1、2019届四川省南充市高考数学一诊试卷数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若集合M=x|（x1）（x4）=0，N=x|（x+1）（x3）0，则MN=（）AB1C4D1，42已知复数z=1+i，则=（）A2B2C2iD2i3已知向量，若，则锐角为（）A30B60C45D754设a=log310，b=log37，则3ab=（）ABCD5已知等差数列an的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A4B6C8D106如图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图，其俯视图是面积为8的矩形，则该几何体的表面积
2、是（）A20+8B24+8C8D167某程序框图如图所示，执行该程序，若输入4，则输出S=（）A10B17C19D368已知点P（a，b）（ab0）是圆x2+y2=r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在直线，直线l的方程为ax+by=r2，那么（）Aml，且l与圆相交Bml，且l与圆相切Cml，且l与圆相离Dml，且l与圆相离9设sin（+）=，则sin2=（）ABCD10如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为（）A9：4B4：3C3：1D3：211已知抛物线y2=2px（p0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为
3、2，则该抛物线的准线方程为（）Ax=1Bx=1Cx=2Dx=212已知，是三次函数的两个极值点，且（0，1），（1，2），则的取值范围是（）ABCD二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13的展开式中，x3的系数是（用数学填写答案）14a1，则的最小值是15如果函数f（x）=sin（2x+），函数f（x）+f（x）为奇函数，f（x）是f（x）的导函数，则tan=16已知正数数列an的前n项和，则an=三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC=（2ac）cosB（）求B；（）若
4、c=2，b=3，求ABC的面积18某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：信息技术生物化学物理数学周一周三周五根据上表：（1）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；（2）设周三各辅导讲座满座的科目数为，求随机变量的分布列和数学期望19如图，ABCD是菱形，PA平面ABC
5、D，PA=AD=2，BAD=60（）求证：平面PBD平面PAC；（）求二面角DPBC的余弦值20已知椭圆的离心率为，两焦点之间的距离为4（）求椭圆的标准方程；（）过椭圆的右顶点作直线交抛物线y2=4x于A，B两点，求证：OAOB（O为坐标原点）21已知函数（a为常数，a0）（）当a=1时，求函数f（x）在点（3，f（3）的切线方程（）求f（x）的单调区间；（）若f（x）在x0处取得极值，且，而f（x）0在e+2，e3+2上恒成立，求实数a的取值范围（其中e为自然对数的底数）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.（共2小题，满分10分）22在直角坐标系xoy 中，
6、直线l的参数方程为，（t为参数）在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为=4cos（）求圆C在直角坐标系中的方程；（）若圆C与直线l相切，求实数a的值23已知函数f（x）=|xm|2|x1|（mR）（1）当m=3时，求函数f（x）的最大值；（2）解关于x的不等式f（x）02019届四川省南充市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若集合M=x|（x1）（x4）=0，N=x|（x+1）（x3）0，则MN=（）AB1C4D1，
7、4【考点】交集及其运算【分析】求出M中方程的解确定出M，求出N中不等式的解集确定出N，找出两集合的交集即可【解答】解：由M中方程解得：x=1或x=4，即M=1，4，由N中不等式解得：1x3，即N=（1，3），则MN=1，故选：B2已知复数z=1+i，则=（）A2B2C2iD2i【考点】复数代数形式的混合运算【分析】利用分子多项式展开，化简复数的表达式，求解即可【解答】解：因为复数z=1+i，则=2故选B3已知向量，若，则锐角为（）A30B60C45D75【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】根据两个向量平行，交叉相乘差为0，易得到一个三角方程，根据为锐角，我们易求出满足条件的值【解答】
