1、2020年湖南省长沙市中考数学模拟试卷（1）一选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1（3分）下列各数中，比4小的数是（）A2.5B5C0D22（3分）我国倡导的“一带一路”地区覆盖的总人口为4400000000人，这个数用科学记数法表示为（）A44108B4.4108C4.4109D4410103（3分）下列运算正确的是（）Aa3（a2）aB（a+1）2a2+1C（2a）24a2Da2+aa34（3分）下列事件中，是随机事件的是（）A任意抛一枚图钉，钉尖着地B任意画一个三角形，其内角和是180oC通常加热到100时，水沸腾D太阳从东方升起5（3分）如图，直线ab，132，245，则3的
2、度数是（）A77B97C103D1136（3分）已知一个组合体是由几个相同的正方体叠合在一起组成，该组合体的主视图与俯视图如图所示，则该组合体中正方体的个数最多是（）A10B9C8D77（3分）某公司全体职工的月工资如下：月工资（元）18000120008000600040002500200015001200人数1（总经理）2（副总经理）34102022126该公司月工资数据的众数为2000，中位数为2250，平均数为3115，极差为16800，公司的普通员工最关注的数据是（）A中位数和众数B平均数和众数C平均数和中位数D平均数和极差8（3分）钟面上的分针的长为1，从9点到9点15分，分针在钟
3、面上扫过的面积是（）A18B14C12D9（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，过点E作EFBC于点F，AC5，CAB90，按以下步骤作图：分别以点A，F为圆心，大于12AF的长为半径作弧，两弧交于点P，Q，作直线PQ，若点B，E在直线PQ上，且AE：EC2：3，则BC的长为（）A26B35C8D1310（3分）如图，小明家到学校有两条路，一条沿北偏东45方向可直达学校前门，另一条从小明家一直往东，到商店处向正北走100米，到学校后门；若两条路程相等，学校南北走向，学校后门在小明家北偏东67.5处，学校前门到后门的距离是（）A100米B1002米C2002米D1003米1
4、1（3分）足球比赛中，每场比赛都要分出胜负每队胜1场得3分，负一场扣1分，某队在8场比赛中得到12分，若设该队胜的场数为x负的场数为y，则可列方程组为（）Ax+y=83x-y=12Bx-y=83x-y=12Cx+y=183x+y=12Dx-y=83x+y=1212（3分）定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A的正对记作sadA，即sadA底边：腰如图，在ABC中，ABAC，A2B则sinBsadA（）A12B1C2D2二填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13（3分）使二次根式1-12x有意义的x的取值范围是 14（3分）分解因式：6xy29x2yy3 15（3分）对于
5、有理数m，我们规定m表示不大于m的最大整数，例如1.21，33，2.53，若x+235，则整数x的取值是 16（3分）做任意抛掷一只纸杯的重复实验，部分数据如表抛掷次数50100500800150030005000杯口朝上的频率0.10.150.20.210.220.220.22根据表，可估计任意抛掷一只纸杯，杯口朝上的概率约为 17（3分）如图所示，DE为ABC的中位线，点F在DE上，且AFB90，若AB5，BC7，则EF的长为 18（3分）已知如图，直线y=23x分别与双曲线y=mx（m0，x0）、双曲线y=nx（n0，x0）交于点A，点B，且BAOA=23，将直线y=23x向左平移6个单
6、位长度后，与双曲线y=nx交于点C，若SABC4，则mn的值为 三解答题（共8小题，满分66分）19（6分）计算：(-12)-1+132743-2cos30-|2-3|20（6分）化简求值：(2x-1x+1-x+1)x-2x2+2x+1，其中x=221（8分）某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动，为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、不合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图等级频数频率优秀2040%良好合格10m%不合格5n%请根据以上信息，解答下列问题：优秀良（1）
