1、2019河北省衡水中学高考数学适应性试卷(一)数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案填涂在答题卡上.1. 设全集，集合，则 A.B.C.D.2. 若复数是纯虚数，其中是实数，则 A.B.C.D.3. 下列命题正确的是（ ） A.命题“”为假命题，则命题与命题都是假命题B.命题“若，则”的逆否命题为真命题C.“”是“”成立的必要不充分条件D.命题“存在，使得”的否定是：“对任意，均有”4. 已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形中随机投掷个点，则落入阴影部分的点个数的估计值为（ ）附：若随
2、机变量，则，A.B.C.D.5. 已知数列满足，且，则 A.B.C.D.6. 九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且，若球的表面积为，则这个三棱柱的体积是（ ） A.B.C.D.7. 偶函数和奇函数的图象如图所示，若关于的方程（），（）的实根个数分别为、，则 A.B.C.D.8. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A.B.C.D.9. 已知，若，则 A.B.C.D.10. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A.B.C.D.11. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，为坐标原点，以
3、为直径的圆与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为、，点为圆与轴正半轴的交点，若，则双曲线的离心率为（ ） A.B.C.D.12. 已知函数与函数的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为（ ） A.B.C.D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷的横线上.13. 平面向量，若向量与共线，则_ 14. 设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为_ 15. 已知，满足不等式组，若不等式恒成立，则实数的取值范围是_ 16. 设数列满足，若使得，则正整数_ 三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为
4、必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17. 已知向量，若，且函数的图象关于直线对称求函数的解析式，并求的单调递减区间；在中，角、的对边分别为、，若，且，求外接圆的面积 18. 如图，在直三棱柱中，点为棱的中点，点为线段上一动点求证：当点为线段的中点时，平面；设，试问：是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，求出这个实数；若不存在，请说明理由19. 手机中的“运动”具有这样的功能，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数小明的朋友圈里有大量好友参与了“运动”，他随机选取了其中名，其中男女各名，记录了他们某一天的走路步数，
5、统计数据如表所示：步数性别男女以样本估计总体，视样本频率为概率，在小明朋友圈里的男性好友中任意选取名，其中走路步数低于步的有名，求的分布列和数学期望；如果某人一天的走路步数超过步，此人将被“运动”评定为“积极型”，否则为“消极型”根据题意完成下面的列联表，并据此判断能否有以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？积极型消极型总计男女总计附：20. 已知倾斜角为的直线经过抛物线：的焦点，与抛物线相交于，两点，且 求抛物线的方程； 过点的两条直线，分别交抛物线于点，和，线段和的中点分别为，如果直线与的倾斜角互余，求证：直线经过一定点21. 已知函数讨论的单调性；若，求证： 四、请考生在22、23两
6、题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22. 在极坐标系中，已知圆的圆心为，半径为以极点为原点，极轴方向为轴正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，直线的参数方程为为参数，且写出圆的极坐标方程和直线的普通方程；若直线与圆交于、两点，求的最小值 选修4-5：不等式选讲23. 设不等式的解集为求集合；若，不等式恒成立，求实数的取值范围 参考答案与试题解析2019河北省衡水中学高考数学适应性试卷(一)数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案填涂在答题卡上.1.【