8、解：向量，=sin2asin=，又为锐角，=45，故选：C4设a=log310，b=log37，则3ab=（）ABCD【考点】函数的最值及其几何意义【分析】由已知得3a=10，3b=7，从而3ab=【解答】解：a=log310，b=log37，3a=10，3b=7，3ab=故选：D5已知等差数列an的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A4B6C8D10【考点】等差数列的性质【分析】利用等差数列an的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，求出a1，即可求出a2【解答】解：等差数列an的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，（a1+4）2=a1（a1+6），a1=8，a2=6故
9、选：B6如图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图，其俯视图是面积为8的矩形，则该几何体的表面积是（）A20+8B24+8C8D16【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱柱，底面是等腰直角三角形，且其高为，故先求出底面积，求解其表面积即可【解答】解：此几何体是一个三棱柱，且其高为=4，由于其底面是一个等腰直角三角形，直角边长为2，所以其面积为22=2，又此三棱柱的高为4，故其侧面积为（2+2+2）4=16+8，表面积为：22+16+8=20+8故选A7某程序框图如图所示，执行该程序，若输入4，则输出S=（）A10B17C19D36【考点】程序
10、框图【分析】由已知中的程序框图及已知中输入4，可得：进入循环的条件为n4，即n=0，1，2，3，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值【解答】解：模拟程序的运行，可得：当n=0时，S=0+20+1=2；当n=1时，S=2+21+1=5；当n=2时，S=5+22+1=10；当n=3时，S=10+23+1=19；当n=4时，退出循环，输出S的值为19故选：C8已知点P（a，b）（ab0）是圆x2+y2=r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在直线，直线l的方程为ax+by=r2，那么（）Aml，且l与圆相交Bml，且l与圆相切Cml，且l与圆相离Dml，且l与圆相离【考点】直线与圆的位置关系【分析
11、】由P在圆内，得到P到圆心距离小于半径，利用两点间的距离公式列出不等式a2+b2r2，由直线m是以P为中点的弦所在直线，利用垂径定理得到直线OP与直线m垂直，根据直线OP的斜率求出直线m的斜率，再表示出直线l的斜率，发现直线m与l斜率相同，可得出两直线平行，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离，利用得出的不等式变形判断出d大于r，即可确定出直线l与圆相离【解答】解：点P（a，b）（ab0）在圆内，a2+b2r2，kOP=，直线OP直线m，km=，直线l的斜率kl=km，ml，圆心O到直线l的距离d=r，l与圆相离故选C9设sin（+）=，则sin2=（）ABCD【考点】二倍角的正弦【
12、分析】将已知由两角和的正弦公式展开可得（sin+cos）=，两边平方可得（1+sin2）=，即可得解【解答】解：sin（+）=，（sin+cos）=，两边平方，可得：（1+sin2）=，解得：sin2=，故选：B10如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为（）A9：4B4：3C3：1D3：2【考点】球的体积和表面积【分析】设出球的半径，利用三角形相似，求出圆锥的底面半径，然后求出球的表面积，圆锥的全面积，即可得到比值【解答】解：设球的半径为1；圆锥的高为：3，则圆锥的底面半径为：r由PODPBO1，得，即，所以r=圆锥的侧面积为： =6，球的表面积为：4所
13、以圆锥的侧面积与球的表面积之比6：4=3：2故选D11已知抛物线y2=2px（p0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（）Ax=1Bx=1Cx=2Dx=2【考点】抛物线的简单性质【分析】先假设A，B的坐标，根据A，B满足抛物线方程将其代入得到两个关系式，再将两个关系式相减根据直线的斜率和线段AB的中点的纵坐标的值可求出p的值，进而得到准线方程【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），则有y12=2px1，y22=2px2，两式相减得：（y1y2）（y1+y2）=2p（x1x2），又因为直线的斜率为1，所以=1，所以有y1
14、+y2=2p，又线段AB的中点的纵坐标为2，即y1+y2=4，所以p=2，所以抛物线的准线方程为x=1故选B12已知，是三次函数的两个极值点，且（0，1），（1，2），则的取值范围是（）ABCD【考点】函数在某点取得极值的条件【分析】由已知中，是三次函数的两个极值点，且（0，1），（1，2），我们易得f（x）=x2+ax+2b的两个零点分别在区间（0，1）和（1，2）上，由零点存在定理，我们易构造关于a，b的不等式组，将问题转化为一个线性规划问题，分析的几何意义，即可根据数形结合求出答案【解答】解：函数f（x）=x2+ax+2b又（0，1），（1，2），其对应的平面区域如下图所示：由图可得：当