7、本次调查随机抽取了 名学生；表中m ，n ；（2）补全条形统计图；（3）若全校有2000名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人22（8分）如图1，正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，H为CD边上一点，连接BH交AC于K；E为BH上一点，连接AE交BD于F（1）若AEBH于E，且CK=2，AD6，求AF的长；（2）如图2，若ABBE，且BEOEAO，求证：AE22OE23（9分）某超市销售一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元销售，一个月能销售出500千克；销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克针对这种水产品的销售情况，请
8、解答以下问题：（1）每千克涨价x元，那么销售量表示为 千克，涨价后每千克利润为 元（用含x的代数式表示）（2）要使得月销售利润达到8000元，又要“薄利多销”，销售单价应定为多少？这时应进货多少千克？24（9分）【操作发现】如图（1），在OAB和OCD中，OAOB，OCOD，AOBCOD45，连接AC，BD交于点MAC与BD之间的数量关系为 ；AMB的度数为 ；【类比探究】如图（2），在OAB和OCD中，AOBCOD90，OABOCD30，连接AC，交BD的延长线于点M请计算ACBD的值及AMB的度数；【实际应用】如图（3），是一个由两个都含有30角的大小不同的直角三角板ABC、DCE组成的图
9、形，其中ACBDCE90，AD30且D、E、B在同一直线上，CE1，BC=21，求点A、D之间的距离25（10分）设抛物线yax2+bx2与x轴交于两个不同的点A（1，0）、B（m，0），与y轴交于点 C且ACB90（1）求抛物线的解析式（2）已知过点A的直线yx+1交抛物线于另一点E，且点D（1，3）在抛物线上问：在x轴上是否存在点P，使以点P、B、D为顶点的三角形与AEB相似？若存在，请求出所有符合要求的点P的坐标；若不存在，请说明理由26（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数ya（x1）（x5）（a0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于P点，过其顶点C作直线
10、CHx轴于点H（1）若APB30，请直接写出满足条件的点P的坐标；（2）当APB最大时，请求出a的值；（3）点P、O、C、B能否在同一个圆上？若能，请求出a的值，若不能，请说明理由（4）若a=15，在对称轴HC上是否存在一点Q，使AQPABP？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由2020年湖南省长沙市中考数学模拟试卷（1）参考答案与试题解析一选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1（3分）下列各数中，比4小的数是（）A2.5B5C0D2【解答】解：比4小的数是5，故选：B2（3分）我国倡导的“一带一路”地区覆盖的总人口为4400000000人，这个数用科学记数法表示为（）A
11、44108B4.4108C4.4109D441010【解答】解：4 400 000 000用科学记数法表示为：4.4109，故选：C3（3分）下列运算正确的是（）Aa3（a2）aB（a+1）2a2+1C（2a）24a2Da2+aa3【解答】解：A、原式a，符合题意；B、原式a2+2a+1，不符合题意；C、原式4a2，不符合题意；D、原式不能合并，不符合题意，故选：A4（3分）下列事件中，是随机事件的是（）A任意抛一枚图钉，钉尖着地B任意画一个三角形，其内角和是180oC通常加热到100时，水沸腾D太阳从东方升起【解答】解：A、任意抛一枚图钉，钉尖着地是随机事件；B、任意画一个三角形，其内角和是
12、180是必然事件；C、通常加热到100时，水沸腾是必然事件；D、太阳从东方升起是必然事件；故选：A5（3分）如图，直线ab，132，245，则3的度数是（）A77B97C103D113【解答】解：给图中各角标上序号，如图所示直线ab，4245，5451+3+5180，31803245103故选：C6（3分）已知一个组合体是由几个相同的正方体叠合在一起组成，该组合体的主视图与俯视图如图所示，则该组合体中正方体的个数最多是（）A10B9C8D7【解答】解：从俯视图可得最底层有5个小正方体，由主视图可得上面一层是2个，3个或4个小正方体，则组成这个几何体的小正方体的个数是7个或8个或9个，组成这个几