7、答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】先解出，然后进行交集、补集的运算即可【解答】； ； 2.【答案】B【考点】复数的运算【解析】由复数是纯虚数，列出方程组，求解可得的值，然后代入求出，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】 复数是纯虚数， ，解得 则故选：3.【答案】B【考点】四种命题【解析】根据复合命题的真假判断，根据四种命题的条件判断，根据充分必要条件的定义判断，根基命题的否定判断【解答】对于：命题“”为假命题，则命题与命题至少有一个假命题，故错误；对于：命题“若，则”正确，故其逆否命题为真命题，故正确；对于：由“”可以得出“”成立，反之，当时，不能得出“”，故”是“”的
8、充分非必要条件，故错误；对于：命题“存在，使得”的否定是：“对任意，均有”故错误，4.【答案】B【考点】微积分基本定理定积分正态分布密度曲线【解析】由题意（阴影），即可得出结论【解答】由题意（阴影），则落入阴影部分点的个数的估计值为5.【答案】A【考点】等差数列的通项公式【解析】数列满足，可得，即，由，利用等差数列的性质可得，利用通项公式解得而，再利用对数运算性质即可得出【解答】数列满足， ，即， 数列是等差数列，公差为（2） ， ， ，解得 6.【答案】C【考点】柱体、锥体、台体的体积球内接多面体【解析】把直三棱柱补形为长方体，由其外接球的表面积求得长方体的对角线长，进一步求出高，则答案可求
9、【解答】如图，将直三棱柱补形为长方体由其外接球的表面积为，得， ，即长方体的对角线长， 则直三棱柱得体积7.【答案】D【考点】函数与方程的综合运用【解析】若方程（）则或，进而可得值；若（），则，或，进而得到值【解答】若方程（）则或，此时方程有个解，；若（）则，或，此时方程有个解；即， ，8.【答案】C【考点】程序框图【解析】通过分析循环，推出循环规律，利用循环的次数，求出输出结果【解答】第一次循环：，；第二次循环：，；第三次循环：，；第次循环：，令解得 输出的结果是9.【答案】A【考点】二项式定理及相关概念【解析】由已知求得，再由，写出的展开式的通项，分别取和，求出的展开式中含与含的项，则答案
10、可求【解答】由，取，得，则 ，的展开式的通项为取，得，取，得 故选：10.【答案】C【考点】由三视图求面积、体积【解析】由三视图画出几何体的直观图，结合图形求出该多面体的表面积【解答】如图所示，该多面体的直观图为直三棱柱截去一个三棱锥，即四棱锥；所以该多面体的表面积为11.【答案】D【考点】双曲线的性质【解析】联立圆与双曲线的方程，求得的坐标，化简即可求得双曲线的离心率【解答】 ， ，双曲线的一条渐近线方程为，则，由题意可知：以线段为直径的圆的方程，联立，解得， ， ，即， ， ，解得，12.【答案】C【考点】函数的图象与图象变化【解析】由题意可化为在上有解即在上有解，即函数与在上有交点，画出
11、函数与在上的图象，求得直线和曲线相切的条件，即可得到所求的范围【解答】由题意知，方程在上有解，即，即在上有解，即函数与在上有交点，的导数为，当时，函数递减；当时，函数递增可得处函数取得极大值，函数与在上的图象如右：当直线与相切时，切点为，可得，由图象可得的取值范围是二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷的横线上.13.【答案】【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】根据平面向量共线定理求出的值，再计算数量积的值【解答】平面向量，若向量与共线，则，解得 14.【答案】【考点】椭圆的性质圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的几何性质【解析】先根据抛物线的方程求得焦点坐标，进
12、而求得椭圆的半焦距，根据椭圆的离心率求得，最后根据和的关系求得【解答】抛物线的焦点坐标为， 椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同， 椭圆的半焦距，即， ， ， 椭圆的标准方程为，15.【答案】【考点】简单线性规划【解析】画出不等式满足的平面区域，由恒成立，结合图形确定出的范围即可【解答】，满足不等式组的平面区域如右图所示，由于对任意的实数、，不等式恒成立，根据图形，当时，的最优解为，可得解得：，当时，的最优解为，解得，则实数的取值范围是16.【答案】【考点】数列递推式【解析】先判断数列为递增数列，再判断出对一切均有，以及对一切均有，问题得以解决【解答】由，可得， 数列为递增数列， ，即，注意到，即，
13、对一切均有，由此知，即， ， ，则，即，由此知，即，即，对一切均有， 使得，则正整数，三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.【答案】根据题意， 函数的图象关于直线对称， ， ，又， 函数的单调递减区间为，令， 的单调递减区间为， ， ， ， ， 在中，由余弦定理得， 由正弦定理得， ， 【考点】平面向量数量积的性质及其运算律余弦定理【解析】根据题意，由向量数量积的计算公式以及三角函数的和角公式可得，结合三角函数的图象性质分析可得的值，即可得答案；根据题意，由，结
14、合正弦函数的图象分析可得的值，据此由余弦定理分析可得的值，进而由正弦定理分析可得答案【解答】根据题意， 函数的图象关于直线对称， ， ，又， 函数的单调递减区间为，令， 的单调递减区间为， ， ， ， ， 在中，由余弦定理得， 由正弦定理得， ， 18.【答案】证明：连接、，显然、三点共线 点、分别为和的中点， ；在直三棱柱中， 平面， ，又， 四边形为正方形， 、平面， 平面，而， 平面以为原点，分别以、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，连接、，设， ， ， ， 当点在线段上运动时， 平面的法向量即为平面的法向量，设平面的法向量为，由得，令得，设平面的法向量为，由得，令得，取， ， ， 或【考
