1、2020年高考数学（文科）全国2卷高考模拟试卷（9）一选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1（5分）设全集U是实数集R，Mx|x24，Nx|1x3，则图中阴影部分所表示的集合是（）Ax|2x1Bx|2x2Cx|2x3Dx|1x22（5分）设i为虚数单位，复数z=2+3ii，则z的共轭复数是（）A32iB3+2iC32iD3+2i3（5分）已知向量a=(1，2)，b=(-1，1)，c=(m，2)，且(a-2b)c，则实数m（）A1B0C1D任意实数4（5分）在等差数列an中，若a34，S824，则a6（）A2B3C4D55（5分）sin3，cos（sin2），tan（cos3）的大小关系
2、是（）Acos（sin2）sin3tan（cos3）Bcos（sin2）tan（cos3）sin3Csin3cos（sin2）tan（cos3）Dtan（cos3）sin3cos（sin2）6（5分）若Ax|xb，bR），Bx|1x2，则BA的一个充分不必要条件是（）Ab2B1b2Cb1Db27（5分）已知a，b是两条直线，是三个平面，则下列命题正确的是（）A若a，b，ab，则B若，a，则aC若，a，则aD若，a，则a8（5分）直线l：ykx1与曲线C：（x2+y24x+3）y0有且仅有2个不同的交点，则实数k的取值范围是（）A(0，43)B(0，43C13，1，43D13，19（5分）甲、乙
3、、丙三人玩“石头、剪刀、布”游戏（石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头），需要淘汰两人，一人胜出现三人同时随机出拳，则游戏只进行一回合就结束的概率是（）A127B19C13D2310（5分）过双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）的右焦点F作直线y=-bax的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若FB=2FA，则该双曲线的离心率为（）A3B2C5D711（5分）已知三棱锥DABC的四个顶点在球O的球面上，若ABACBCDBDC1，当三棱锥DABC的体积取到最大值时，球O的表面积为（）A53B2C5D20312（5分）已知函数f（x）=log4(x+1)+x-1(x0)x-(14)x+1+3(x0
4、)，若f（x）的两个零点分别为x1，x2，则|x1x2|（）A2B1+22C2D32+ln2二填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）已知O是坐标原点，点A（1，1）若点M（x，y）为平面区域x+y2x1y2上的一个动点，则OAOM的取值范围是 14（5分）设数列an是公差不为0的等差数列，Sn为数列an前n项和，若a12+a22a32+a42，S55，则an的值为 15（5分）在log30.6，log25，30.4这3个数中，最大的是 16（5分）已知定义在（0，）的函数f（x）满足f（x）sinxf（x）cosx0恒成立（其中f（x）是函数f（x）的导函数），则不等式f（x）
5、2f（6）sinx0的解集为 三解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3a=3bcosC+csinB（1）求角B的值；（2）若b2，且ABC的面积为3，求ABC的周长18（12分）如图所示的几何体中，ABCA1B1C1为三棱柱，且AA1平面ABC，AA1AC，四边形ABCD为平行四边形，AD2CD，ADC60（1）求证：AB平面ACC1A1；（2）若CD2，求四棱锥C1A1B1CD的体积19（12分）为了进一步推动全市学习型党组织、学习型社会建设，某市组织开展“学习强国”知识测试，每人测试文化、经济两个项目，每个项目满分
6、均为60分从全体测试人员中随机抽取了100人，分别统计他们文化、经济两个项目的测试成绩，得到文化项目测试成绩的频数分布表和经济项目测试成绩的频率分布直方图如下：经济项目测试成绩频率分布直方图分数区间频数0，10）210，20）320，30）530，40）1540，50）4050，6035文化项目测试成绩频数分布表将测试人员的成绩划分为三个等级如下：分数在区间0，30）内为一般，分数在区间30，50）内为良好，分数在区间50，60内为优秀（1）在抽取的100人中，经济项目等级为优秀的测试人员中女生有14人，经济项目等级为一般或良好的测试人员中女生有34人填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95