15、x=3，y=1时，取最小值；当x=1，y=0时，取最大值1；故选A二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13的展开式中，x3的系数是80（用数学填写答案）【考点】二项式系数的性质【分析】利用通项公式即可得出【解答】解：Tr+1=25rx52r，令52r=3，解得r=1x3的系数是=80故答案为：8014a1，则的最小值是3【考点】函数的最值及其几何意义【分析】根据a1可将a1看成一整体，然后利用均值不等式进行求解，求出最值，注意等号成立的条件即可【解答】解：a1，a10=a1+12+1=3当a=2时取到等号，故答案为315如果函数f（x）=sin（2x+），函数f（x）+f（x
16、）为奇函数，f（x）是f（x）的导函数，则tan=2【考点】正弦函数的奇偶性；导数的运算【分析】求函数的导数，根据函数奇偶性的性质进行求解即可【解答】解：f（x）=sin（2x+），f（x）=2cos（2x+），则f（x）+f（x）=sin（2x+）+2cos（2x+），f（x）+f（x）为奇函数，sin（2x+）+2cos（2x+）=sin（2x+）2cos（2x+），即sin（2x）+2cos（2x）=sin（2x+）+2cos（2x+），则sin2xcos+cos2xsin+2cos2xcos+2sin2xsin=（sin2xcos+cos2xsin+2cos2xcossin2xsin）
17、=sin2xcoscos2xsin2cos2xcos+2sin2xsin，即2cos2xsin=4cos2xcos，即sin=2cos，即tan=2，故答案为：216已知正数数列an的前n项和，则an=2n1【考点】数列递推式【分析】，n=1时，a1=S1=，解得a1n2时，an=SnSn1，再利用等差数列的通项公式即可得出【解答】解：，n=1时，a1=S1=，解得a1=1n2时，an=SnSn1=，化为：（an+an1）（anan12）=0，an0，anan1=2，数列an是等差数列，首项为1，公差为2an=1+2（n1）=2n1故答案为：2n1三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写
18、出文字说明、证明过程或演算步骤.）17ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC=（2ac）cosB（）求B；（）若c=2，b=3，求ABC的面积【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（）由已知及正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式化简可得sinA=2sinAcosB结合sinA0可求cosB，利用特殊角的三角函数值即可求得B的值（）由已知及余弦定理得a22a5=0，解得a的值，进而利用三角形面积公式即可得解【解答】（本题满分为12分）解：（）由已知及正弦定理得sinBcosC=（2sinAsinC）cosB=2sinAcosBsinCcosB则sinBco
19、sC+sinCcosB=2sinAcosBsin（B+C）=2sinAcosB，故sinA=2sinAcosB因为，在ABC中，sinA0所以，（）由已知及余弦定理得9=4+a24acosB，又，所以：a22a5=0，解得：a=1+，或a=1（舍去），所以：SABC=acsinB=（1+）=12分18某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否
20、则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：信息技术生物化学物理数学周一周三周五根据上表：（1）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；（2）设周三各辅导讲座满座的科目数为，求随机变量的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）由题意设数学辅导讲座在周一，周三，周五都不满座位事件A，则有独立事件同时发生的概率公式即可求得；（2）由于题意可以知道随机变量的可能值为0，1，2，3，4，5，利用随见变量的定义及相应的事件的概率公式即可求得随机变量每一个值下的概率，并列出其分布列，再有期望定义求解【解答】解：（
