1、2019年安徽省合肥市高考数学三模试卷（理科） 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 已知R是实数集，集合A=-1，0，1，B=x|2x-10，则A（RB）=（）A. B. C. 1D. -1，02. 已知i是实数集，复数z满足z+zi=3+i，则复数z的共轭复数为（）A. 1+2iB. 1-2iC. 2+iD. 2-i3. 执行如图所示的程序框图，若输入x=-1，则输出的y=（）A. B. C. D. 4. 已知Sn是等差数列an的前n项和，若a1+a2+a3=4，S6=10，则a3=（）A. B. C. D. 5. 某企业的一种商品的产量与单位成本数据如表：产
2、量x（万件）1416182022单位成本y（元/件）12107a3若根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为，则a的值等于（）A. 4.5B. 5C. 5.5D. 66. 若直线y=k（x+1）与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数k的取值范围是（）A. （-，1B. 0，2C. -2，1D. （-2，27. 为了得到函数y=sinx的图象，只需将函数的图象（）A. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向右平移个单位B. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移个单位C. 横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位D. 横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位8
3、. 若a，b是从集合1，1，2，3，4中随机选取的两个不同元素，则使得函数f（x）x5a+xb是奇函数的概率为（）A. B. C. D. 9. 已知直线与圆交于点M，N，点P在圆C上，且，则实数a的值等于（）A. 2或10B. 4或8C. D. 10. 已知F是抛物线C：y2=2px（p0）的焦点，抛物线C上动点A，B满足，若A，B的准线上的射影分别为M，N且MFN的面积为5，则|AB|=（）A. B. C. D. 11. 若存在两个正实数x，y使得等式x（1+lnx）=xlny -ay成立（其中lnx，lny是以e为底的对数），则实数a的取值范围是（）A. （0，B. （0，C. （-，D.
4、 （-，12. 如图，边长为1的菱形ABCD中，DAB=60，沿BD将ABD翻折，得到三棱锥A-BCD，则当三棱锥A-BCD体积最大时，异面直线AD与BC所成的角的余弦值为（）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 已知，若，则k=_14. 在的展开式中，x4的系数为_15. 已知函数，若对任意实数x，恒有f（a1）f（x）f（a2），则cos（a1-a2）=_16. 如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设
5、图中球O1，球O2的半径分别为3和1，球心距离|O1O2|=8，截面分别与球O1，球O2切于点E，F，（E，F是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于_三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 已知数列an满足a1=1，an=2an-1+2n-1（n2），数列bn满足bn=an+2n+3（）求证数列bn是等比数列；（）求数列an的前n项和Sn18. 在第十五次全国国民阅读调查中，某地区调查组获得一个容量为200的样本，其中城镇居民150人，农村居民50人在这些居民中，经常阅读的城镇居民100人，农村居民24人（）填写下面列联表，并判断是否有97.5%的把握认为，经常阅读与居民居住地有关
6、？城镇居民农村居民合计经常阅读10024不经常阅读合计200（）从该地区居民城镇的居民中，随机抽取4位居民参加一次阅读交流活动，记这4位居民中经常阅读的人数为X，若用样本的频率作为概率，求随机变量X的分布列和期望附：，其中n=a+b+c+dP（K2k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.82819. 已知：在四棱锥P-ABCD中，ADBC，G是PB的中点，PAD是等边三角形，平面PAD平面ABCD（）求证：CD平面GAC；（）求二面角P-AG-C的余弦值20. 已知直线l经过椭圆的右焦点（1，0），交椭圆C于点A
7、，B，点F为椭圆C的左焦点，ABF的周长为8（）求椭圆C的标准方程；（）若直线m与直线l的倾斜角互补，且交椭圆C于点M、N，|MN|2=4|AB|，求证：直线m与直线l的交点P在定直线上21. 已知函数f（x）=x2-axlnx+a+1（e为自然对数的底数）（）试讨论函数f（x）的导函数y=f（x）的极值；（）若x1，e（e为自然对数的底数），f（x）0恒成立，求实数a的取值范围22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数，0，）在以直角坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线E的方程为2（1+3sin2）=4（1）求曲线C的普通方程和曲线E的直角坐标方程；（2）若直线