7、%以上的把握认为“经济项目等级为优秀”与性别有关？优秀一般或良好合计男生数女生数合计（2）用这100人的样本估计总体（i）求该市文化项目测试成绩中位数的估计值（ii）对该市文化项目、经济项目的学习成绩进行评价附：P（K2k）0.1500.0500.010k2.0723.8416.635K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e=22，且过点(22，32)（1）求椭圆C的方程；（2）如图，过椭圆C的右焦点F作两条相互垂直的直线AB，DE交椭圆分别于A，B，D，E，且满足AM=12AB，DN=12DE，求MN
8、F面积的最大值21（12分）已知椭圆C：x2a2+y23=1(a10)的右焦点F在圆D：（x2）2+y21上，直线l：xmy+3（m0）交椭圆于M、N两点（）求椭圆C的方程；（）若OMON（O为坐标原点），求m的值；（）若点P的坐标是（4，0），试问PMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由四解答题（共2小题，满分10分）22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=1+cosy=sin（为参数）以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为1，直线l的极坐标方程为=4(R)（1）求：曲线C1的普通方程；曲线C2与直线l交点
9、的直角坐标；（2）设点M的极坐标为(6，3)，点N是曲线C1上的点，求MON面积的最大值23已知f（x）|2x1|+|x+2|（1）求不等式f（x）5的解集；（2）若x1，+）时，f（x）kx+k，求k的取值范围2020年高考数学（文科）全国2卷高考模拟试卷（9）参考答案与试题解析一选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1（5分）设全集U是实数集R，Mx|x24，Nx|1x3，则图中阴影部分所表示的集合是（）Ax|2x1Bx|2x2Cx|2x3Dx|1x2【解答】解：由韦恩图可知，图中阴影部分所表示的集合是NUM，全集U是实数集R，Mx|x24x|2x2，UMx|x2或x2，NUMx|2
10、x3，故选：C2（5分）设i为虚数单位，复数z=2+3ii，则z的共轭复数是（）A32iB3+2iC32iD3+2i【解答】解：z=2+3ii=(2+3i)(-i)-i2=3-2i，z=3+2i故选：B3（5分）已知向量a=(1，2)，b=(-1，1)，c=(m，2)，且(a-2b)c，则实数m（）A1B0C1D任意实数【解答】解：向量a=(1，2)，b=(-1，1)，c=(m，2)，且(a-2b)c，（a-2b）c=（3，0）（m，2）3m+00，则实数m0，故选：B4（5分）在等差数列an中，若a34，S824，则a6（）A2B3C4D5【解答】解：设等差数列an的首项为a1，公差为d，由
11、a34，S824，得a1+2d=48a1+872d=24，解得a1=163d=-23a6=a1+5d=163-103=2故选：A5（5分）sin3，cos（sin2），tan（cos3）的大小关系是（）Acos（sin2）sin3tan（cos3）Bcos（sin2）tan（cos3）sin3Csin3cos（sin2）tan（cos3）Dtan（cos3）sin3cos（sin2）【解答】解：因为23；1cos30tan（cos3）0；220sin21cos（sin2）cos1cos3=12；5630sin312；即：cos（sin2）sin3tan（cos3）；故选：A6（5分）若Ax|x
12、b，bR），Bx|1x2，则BA的一个充分不必要条件是（）Ab2B1b2Cb1Db2【解答】解：Ax|xb，bR），Bx|1x2，BA，b1；设Pb|b1，BA的一个充分不必要条件是Q，则QP；只有D符合条件，b|b2b|b1，故选：D7（5分）已知a，b是两条直线，是三个平面，则下列命题正确的是（）A若a，b，ab，则B若，a，则aC若，a，则aD若，a，则a【解答】解：A若a，b，ab，则，不正确，可能相交；B若，a，则a或a，因此不正确；C若，a，则a，正确；证明：设b，c，取P，过点P分别作mb，nc，则m，n，ma，na，又mnP，aD若，a，则a或a故选：C8（5分）直线l：ykx
13、1与曲线C：（x2+y24x+3）y0有且仅有2个不同的交点，则实数k的取值范围是（）A(0，43)B(0，43C13，1，43D13，1【解答】解：如图所示，直线ykx1过定点A（0，1），直线y0和圆（x2）2+y21相交于B，C两点，圆（x2）2+y21的圆心O（2，0），半径r1，kAB=0-(-1)3-0=13，kAC=0-(-1)1-0=1，过A（0，1）作圆O的切线AE、AD，切点分别为E，D，连结AO，由题意E（2，1），设OAE，则DAE2，kAOtan=0+12-0=12，kADtan2=2tan1-tan2=2121-14=43，直线l：ykx1与曲线C：x2+y24x+