13、何体的小正方体的个数最多是9个故选：B7（3分）某公司全体职工的月工资如下：月工资（元）18000120008000600040002500200015001200人数1（总经理）2（副总经理）34102022126该公司月工资数据的众数为2000，中位数为2250，平均数为3115，极差为16800，公司的普通员工最关注的数据是（）A中位数和众数B平均数和众数C平均数和中位数D平均数和极差【解答】解：数据的极差为16800，较大，平均数不能反映数据的集中趋势，普通员工最关注的数据是中位数及众数，故选：A8（3分）钟面上的分针的长为1，从9点到9点15分，分针在钟面上扫过的面积是（）A18B1
14、4C12D【解答】解：从9点到9点15分分针扫过的扇形的圆心角是90，则分针在钟面上扫过的面积是：9012360=14故选：B9（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，过点E作EFBC于点F，AC5，CAB90，按以下步骤作图：分别以点A，F为圆心，大于12AF的长为半径作弧，两弧交于点P，Q，作直线PQ，若点B，E在直线PQ上，且AE：EC2：3，则BC的长为（）A26B35C8D13【解答】解：根据作图过程可知：PQ是AF的垂直平分线，AEEF，ABFB，AE：EC2：3，AC5，AE2，EC3，FC=32-22=5AB2+AC2BC2即BF2+25（BF+5）2解得B
15、F25BCBF+FC35则BC的长为35故选：B10（3分）如图，小明家到学校有两条路，一条沿北偏东45方向可直达学校前门，另一条从小明家一直往东，到商店处向正北走100米，到学校后门；若两条路程相等，学校南北走向，学校后门在小明家北偏东67.5处，学校前门到后门的距离是（）A100米B1002米C2002米D1003米【解答】解：由题意得CAB45，AB+100AC，cosCAB=22=ABAC，AB1002+100，BCAB1002+100，CD1002米故选：B11（3分）足球比赛中，每场比赛都要分出胜负每队胜1场得3分，负一场扣1分，某队在8场比赛中得到12分，若设该队胜的场数为x负的
16、场数为y，则可列方程组为（）Ax+y=83x-y=12Bx-y=83x-y=12Cx+y=183x+y=12Dx-y=83x+y=12【解答】解：设这个队胜x场，负y场，根据题意，得x+y=83x-y=12故选：A12（3分）定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A的正对记作sadA，即sadA底边：腰如图，在ABC中，ABAC，A2B则sinBsadA（）A12B1C2D2【解答】解：ABAC，BC，A2B，BC45，A90，BC=2AC，sinBsadA=ACBCBCAC=1，故选：B二填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13（3分）使二次根式1-12x有意义的x的取
17、值范围是x2【解答】解：二次根式1-12x有意义，1-12x0，解得：x2故答案为：x214（3分）分解因式：6xy29x2yy3y（3xy）2【解答】解：原式y（y26xy+9x2）y（3xy）2，故答案为：y（3xy）215（3分）对于有理数m，我们规定m表示不大于m的最大整数，例如1.21，33，2.53，若x+235，则整数x的取值是17，16，15【解答】解：m表示不大于m的最大整数，5x+23-4，解得：17x14，整数x为17，16，15，故答案为17，16，1516（3分）做任意抛掷一只纸杯的重复实验，部分数据如表抛掷次数50100500800150030005000杯口朝上的
18、频率0.10.150.20.210.220.220.22根据表，可估计任意抛掷一只纸杯，杯口朝上的概率约为0.22【解答】解：依题意得杯口朝上频率逐渐稳定在0.22左右，估计任意抛掷一只纸杯，杯口朝上的概率约为0.22故答案为：0.2217（3分）如图所示，DE为ABC的中位线，点F在DE上，且AFB90，若AB5，BC7，则EF的长为1【解答】解：DE是ABC的中位线，DE=12BC3.5，DEBC，AFB90，D为AB的中点，DF=12AB2.5，EFDEDF1，故答案为：118（3分）已知如图，直线y=23x分别与双曲线y=mx（m0，x0）、双曲线y=nx（n0，x0）交于点A，点B，
19、且BAOA=23，将直线y=23x向左平移6个单位长度后，与双曲线y=nx交于点C，若SABC4，则mn的值为100【解答】解：直线y=23x向左平移6个单位长度后的解析式为y=23（x+6），即y=23x+4，直线y=23x+4交y轴于E（0，4），作EFOB于F可得直线EF的解析式为y=-32x+4，由y=23xy=-32x+4，解得x=2413y=1613，即F（2413，1613）EF=(2413)2+(1613-4)2=121313，SABC4，12ABEF4，AB=2133，BAOA=23，OA=32AB=13，A（3，2），B（5，103），m6，n=503，mn100故答案为1