8、l：x=t分别交曲线C、曲线E于点A，B，求AOB的面积的最大值23. 设f（x）=3|x-1|+|x+1|的最小值为k（1）求实数k的值；（2）设m，nR，m0，m2+4n2=k，求证：+- 答案与解析 -1.答案：D解析：解：因为，所以RB=x|x又A=-1，0，1，所以A（RB）=-1，0故选：D先解不等式得出集合B，再求B的补集，最后与A求交集本题考查集合交、并、补的运算，考查对基本概念和运算的掌握利用集合补集和交集的定义是解决本题的关键2.答案：C解析：【分析】本题考查复数运算，对复数的除法进行化简时，要采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”，属于基础题将z+zi=3+
9、i化为，对其进行化简得到z，利用共轭复数的性质得到.【解答】解：z+zi=3+i可化为z=2-iz的共轭复数为=2+i.故选C3.答案：D解析：解：输入x=-1，不成立，；，成立，跳出循环，输出故选：D按程序框图指引的顺序依次执行，写出各步的执行结果即可得到答案本题考查循环结构程序框图的输出结果当程序执行到判断框时要注意判断循环条件是否成立，是继续下一次循环，还是跳出循环4.答案：A解析：【分析】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和、方程组的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题列出关于a1，d的方程组并解出，即可求得a3的值【解答】解：设等差数列an的公差为da1+a2+a3=4，S6
10、=10，3a1+3d=4，6a1+d=10，联立解得：a1=，d=故选：A5.答案：B解析：解：由标准数据，计算=（14+16+18+20+22）=18，=（12+10+7+a+3）=；由点（，）在线性回归方程=-1.15x+28.1上，=-1.1518+28.1，则32+a=7.45，解得a=5故选：B求出，将其代入线性回归方程=-1.15x+28.1中，即可得出a的值本题考查了样本中心点（，）在线性回归方程上的应用问题，是基础题6.答案：B解析：【分析】画出不等式组表示的平面区域，直线y=k（x+1）过定点A（-1，0），数形结合得出k0，求出kAC，得出实数k的取值范围对于求斜率的范围的
11、线性规划，过定点作直线与不等式组表示的平面的区域有公共点，从而确定斜率的范围【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如下图所示直线y=k（x+1）过定点A（-1，0），直线y=k（x+1）与不等式组表示的平面区域有公共点则k0，kAC=2，k0，2故选：B7.答案：A解析：解：将函数的图象横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，可得y=sin（x+）的图象；再把它的图象再向右平移个单位，可得y=sinx的图象，故选：A由题意利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，得出结论本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基础题8.答案：B解析：【分析】本题考查概率的求法，考查古典概型、列
12、举法等基础知识，对于古典概型求概率：可用事件A包含的基本事件的个数和基本事件的总数之比得出事件A的概率考查运算求解能力，是基础题利用古典概型概率公式即可得出函数f（x）=x5a+xb是奇函数的概率【解答】解：从集合-1，1，2，3，4中随机选取的两个不同元素共有=20种，要使得函数f（x）=x5a+xb是奇函数，必须a，b都为奇数共有=6种，则函数f（x）=x5a+xb是奇函数的概率为P=故选：B9.答案：B解析：解：由可得在MCN中，CM=CN=2，可得点到直线MN，即直线的距离为所以，解得a=4或8故选：B由圆的性质可得出圆心C到直线l的距离，再由点到直线的距离公式可求出实数a的值本题考查
13、直线与圆的位置关系，点到直线的距离在直线与圆的问题中，结合相关的几何性质求解可使解题更简便10.答案：D解析：解：过点A作x轴的垂线，垂足为C，交NB的延长线于点D设A（，y1），B（，y2），则MN=y1-y2SMFN=5，即（y1-y2）p=10，即，y1=-4y2，AF=AM=，联立解得y1=4，y2=-1，p=2|AB|=故选：D过点A作x轴的垂线，垂足为C，交NB的延长线于点D设A（，y1），B（，y2），分别利用MFN的面积为5，及抛物线过焦点的弦长公式联立求解即可得到本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是中档题11.答案：
14、C解析：【分析】本题考查函数与方程，考查函数的单调性，属于中档题.对x（1+lnx）=xlny-ay进行变形，将求a的取值范围转化为求f（t）=-t-tlnt的值域，利用导数即可得出实数a的取值范围【解答】解：x（1+lnx）=xlny-ay可化为a=，令，则t0，f（t）=-t-tlnt，f（t）=-2-lnt，函数f（t）在区间上单调递增，在区间上单调递减即=,则a故选：C12.答案：B解析：【分析】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，属于较难题.菱形ABCD中，DAB=60，ABD、CBD为边长为1的等边三角形，将ABD沿BD翻折过程中，点A在底面BDC的投影在DCB的平分线上，三棱锥