14、30有且仅有2个公共点，结合图形得k=13，或k1，或k=43，实数k的取值范围是13，1，43故选：C9（5分）甲、乙、丙三人玩“石头、剪刀、布”游戏（石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头），需要淘汰两人，一人胜出现三人同时随机出拳，则游戏只进行一回合就结束的概率是（）A127B19C13D23【解答】解：三人同时随机出拳的所有出法有33327种，游戏只进行一回合就结束的的可能的甲乙丙的可能情况是3人中一人出石头，其他两人出剪刀，有3种结果；3人中一人出剪刀，其他两人出布，有3种结果；3人中一人出布，其他两人剪刀，有3种结果，故满足条件的可能结果一共9种情况，由古典概率的计算公式可得P=927=1
15、3故选：C10（5分）过双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）的右焦点F作直线y=-bax的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若FB=2FA，则该双曲线的离心率为（）A3B2C5D7【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y=ab（xc）代入双曲线渐近线方程y=-bax得A（a2c，-abc），由FB=2FA，可得B（-c2+2a23c，-2ab3c），把B点坐标代入双曲线方程x2a2-y2b2=1，即(c2+2a2)29c2a2-4a29c2=1，整理可得c=5a，即离心率e=ca=5故选：C11（5分）已知三棱锥DABC的四个顶点在球O的球面上，若ABACBCDBDC1，当三棱
16、锥DABC的体积取到最大值时，球O的表面积为（）A53B2C5D203【解答】解：如图，当三棱锥DABC的体积取到最大值时，则平面ABC平面DBC，取BC的中点G，连接AG，DG，则AGBC，DGBC分别取ABC与DBC的外心E，F，分别过E，F作平面ABC与平面DBC的垂线，相交于O，则O为四面体ABCD的球心，由ABACBCDBDC1，得正方形OEGF的边长为36，则OG=66四面体ABCD的外接球的半径R=OG2+BG2=(66)2+(12)2=512球O的表面积为=4(512)2=53，故选：A12（5分）已知函数f（x）=log4(x+1)+x-1(x0)x-(14)x+1+3(x0
17、)，若f（x）的两个零点分别为x1，x2，则|x1x2|（）A2B1+22C2D32+ln2【解答】解：当x0时，f（x）log4（x+1）+x1，由f（x）0，可得x1=-log4(x+1)=log14(x+1)；当x0时，f（x）x-(14)x+1+3，由f（x）0，可得(14)x+1=x+3作出函数图象如图：函数y=log14x与y=(14)x互为反函数，则其图象关于直线yx对称，而y=log14(x+1)与y=(14)x+1分别是把y=log14x与y=(14)x向左平移1个单位得到的，两函数图象关于直线yx+1对称，又直线yx1与yx+3也关于直线yx+1对称，不妨设yx+3（x0）
18、与y=(14)x+1的交点的横坐标为x1，yx1（x0）与y=log14(x+1)的交点的横坐标为x2，则|x1x2|=|AB|2=42=2故选：C二填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）已知O是坐标原点，点A（1，1）若点M（x，y）为平面区域x+y2x1y2上的一个动点，则OAOM的取值范围是0，2【解答】解：满足约束条件x+y2x1y2的平面区域如下图所示：将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式当x1，y1时，OAOM=-11+110当x1，y2时，OAOM=-11+121当x0，y2时，OAOM=-10+122故OAOM和取值范围为0，2故答案为：0，214
19、（5分）设数列an是公差不为0的等差数列，Sn为数列an前n项和，若a12+a22a32+a42，S55，则an的值为2n5【解答】解：数列an是公差不为0的等差数列，Sn为数列an前n项和，a12+a22a32+a42，S55，a12+(a1+d)2=(a1+2d)2+(a1+3d)25a1+542d=5，解得a13，d2，an3+（n1）22n5故答案为：2n515（5分）在log30.6，log25，30.4这3个数中，最大的是log25【解答】解：log30.6log310，log30.60，log25log242，log252，3030.430.5=3，130.43，在log30.6
20、，log25，30.4这3个数中，最大的是log25，故答案为：log2516（5分）已知定义在（0，）的函数f（x）满足f（x）sinxf（x）cosx0恒成立（其中f（x）是函数f（x）的导函数），则不等式f（x）2f（6）sinx0的解集为（6，）【解答】解：令g（x）=f(x)sinx，则g（x）=f(x)sinx-f(x)cosxsin2x，当x（0，）时，f（x）sinxf（x）cosx0，g（x）0，即g（x）在（0，）上递增，不等式f（x）2f（6）sinx0等价于f(x)sinxf(6)12=f(6)sin6，g（x）g（6），6x，故不等式的解集为（6，），故答案为：（6，