21、1）设数学辅导讲座在周一，周三，周五都不满座位事件A，则P（A）=（1，（2）由题意随机变量的可能值为0，1，2，3，4，5，P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=，P（=4）=，P （=5）=，所以随机变量的分布列为：故E=19如图，ABCD是菱形，PA平面ABCD，PA=AD=2，BAD=60（）求证：平面PBD平面PAC；（）求二面角DPBC的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定【分析】（）推导出BDAC，PABD，从而BD平面PAC，由此能证明平面PBD平面PAC（）以为x轴的正方向，为y轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角DPBC
22、的余弦值【解答】证明：（）由ABCD是菱形可得BDAC，因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD，又PAAC=A，所以BD平面PAC，又BD平面PBD，故平面PBD平面PAC解：（）以为x轴的正方向，为y轴的正方向，建立如图所示的直角坐标系，则O（0，0，0），B（0，1，0），设平面PBD的一个法向量，由，可得，即，所以可取同理可得平面PBC的一个法向量所以故二面角DPBC的余弦值为20已知椭圆的离心率为，两焦点之间的距离为4（）求椭圆的标准方程；（）过椭圆的右顶点作直线交抛物线y2=4x于A，B两点，求证：OAOB（O为坐标原点）【考点】椭圆的简单性质【分析】（）由题意可得2c
23、=4，则a=4，c=2由b2=a2c2=12，即可求得椭圆的标准方程；（）过（4，0）的直线方程为：x=my+4，代入抛物线y2=4x，由韦达定理可知：，则=x1x2+y1y1=0，即可求证OAOB【解答】解：（）解：椭圆焦点在x轴上，由题意可得2c=4，则a=4，c=2由b2=a2c2=12，椭圆标准方程为：（）证明：由（）可得椭圆的右顶点为（4，0），由题意得，可设过（4，0）的直线方程为：x=my+4由，消去x得：y24my16=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则，则=0，则故OAOB21已知函数（a为常数，a0）（）当a=1时，求函数f（x）在点（3，f（3）的切线方程（）求f
24、（x）的单调区间；（）若f（x）在x0处取得极值，且，而f（x）0在e+2，e3+2上恒成立，求实数a的取值范围（其中e为自然对数的底数）【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）求出函数的导数，计算f（3），f（3）的值，求出切线方程即可；（）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（）由（）知x0处有极值，求出，得到f（x）在e+2，e3+2上单调，根据函数的单调性得到关于a的不等式组，解出即可【解答】解：（x2）（）当a=1时，f（3）=2.，所以，函数f（x）在点（3，f（3）处的切线方程为：，即4x+2y3=0（）=，因为x2，所以
25、x20，当a0时，（x1）2（a+1）=x（x2）a0在x2上成立，所以f（x）当x2恒大于0，故f（x）在（2，+）上是增函数当a0时，因为x2，所以，a（x2）0，当时，f（x）0，f（x）为减函数；当时，f（x）0，f（x）为增函数综上：当a0时，f（x）在（2，+）上为增函数；当a0时，f（x）在上为增函数，在上为减函数（）由（）知x0处有极值，故a0，且，因为且e+22，所以f（x）在e+2，e3+2上单调当e+2，e3+2为增区间时，f（x）0恒成立，则有当e+2，e3+2为减区间时，f（x）0恒成立，则有解集为空集综上：当ae6+2e3时满足条件请考生在22、23两题中任选一题作
26、答，如果多做，则按所做的第一题记分.（共2小题，满分10分）22在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为，（t为参数）在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为=4cos（）求圆C在直角坐标系中的方程；（）若圆C与直线l相切，求实数a的值【考点】参数方程化成普通方程【分析】（I）利用 x=cos，y=sin可将圆C的极坐标方程=4cos化为普通方程；（II）据点到直线的距离公式即可求出答案【解答】解：（）由=4cos得2=4cos，结合极坐标与直角坐标的互化公式得x2+y2=4x，即（x2）2+y2=4 （）由直线l的参数方程为，化
27、为普通方程，得xya=0结合圆C与直线l相切，得=2，解得a=2或623已知函数f（x）=|xm|2|x1|（mR）（1）当m=3时，求函数f（x）的最大值；（2）解关于x的不等式f（x）0【考点】函数的最值及其几何意义；绝对值不等式的解法【分析】（1）通过令m=3，然后去绝对值符号，对于分段函数取最大值即可；（2）通过对|xm|2|x1|两边平方，化简得x（2m）3x（2+m）0，比较2m与的大小，分类讨论即可【解答】解：（1）当m=3时，f（x）=|x3|2|x1|，即f（x）=，当x=1时，函数f（x）的最大值f（2）=1+1=2；（2）f（x）0，|xm|2|x1|，两边平方，化简得x（2m）3x（2+m）0，令2m=，解得m=1，下面分情况讨论：当m1时，不等式的解集为2m，；当m=1时，不等式的解集为x|x=1；当m1时，不等式的解集为，2m