15、的高最大时，平面ABD平面BCD【解答】解：ABD、CBD为边长为1的等边三角形，将ABD沿BD翻折形成三棱锥A-BCD如图：点A在底面BDC的投影在DCB的平分线CE上，则三棱锥A-BCD的高为AEC过A点的高；所以当平面ABD平面BCD时，三棱锥A-BCD的高最大，体积也最大，此时AE平面BCD；求异面直线AD与BC所成的角的余弦值：平移BC到DC位置，|cosADC|即为所求，AD=DC=1，AE=，EC=，AC=|cosADC|=|=，所以异面直线AD与BC所成的角的余弦值为，故选：B13.答案：8解析：【分析】本题考查了平面向量共线定理的坐标表示与运算问题，是基础题由向量平行的坐标运
16、算即可得出【解答】解：+2=（9，2+2k），3-=（-1，6-k）；（+2）（3-），9（6-k）-（-1）（2+2k）=0，解得k=8故答案为814.答案：-解析：解：通项公式Tk+1=（x3）8-k（-）k=（-）kx24-4k，由题意可知24-4k=4，解得k=5则x4的系数为（-）5=-，故答案为：-由二项式展开的通项公式确定k的值，即可得到x4的系数本题主要考查二项式定理的应用，求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项后，令字母的指数符合要求（求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等），解出r，代回通项即可15.答案：-解析：解：=2cos+（x-）cos（x
17、-）+sinx=cos2x+sinx=-2sin2x+sinx+1，sinx-1，1，f（x）（-2，），对任意实数x，恒有f（a1）f（x）f（a2），则f（a1）=-2，f（a2）=，即sina1=-1，sina2=，cosa1=0，cos（a1-a2）=cosa1cosa2+sina1sina2=0+=-对f（x）进行化简得到f（x）=-2sin2x+sinx+1，根据正弦函数和二次函数的单调性得到f（a1）=-2，f（a2）=，进而确定sina1=-1，sina2=，cosa1=0，利用两角差的余弦公式得到cos（a1-a2）本题主要考查了三角函数的求值，本题的关键在于“变角”将cos
18、（x+）变为cos+（x-）结合诱导公式，从而变成正弦的二倍角公式，考查了转化思想和函数思想，属于中档题16.答案：解析：解：如图，圆锥面与其内切球O1、O2分别相切与B，A，连接O1B，O2A，则O1BAB，O2AAB，过O1作O1DO2A于D，连接O1F，O2E，EF交O1O2于点C设圆锥母线与轴的夹角为，截面与轴的夹角为在RtO1O2D中，DO2=3-1=2，O1D=2cos=O1O2=8，CO2=8-O1C，EO2CFO1C，=，解得O1C=2CF=即cos=则椭圆的离心率e=故答案为：利用已知条件和几何关系找出圆锥母线与轴的夹角为，截面与轴的夹角为的余弦值，即可得出椭圆离心率本题考查
19、了“双球模型”椭圆离心率等于截面与轴的交角的余弦cos与圆锥母线与轴的夹角的余弦cos之比，考查了推理能力与计算能力，属于难题17.答案：解：（）证明：当n=1时，a1=1，故b1=6当n2时，an=2an-1+2n-1，则bn=an+2n+3=2an-1+2n-1+2n+3=2an-1+2（n-1）+3，bn=2bn-1，数列列bn是等比数列，首项为6，公比为2（）由（）得bn=32n，an=bn-2n-3=32n-2n-3，Sn=3（2+22+2n）-5+7+（2n+3）=3-=32n+1-n2-4n-6解析：本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，
20、属于中档题（）利用等比数列的定义结合a1=1，an=2an-1+2n-1（n2），bn=an+2n+3得出数列bn是等比数列（）数列an是“等比-等差”的类型，利用分组求和即可得出前n项和Sn18.答案：解：（）由题意得：城镇居民农村居民合计经常阅读100 24 124 不经常阅读50 26 76 合计150 50 200 则K2=5.5465.024，所以，有97.5%的把握认为经常阅读与居民居住地有关（）根据样本估计，从该地区城镇居民中随机抽取1人，抽到经常阅读的人的概率是，且xB（4，），P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，P（X=4）=，所以X的分布列为：X
21、 0 1 2 3 4 P E（X）=解析：（）根据题意填写列联表，利用公式求出K2，比较K2与5.024的大小，即可得出有97.5%的把握认为，经常阅读与居民居住地有关（）根据题意得X的可能取值为0，1，2，3，4，利用二项分布公式求出相应的概率，即可得出X的分布列和期望本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19.答案：（）证明：取AD的中点为O，连结OP，OC，OB，设OB交AC于H，连结GHADBC，四边形ABCD与四边形OBCD均为菱形OBAC，OBCD，则CDAC，PAD为等边三