21、）三解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3a=3bcosC+csinB（1）求角B的值；（2）若b2，且ABC的面积为3，求ABC的周长【解答】解：（1）由正弦定理及已知，化边为角得3sinA=3sinBcosC+sinCsinBA+B+C，sinAsin（B+C），代入得3sinBcosC+3cosBsinC=3sinBcosC+sinCsinB，3cosBsinC=sinCsinB0C，sinC0，tanB=3，又0B，B=3（2）SABC=12acsinB=34ac=3，ac4由余弦定理，得b2a2+c22acc
22、osB（a+c）23ac，（a+c）2b2+3ac16，a+c4，ABC的周长为618（12分）如图所示的几何体中，ABCA1B1C1为三棱柱，且AA1平面ABC，AA1AC，四边形ABCD为平行四边形，AD2CD，ADC60（1）求证：AB平面ACC1A1；（2）若CD2，求四棱锥C1A1B1CD的体积【解答】解：（1）证明：四边形ABCD为平行四边形，AD2CD，ADC60ACDBAC90，ABAC，几何体中，ABCA1B1C1为三棱柱，且AA1平面ABC，ABAA1，ACAA1A，AB平面ACC1A1（2）解：连结A1C，AB平面ACC1A1，CDAB，CD平面CC1A1，四棱锥C1A1
23、B1CD的体积：V=VD-CC1A1+VC-A1B1C1=13CDSA1C1C+13CC1SA1B1C1 =132122323+132312223 819（12分）为了进一步推动全市学习型党组织、学习型社会建设，某市组织开展“学习强国”知识测试，每人测试文化、经济两个项目，每个项目满分均为60分从全体测试人员中随机抽取了100人，分别统计他们文化、经济两个项目的测试成绩，得到文化项目测试成绩的频数分布表和经济项目测试成绩的频率分布直方图如下：经济项目测试成绩频率分布直方图分数区间频数0，10）210，20）320，30）530，40）1540，50）4050，6035文化项目测试成绩频数分布表
24、将测试人员的成绩划分为三个等级如下：分数在区间0，30）内为一般，分数在区间30，50）内为良好，分数在区间50，60内为优秀（1）在抽取的100人中，经济项目等级为优秀的测试人员中女生有14人，经济项目等级为一般或良好的测试人员中女生有34人填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%以上的把握认为“经济项目等级为优秀”与性别有关？优秀一般或良好合计男生数女生数合计（2）用这100人的样本估计总体（i）求该市文化项目测试成绩中位数的估计值（ii）对该市文化项目、经济项目的学习成绩进行评价附：P（K2k）0.1500.0500.010k2.0723.8416.635K2=n(ad-bc)2(a
25、+b)(c+d)(a+c)(b+d)【解答】解：（1）由频率分布直方图，得经济项目等级为优秀人数为0.410040其中女生数为14人，男生数为26人；经济项目等级为一般或良好的60名测试人员中，女生数为34人，男生数为26人作出22列联表如下；优秀一般或良好合计男生数262652女生数143448合计4060100计算K2=100(2634-2614)2406048524.514，由于4.5143.841，所以有95%以上的把握认为“经济项目等级为优秀”与性别有关；（2）（i）由频数分布表知，文化项目测试成绩低于4（0分）的频率为0.250.5，测试成绩低于5（0分）的频率为0.650.5；所
26、以该市文化项目测试成绩中位数的估计值为40+0.5-0.250.410=46.25；（ii）由频率分布直方图知，经济项目测试成绩低于40分的频率为0.40.5，测试成绩低于50分的频率为0.60.5，所以该市文化项目测试成绩中位数的估计值为40+0.5-0.40.210=45；因为46.2545，所以该市文化项目学习成绩的更好文化项目测试成绩良好率估计值为0.9，经济项目测试成绩良好率估计值为0.8，0.90.8，所以该市文化项目学习成绩的更好文化项目测试成绩平均数的估计值为1100(25+315+525+1535+4045+3555)=44.3；经济项目测试成绩平均数的估计值为50.03+1
27、50.05+250.12+350.2+450.2+550.441.9；因为44.341.9，所以该市文化项目学习成绩的更好文化项目测试成绩优秀率估计值为0.35，经济项目测试成绩优秀率估计值为0.4，0.350.4，所以该市对经济项目学习研究的更深入该市文化项目测试成绩众数的估计值为45分，经济项目测试成绩众数的估计值为55分因为4555，所以该市对经济项目学习研究的更深入20（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e=22，且过点(22，32)（1）求椭圆C的方程；（2）如图，过椭圆C的右焦点F作两条相互垂直的直线AB，DE交椭圆分别于A，B，D，E，且满足AM=12A