20、00三解答题（共8小题，满分66分）19（6分）计算：(-12)-1+132743-2cos30-|2-3|【解答】解：原式2+132743-232-（2-3）2+2-3-2+3220（6分）化简求值：(2x-1x+1-x+1)x-2x2+2x+1，其中x=2【解答】解：原式=2x-1-x2+1x+1(x+1)2x-2=x(2-x)1x+1x-2 x（x+1）x2x当x=2时，原式2-221（8分）某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动，为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、不合格四个等级进
21、行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图等级频数频率优秀2040%良好合格10m%不合格5n%请根据以上信息，解答下列问题：优秀良（1）本次调查随机抽取了50名学生；表中m20，n10；（2）补全条形统计图；（3）若全校有2000名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人【解答】 解：（1）本次调查随机抽取了2040%50名学生，1050=20%，550=10%，m20，n10，故答案为：50，20，10；（2）补全条形统计图如图所示；（3）200020+152040%=1400人，答：该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有1400人
22、22（8分）如图1，正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，H为CD边上一点，连接BH交AC于K；E为BH上一点，连接AE交BD于F（1）若AEBH于E，且CK=2，AD6，求AF的长；（2）如图2，若ABBE，且BEOEAO，求证：AE22OE【解答】解：（1）四边形ABCD是正方形ACBD，ACBDAOBO，AOBBOC90AEBHAEB90AFOBFEOAFOBKBOKAOFOKOFAD6AC=2AD62，AOCO32OKOFCOCK22AF=AO2+OF2=26AF的长为26（2）证明：过O作OMOE，交AE于点M，连接BMABBEBAMBEMEAOBEOBAOMEO45OME为等
23、腰直角三角形OEOMAOBMOE90BOMAOE又OMOE，AOBOBOMAOEAEOBMO45BMEBMO+OMEAEO+OME90BMAEABBEAMMEME=2OEAE22OE23（9分）某超市销售一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元销售，一个月能销售出500千克；销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：（1）每千克涨价x元，那么销售量表示为（50010x）千克，涨价后每千克利润为（10+x）元（用含x的代数式表示）（2）要使得月销售利润达到8000元，又要“薄利多销”，销售单价应定为多少？这时应进货多少千克？【解答】解
24、：（1）由题意可知：销售量为（50010x）千克，涨价后每千克利润为：50+x4010+x（千克）故答案是：（50010x）；（10+x）；（2）由题意可列方程：（10+x）（50010x）8000，整理，得：x240x+3000解得：x110，x230，因为又要“薄利多销”所以x30不符合题意，舍去x10符合题意此时50010x400答：销售单价应涨价10元，这时应进货400千克24（9分）【操作发现】如图（1），在OAB和OCD中，OAOB，OCOD，AOBCOD45，连接AC，BD交于点MAC与BD之间的数量关系为ACBD；AMB的度数为45；【类比探究】如图（2），在OAB和OCD中，
25、AOBCOD90，OABOCD30，连接AC，交BD的延长线于点M请计算ACBD的值及AMB的度数；【实际应用】如图（3），是一个由两个都含有30角的大小不同的直角三角板ABC、DCE组成的图形，其中ACBDCE90，AD30且D、E、B在同一直线上，CE1，BC=21，求点A、D之间的距离【解答】解：【操作发现】如图（1）中，设OA交BD于KAOBCOD45，COADOB，OAOB，OCOD，COADOB（SAS），ACDB，CAODBO，MKABKO，AMKBOK45，故答案为：ACBD，AMB45【类比探究】如图（2）中，在OAB和OCD中，AOBCOD90，OABOCD30，COADO