22、角形，O为AD的中点，POAD，平面PAD平面ABCD且平面PAD平面ABCD=ADPO平面PAD且POAD，PO平面ABCD，CD平面ABCD，POCD，H，G分别为OB，PB的中点，GHPO，GHCD又GHAC=H，AC，GH平面GAC，CD平面GAC；（）解：取BC的中点为E，以O为空间坐标原点，分别以，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz设AD=4，则P（0，0，2），A（0，-2，0），C（，1，0），D（0，2，0），G（，）=（0，2，2），=（，）设平面PAG的一法向量=（x，y，z）由，得，即令z=1，则=（1，1）由（）可知，平面AGC的
23、一个法向量二面角P-AG-C的平面角的余弦值cos=解析：（）分别证明CDAC和GHCD，即可得出CD平面GAC；（）以O为空间坐标原点，分别以，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz分别求出平面PAG、平面AGC的法向量、，利用cos=得出二面角P-AG-C的余弦值本题考查线线、线面、面面垂直的判定定理，考查二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，是中档题20.答案：解：（）由已知，得，b2=3，椭圆C的标准方程（）若直线l的斜率不存在，则直线m的斜率也不存在，这与直线m与直线l相交于点P矛盾，所以直线l的斜率存在令l：y=k（x-1），（k0），m：y=-
24、k（x+t），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），N（xN，yN）将直线m的方程代入椭圆方程得：（3+4k2）x2+8k2tx+4（k2t2-3）=0，xM+xN=-，xMxN=，|MN|2=（1+k2）同理|AB|=由|MN|2=4|AB|得t=0，此时，=64k4t2-16（3+4k2）（k2t2-3）0，直线m：y=-kx，即点P的定直线x=上解析：（）根据椭圆的性质及已知条件求出a，b，即可得出椭圆C的标准方程（）设出直线l和直线m的直线方程，分别代入椭圆C的标准方程，利用弦长公式和韦达定理得出|MN|，|AB|，根据|MN|2=4|AB|确定l的值，联立直线l和直线
25、m的方程得到点P的坐标，从而确定点P在定直线上本题考查了椭圆方程、直线与椭圆的位置关系，属于中档题21.答案：解：（）f（x）的定义域为（0，+）g（x）=f（x）=2x-alnx-a，g（x）=2-当a0时，g（x）0，函数y=g（x）在（0，+）单调递增，函数y=g（x）没有极值当a0时，由g（x）=0，得x=，函数y=g（x）在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增函数y=g（x）的极小值为，没有极大值（）对x1，e，f（x）0恒成立，即对x1，e，x2-axlnx+a+10，对x1，e，x-alnx+0令h（x）=x-alnx+，则h（x）=1-=当a+11，即a0时，对x1，e，h
26、（x）0，h（x）在1，e上单调递增，h（x）min=h（1）=1-0+0，解得a-2，-2a0满足题意当a+1qe时，即aqe-1，对x1，e，h（x）0，h（x）在1，e上单调递减，h（x）min=h（e）=e-a+0，解得ae-1满足题意当1a+1e，即0ae-1时，对于x1，a+1，h（x）0；对于xa+1，e，h（x）0h（x）在1，a+1上单调递减，在a+1，e上单调递增，即1+-ln（a+1）0设H（a）=1+-ln（a+1），由于H（a）在（0，e-1）单调递减，H（a）1-0，即h（x）min=aH（a）0，0ae-1满足题意综上可得，a的取值范围为：解析：（）由导数的求导法
27、则得出g（x）=2x-alnx-a，利用导数求极值的步骤得出极值（）构造函数令，求导得到，利用导数求最值的方法对a的值进行分类讨论，即可得出实数a的取值范围本题在求a的取值范围时，直接构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参数不等式从而求出参数的取值范围，属较难题22.答案：解：（1）由（为参数，0，）消去参数，可得曲线C的普通方程为x2+y2=4（y0）由2（1+3sin2）=4，可得2+3（sin）2=4，则x2+y2+3y2=4，则曲线E的直角坐标方程为.（2）设A（2cos，2sin），0，其中t=2cos，则B（2cos，sin）,要使得AOB面积的最大，则B
28、（2cos，-sin）,=,20，2，sin2-1，1,当，即时，AOB的面积取最大值解析：（1）消去参数可得曲线C的普通方程；由2=x2+y2，sin=y可把曲线E的极坐标方程化为直角坐标方程（2）利用参数方程求出A，B的坐标，再求AOB的面积及其最大值本题考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，考查坐标系与参数方程的综合应用，是中档题23.答案：解：（1）f（x）=3|x-1|+|x+1|=，当x=1时，f（x）取得最小值，即k=f（1）=2；（2）证明：依题意，m2+4n2=2，则m2+4（n2+1）=6所以=，当且仅当，即m2=2，n2=0时，等号成立所以解析：（1）将函数表示为分段函数，再求其最小值；（2）利用已知等式构造出可以利用均值不等式的形式本题考查求含绝对值函数的最值，由均值不等式求最值含绝对值的函数或不等式问题，一般可以利用零点分类讨论法求解已知或pa+qb（m，n，p，q是正常数，a，bR+）的值，求另一个的最值，这是一种常见的题型，解题方法是把两式相乘展开再利用基本不等式求最值