28、B，DN=12DE，求MNF面积的最大值【解答】解：（1）根据条件有a2=2b212a2+34b2=1，解得a22，b21，所以椭圆C：x22+y2=1（2）根据AM=12AB，CN=12CD可知，M，N分别为AB，DE的中点，且直线AB，DE斜率均存在且不为0，现设点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为xmy+1，不妨设m0，联立椭圆C有（m2+2）y2+2my10，根据韦达定理得：y1+y2=-2mm2+2，x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2，M(2m2+2，-mm2+2)，|MF|=mm2+1m2+2，同理可得|NF|=|-1m|(-1m)2+1(-1m)2+2
29、，所以MNF面积SMNF=12|MF|NF|=m+1m4(m+1m)2+2，现令t=m+1m2，那么SMNF=t4t2+2=14t+2t19，所以当t2，m1时，MNF的面积取得最大值1921（12分）已知椭圆C：x2a2+y23=1(a10)的右焦点F在圆D：（x2）2+y21上，直线l：xmy+3（m0）交椭圆于M、N两点（）求椭圆C的方程；（）若OMON（O为坐标原点），求m的值；（）若点P的坐标是（4，0），试问PMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由【解答】解：（I）由圆D：（x2）2+y21上可得：圆心（2，0），半径r1令y0得（x2）21，解得x
30、3或1椭圆的半焦距c3或1，但是当c1时，a=3+110，故舍去c3，a2b2+c23+3212故椭圆的方程为x212+y23=1（II）设M（x1，y1），N（x2，y2）联立x=my+3x2+4y2=12化为（m2+4）y2+6my30，y1+y2=-6mm2+4，y1y2=-3m2+4x1x2=m2y1y2+3m(y1+y2)+9=-3m2m2+4+-18m2m2+4+9=36-12m2m2+4OMON，OMON=0x1x2+y1y20，36-12m2-3m2+4=0，m2=114，解得m=112为定值（III）直线l过椭圆的右焦点F（3，0），SPMN=12|FP|y1-y2|FP|4
31、31利用（II）可得SPMN=12(y1+y2)2-4y1y2=1236m2(m2+4)2+12(m2+4)(m2+4)2=23m2+1(m2+4)2=231(m2+1)+9m2+1+623112=1当且仅当m2+13，即m=2时等号成立故PMN的面积存在最大值1四解答题（共2小题，满分10分）22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=1+cosy=sin（为参数）以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为1，直线l的极坐标方程为=4(R)（1）求：曲线C1的普通方程；曲线C2与直线l交点的直角坐标；（2）设点M的极坐标为(6，3)，点N是曲线C
32、1上的点，求MON面积的最大值【解答】解：（1）因为x=1+cosy=sin，又sin2+cos21，所以（x1）2+y21，即曲线C1的的普通方程为（x1）2+y21；由2x2+y2得曲线C2的直角坐标方程为x2+y21，又直线l的直角坐标方程为xy0，所以x2+y2=1x-y=0x1=22y1=22或x2=-22y2=-22，所以曲线C2与直线l的交点的直角坐标为(22，22)和(-22，-22)（2）设N（，），又由曲线C1的普通方程为（x1）2+y21得其极坐标方程2cosMON的面积S=12|OM|ON|sinMON=12|6sin(3-)|=|6cossin(3-)|=|3sin(
33、3-2)+332|=|3cos(2+6)+332|所以当=2312或=1112时，(SMON)max=3+33223已知f（x）|2x1|+|x+2|（1）求不等式f（x）5的解集；（2）若x1，+）时，f（x）kx+k，求k的取值范围【解答】解：（1）由f（x）|2x1|+|x+2|，不等式f（x）5等价于|2x1|+|x+2|5，可化为x-2-2x+1-x-25，或-2x12-2x+1+x+25，或x122x-1+x+25；解得2x43，所以不等式f（x）5的解集是x|2x43；（2）当x1时，f（1）40成立，kR；当1x12时，f（x）x+3，所以x+3k（x+1），即k3-xx+1=4x+1-1，所以k53；当x12时，f（x）3x+1，所以3x+1k（x+1），即k3x+1x+1=3-2x+1，所以k53；综上知，k的取值范围是（，53