26、B，OC=3OD，OA=3OB，OCOD=OAOB，COAODB，ACBD=COOD=3，MAKOBK，AKMBKO，AMKBOK90【实际应用】如图31中，作CHBD于H，连接AD在RtDCE中，DCE90，CDE30，EC1，CEH60，CHE90，HCE30，EH=12EC=12，CH=32，在RtBCH中，BH=BC2-CH2=21-(32)2=92，BEBHEH4，DCAECB，AD：BECD：EC=3，AD43如图32中，连接AD，作 CHDE于H同法可得BH=92，EH=12，BE=92+12=5，DCAECB，AD：BECD：EC=3，AD5325（10分）设抛物线yax2+b
27、x2与x轴交于两个不同的点A（1，0）、B（m，0），与y轴交于点 C且ACB90（1）求抛物线的解析式（2）已知过点A的直线yx+1交抛物线于另一点E，且点D（1，3）在抛物线上问：在x轴上是否存在点P，使以点P、B、D为顶点的三角形与AEB相似？若存在，请求出所有符合要求的点P的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）令x0，得y2，C（0，2），ACB90，COAB，AOCCOB，OAOBOC2OB=OC2OA=41=4，m4，B（4，0），将A（1，0），B（4，0）代入yax2+bx2得a-b-2=016a+4b-2=0，解得a=12b=-32，抛物线的解析式为y=12x2-32
28、x2；（2）解y=12x2-32x-2y=x+1得，x=-1y=0，x=6y=7，E（6，7），过E作EHx轴于H，则H（6，0），AHEH7，EAH45，过D作DFx轴于F，则F（1，0），BFDF3DBF45，EAHDBF45，DBH135，90EBA135则点P只能在点B的左侧，有以下两种情况：若DBP1BAE，则BP1AB=BDAE，BP1=ABBDAE=53272=157OP14-157=137，P1（137，0）；若DBP2BAE，则BP2AE=BDAB，BP2=AEBDAB=72325=425OP2=425-4=225，P2（-225，0）综合、，得点P的坐标为：P1（137，0
29、）或P2（-225，0）26（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数ya（x1）（x5）（a0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于P点，过其顶点C作直线CHx轴于点H（1）若APB30，请直接写出满足条件的点P的坐标；（2）当APB最大时，请求出a的值；（3）点P、O、C、B能否在同一个圆上？若能，请求出a的值，若不能，请说明理由（4）若a=15，在对称轴HC上是否存在一点Q，使AQPABP？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）作PAB的外接圆D，连接DP、DA、DB，如图1DPDADB，C为抛物线顶点且CHx轴CH为抛物线对称轴，即
30、CH垂直平分ABD在直线CH上APB30ADB2APB60ABD是等边三角形当y0时，a（x1）（x5）0 解得：x11，x25A（1，0），B（5，0）DPDAAB4，H（3，0），直线CH：x3AH2，DH=3AH23D（3，23）设P（0，p）（p0）PD232+（23-p）242解得：p123+7，p223-7点P坐标为（0，23+7）或（0，23-7）（2）作PAB的外接圆E，连接EP、EA、EB，如图2AEB2APBAEB最大时，APB最大AB4是定值EH最小时，AEB最大，此时E与y轴相切于点PEPy轴于P四边形OHEP是矩形PEOH3EAPE3RtAEH中，EH=AE2-AH2
31、=32-22=5OPEH=5点P坐标为（0，5），代入抛物线解析式得：5a=5a=55（3）点P、O、C、B能在同一个圆上连接PB，取PB中点F，连接FO、FCPOB90OFPFFB=12PB点P、O、B在以点F为圆心、FB的长为半径的圆上若点C在F上，则FCFB抛物线解析式ya（x1）（x5）ax26ax+5aa（x3）24aP（0，5a），C（3，4a）B（5，0），F为PB中点F（52，5a2）FC2（52-3）2+（5a2+4a）2=14+169a24，FB2（52-5）2+（5a2）2=254+25a2414+169a24=254+25a24解得：a1=66，a2=-66（舍去）a的值为66（4）对称轴HC上存在一点Q，使AQPABP作PAB的外接圆G，连接GP、GA，设G与直线CH交于点QAQPABP当a=15时，点P（0，1）设G（3，b）（b0）GP232+（b1）2，GA2（31）2+b2GPGA32+（b1）2（31）2+b2解得：b3G（3，3），GQGA=32+22=13点Q坐标为（3，3+13）或（3，3-13）
