以当x0时，函数有增有减故C准确故选：C10（3分）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过体重指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过体重指标的概率为（）A23B35C25D310【解答】解：设其中做过测试的3只兔子为a，b，c，剩余的2只为A，B，则从这5只兔子中任取3只的所有取法有：a，b，c，a，b，A，a，b，B，a，c，A，a，c，B，a，A，B，b，C，A，b，c，B，b，A，B，c，A，B，共10种，其中恰有2只做过测试的取法有：a，b，A，a，b，B，a，c，A
13、，a，c，B，b，c，A，b，c，B，共6种，所以恰有2只做过测试的概率为p=610=35，故选：B11（3分）在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为A1D1的中点，若三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A12B212C414D10【解答】解：取AC的中点E，做EFAF与F，连接PF可得PFAF，过E做垂直于面ABC的直线，由题意可得外接球的球心直线直线EO上，设球心为O，过O做OM面PAF交于M，由正方体性质可得，M在PF上，四边形OEFM为矩形，MFOE，OMEF，PFAB2，连接PO，OC可得都是外接球的半径，由题意可得：CE=22AB=2，EF=A
14、B2=1，在三角形OEC中，OC2OE2+EC2OE2+（2）22+OE2，在三角形POM中，OP2OM2+（PFFM）212+（2OE）2，两式联立可得：2+OE21+（2OE）2，解得：OE=34，所以OC22+（34）2=4116，所以外接球的表面积S4OC2=414，故选：C12（3分）以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，称它们互为共轭双曲线设双曲线C1：x2a2-y2b2=1（a0，b0）与双曲线C2互为共轭双曲线，它们的离心率分别为e1、e2以下说法错误的是（）AC1、C2的渐近线方程都是ybaxBe1e2的最小值是2Ce12+e221D1e12+
15、1e22=1【解答】解：根据定义可得C1：x2a2-y2b2=1，C2：y2b2-x2a2=1（a0，b0），故他们的渐近线方程均为ybax，故A正确；则e12=a2+b2a2，e22=a2+b2b2，所以1e12+1e22=a2a2+b2+b2a2+b2=1，故D正确；上式整理得e12+e22=e12e22，根据e1、e2都是大于1的正数，得e12e22e12+e222e1e2，两边约去e1e2，得e1e22，故B正确；故选：C二填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）13（3分）过抛物线yax2（a0）的焦点做平行于x轴的直线与抛物线相交于A、B两点，O为坐标原点，OAB面积为12，则a
16、12【解答】解：抛物线的标准方程为：x2=1ay，所以焦点坐标为：（0，14a），由题意可得直线AB的方程为：y=14a，代入抛物线的方程可得：x2=14a2，所以x=12a，所以SOAB=12|AB|14a=121a14a=12，解得a=12，故答案为：1214（3分）已知实数x，y满足约束条件y2x+y1y2(x-2)，若zx+ty（t0）的最大值为11，则实数t4【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由zx+ty得y=-1tx+zt，平移直线y=-1tx+zt，由图象知当直线y=-1tx+zt经过点A时，直线的截距最大此时z最大为11，由y=2y=2(x-2)得A（3，2），则3+
17、2t11，得2t8，t4，故答案为：415（3分）圆锥的底面直径为2，侧面积为2，则它的体积为33【解答】解：设圆锥的母线长为1，则由rl2，得l2，圆锥的高h=l2-r2=3，V=13r2h=1313=33故答案为：3316（3分）f（x）=-12x2+lnx+1在1e，e上的最大值是12【解答】解：f（x）=-12x2+lnx+1的导数f（x）x+1x=-x2-1x=-(x-1)(x+1)x（x0），当x1e，1有f（x）0；当x（1，e，有f（x）0，可得f（x）在区间1e，1上是增函数，在 （1，e上为减函数，又f（x）maxf（1）=12；故答案为：12三解答题（共5小题）17已知数
18、列an满足a1=1，a2=12，an+an+1=2an+2（）求证：an+1an为等比数列；（）求an的通项公式【解答】（）证明：an+an+12an+2，anan+12an+22an+1，即2（an+2an+1）（an+1an），an+2-an+1an+1-an=-12，又a2-a1=-12，数列an+1an为首项为-12，公比为-12的等比数列；（）解：由（1）可知：an+1an=(-12)n，a2-a1=(-12)1，a3-a2=(-12)2，a4-a3=(-12)3，an+1an=(-12)n，累加得：an+1-a1=(-12)1+(-12)2+(-12)3+(-12)n=-131-(
19、-12)n，又a11，an+1=-131-(-12)n+1=23+13(-12)n，an=23+13(-12)n-118某学校开设了射击选修课，规定向A、B两个靶进行射击：先向A靶射击一次，命中得1分，没有命中得0分，向B靶连续射击两次，每命中一次得2分，没命中得0分；小明同学经训练可知：向A靶射击，命中的概率为45，向B靶射击，命中的概率为34，假设小明同学每次射击的结果相互独立现对小明同学进行以上三次射击的考核（）求小明同学恰好命中一次的概率；（）求小明同学获得总分X的分布列及数学期望E（X）【解答】解：（）记：“小明恰好命中一次”为事件C，“小明射击A靶命中”为事件D，“该射手第一次射击