15、点】直线与平面垂直二面角的平面角及求法【解析】连接、，说明；证明，然后证明平面，推出平面以为原点，分别以、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，连接、，设，求出平面的法向量，平面的法向量，利用空间向量的数量积转化求解即可【解答】证明：连接、，显然、三点共线 点、分别为和的中点， ；在直三棱柱中， 平面， ，又， 四边形为正方形， 、平面， 平面，而， 平面以为原点，分别以、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，连接、，设， ， ， ， 当点在线段上运动时， 平面的法向量即为平面的法向量，设平面的法向量为，由得，令得，设平面的法向量为，由得，令得，取， ， ， 或19.【答案】在小明的男性好友中任意选取名，
16、其中走路步数低于的概率为可能取值分别为， ， 的分布列为则完成列联表如下：积极型消极型总计男女总计的观测值据此判断没有以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关【考点】独立性检验离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差【解析】在小明的男性好友中任意选取名，其中走路步数低于的概率为可能取值分别为，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望完成列联表求出的观测值据此判断没有以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关【解答】在小明的男性好友中任意选取名，其中走路步数低于的概率为可能取值分别为， ， 的分布列为则完成列联表如下：积极型消极型总计男女总计的观测值据此判断没有以上的把握认为“评
17、定类型”与“性别”有关20.【答案】解：由题意可设直线的方程为，令，联立得， ，根据抛物线的定义得，又，又， ， 则此抛物线的方程为设直线，的倾斜角分别为，直线的斜率为，则由于直线，的倾斜角互余，则，则直线的斜率为于是直线的方程为，即，联立得， ，则， ，同理将换成得：， 则直线的方程为，即，显然当，所以直线经过定点【考点】直线与抛物线的位置关系抛物线的性质【解析】根据抛物线的性质和根与系数的关系，即可求出，于是直线的方程为，联立方程组利用根与系数的关系和中点坐标公式求出，的坐标，得出直线的方程，即可得出结论【解答】解：由题意可设直线的方程为，令，联立得， ，根据抛物线的定义得，又，又， ，
18、则此抛物线的方程为设直线，的倾斜角分别为，直线的斜率为，则由于直线，的倾斜角互余，则，则直线的斜率为于是直线的方程为，即，联立得， ，则， ，同理将换成得：， 则直线的方程为，即，显然当，所以直线经过定点21.【答案】因为，若，则对恒成立，所以，此时的单调递减区间为；若，则时， 的单调递减区间为，单调递增区间为；综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增证明：令，则，由于，设，由，所以在上单调递增；由，所以在上单调递减 （因为），从而，则在上单调递减；在上单调递增， ，设,，在上递减， ； ，故【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】求出函数的导数，通过讨
19、论的范围，求出函数的单调区间；求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可【解答】因为，若，则对恒成立，所以，此时的单调递减区间为；若，则时， 的单调递减区间为，单调递增区间为；综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增证明：令，则，由于，设，由，所以在上单调递增；由，所以在上单调递减 （因为），从而，则在上单调递减；在上单调递增， ，设,，在上递减， ； ，故四、请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22.【答案】 圆的圆心为，半径为， 在直角坐标系中，圆的圆心为，则圆的直角坐标方程为即， 圆的极坐标方程为，即 直线的参
20、数方程，消去参数，得直线的普通方程为：直线过圆内一定点，当时，有最小值， 的最小值【考点】简单曲线的极坐标方程参数方程化成普通方程【解析】圆的圆心为，求出圆的直角坐标方程，由此能求出圆的极坐标方程，直线的参数方程消去参数，能求出直线的普通方程直线过圆内一定点，当时，有最小值，由此能求出的最小值【解答】 圆的圆心为，半径为， 在直角坐标系中，圆的圆心为，则圆的直角坐标方程为即， 圆的极坐标方程为，即 直线的参数方程，消去参数，得直线的普通方程为：直线过圆内一定点，当时，有最小值， 的最小值选修4-5：不等式选讲23.【答案】由已知，令，由，得将不等式整理成，令，要使，则， ， ， 【考点】不等式恒成立的问题绝对值不等式的解法【解析】求出的分段函数的形式，求出即可；问题转化为，令，根据一次函数的性质，求出的范围即可【解答】由已知，令，由，得将不等式整理成，令，要使，则， ， ，