20、B靶命中”为事件E，“该射手第二次射击B靶命中”为事件F，由题意可知P(D)=45，P(E)=P(F)=34，由于C=DEF+DEF+DEF，P(C)=P(DEF+DEF+DEF)=18，（）X0，1，2，3，4，5P(X=0)=15(14)2=180，P(X=1)=45(14)2=120，P(X=2)=15C211434=340，P(X=3)=45C211434=310，P(X=4)=15(34)2=980，P(X=5)=45(34)2=920，X012345P180 120 340 310 980 920 E(X)=0180+1120+2340+3310+4980+5920=19519如图
21、，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，PAAB，E为线段PB的中点，若F为线段BC上的动点（不含B）（1）平面AEF与平面PBC是否互相垂直？如果是，请证明：如果不是，请说明理由；（2）求二面角BAFE的余弦值的取值范围【解答】解：（1）因为PAAB，E为线段PB的中点，所以AEPB，因为PA底面ABCD，BC平面ABCD，所以PABC，又因为底面ABCD为正方形，所以BCAB，又PAABA，所以BC平面PAB，AE平面PAB，BCAE，因为PBBCB，所以AE平面PBC，因为AE平面AEF，所以平面AEF平面PBC；（2）由题意，以AB，AD，AP所在直线分别为x，
22、y，z轴建立空间直角坐标系，令PA2，则A（0，0，0），B（2，0，0），E（1，0，1），F（2，t，0）（其中0t2），易知平面BAF的一个法向量为m=(0，0，1)，设平面AEF的一个法向量为n=(x，y，z)，则nAF=2x+ty=0nAE=x+z=0，令z1，则n=(-1，2t，1)，cosm，n=mn|m|n|=12+4t2，0t2，2+4t23，+)，12+4t2(0，33，故若F为线段BC上的动点（不含B），二面角BAFE的余弦值的取值范围是(0，3320已知函数f（x）alnxx+2（a为不小于1的整数），（1）当a2时，求f（x）在x1处的切线方程；（2）当a1时，若关于
23、x的方程f（x）+2x24x2m+1在区间12，e上有两个实数解，求实数m的取值范围【解答】解：（1）当a2时，f（x）2lnxx+2的导数为f（x）=2x-1，可得函数f（x）在x1处的切线斜率为211，切点为（1，1），则f（x）在x1处的切线方程为y1x1，即yx；（2）当a1时，f（x）lnxx+2，关于x的方程f（x）+2x24x2m+1，即为lnx5x+2x22m1，设g（x）lnx5x+2x2，x12，e，g（x）=1x-5+4x=(4x-1)(x-1)x，可得g（x）在12，1）递减，在（1，e）递增，且g（x）的最小值为g（1）3，g（e）15e+2e2，g（12）ln22，
24、作出g（x）在12，e的图象，可得32m12ln2，即1m-1-ln22，关于x的方程f（x）+2x24x2m+1在区间12，e上有两个实数解21已知椭圆C：x2a2+y2=1（a1）的离心率是22（）求椭圆C的方程；（）已知F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，过F2作斜率为k的直线l，交椭圆C于A，B两点，直线F1A，F1B分别交y轴于不同的两点M，N如果MF1N为锐角，求k的取值范围【解答】解：（）由题意，ca=22b2=1a2=b2+c2，解得a22椭圆C的方程为x22+y2=1；（）由已知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为yk（x1），直线l与椭圆C的交点A（x1，y1），B（x2，
25、y2），联立y=k(x-1)x22+y2=1，得（2k2+1）x24k2x+2k220由已知，0恒成立，且x1+x2=4k22k2+1，x1x2=2k2-22k2+1，直线F1A的方程为y=y1x1+1(x+1)，令x0，得M（0，y1x1+1），同理可得N（0，y2x2+1）F1MF1N=1+y1y2(x1+1)(x2+1)=1+k2(x1-1)(x2-1)(x1+1)(x2+1)=(1+k2)x1x2+(1-k2)(x1+x2)+1+k2x1x2+x1+x2+1，将代入并化简得：F1MF1N=7k2-18k2-1，依题意，MF1N为锐角，则F1MF1N=7k2-18k2-10，解得：k21
26、7或k218综上，直线l的斜率的取值范围为（，-77）（-24，0）（0，24）（77，+）四解答题（共1小题）22在平面直角坐标系x0y中，直线l1的参数方程为x=t-3y=kt（t为参数），直线l2的参数方程为x=3-my=m3k（m为参数）设直线l1与l2的交点为P当k变化时点P的轨迹为曲线C1（）求出曲线C1的普通方程；（）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为sin(+4)=32，点Q为曲线C1上的动点，求点Q到直线C2的距离的最大值【解答】解：（）直线l1的参数方程为x=t-3y=kt（t为参数），转换为直角坐标方程为y=k(x+3)直线l2的参数
27、方程为x=3-my=m3k（m为参数）转换为直角坐标方程为y=13k(3-x)所以得到x23+y2=1（y0）（）直线C2的极坐标方程为sin(+4)=32，转换为直角坐标方程为x+y60设曲线C1的上的点Q（3cos，sin）到直线x+y80的距离d=|3cos+sin-6|2=|2sin(+3)-6|2，当sin(+3)=-1时，dmax=82=42五解答题（共1小题）23设函数f（x）|x1|+|x+1|，设f（x）4的解集为S（）求S；（）证明：当a，bS时，2|a+b|ab+4【解答】解：（）f（x）|x1|+|x+1|=2x，x12，-1x1-2x，x-1f（x）4，2x4x1或1x1或-2x4x-1，1x2或1x1或2x1，2x2，f（x）4的解集S（2，2）；（）证明：a，bS，a240，b240，（a24）（b24）0，a2b24（a2+b2）+16（ab+4）24（a+b）20，2|a+b|ab+4
