1、上海市高二第一学期数学期中考试试卷（满分： 100 分考试时间： 90 分钟）一二解 答 题题 号总分1-1213-161718192021得 分一、填空题（本大题满分36 分）本大题共有12 题，只要求直接填写结果，每小题填对得 3分，否则一律得零分 .1. 已知 a1, 3，则 a.2. 方程组x2 y3 x2 y1的增广矩阵为.01013.行列式213中3 的代数余子式的值为 .131an 2n14. 已知 aR，若 lim21 , 则 a n2n3n13n4 n5. limn 1n 1n346. 若首项为2 的无穷等比数列an的各项的和为10，则公比 q .7. 已知 a3 ， b4
2、， ab5 ，则 a 与 b 的夹角为.8. 已知 a1,2， bm,4， a | 2 ab ，则实数 m 的值为 .9. 设向量 a3,0， b2,6，则 b 在 a 上的投影为 .10. 已知数列 a 是首项为 1，公差为 2 的等差数列，S 是其前 n 项和，则limSn an11. 已知向量 a ， b 是同一平面内的两个向量，其中实数的取值范围是 .na1,2 ， b1,1n2n， a 与 ab 的夹角为锐角，则12. 如图所示：矩形A B P Q 的一边A B 在 x 轴上，另两个顶点P ,Q 在函数f ( x)2 x( x0) 的图nnnnnnnn1x2像 上 （ 其 中 点l
3、i mSn =.nBn 的 坐 标 为n,0(n2, nN* )） ， 矩 形An BnPnQn 的 面 积 记 为Sn ， 则二、选择题（本大题满分12 分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A、B、C、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的.13. 下列命题中，真命题为（）（A）若 a0 ，则 a0 ；（ B）若 ab ， 则 ab 或 ab ；（C）若 a 与 b 是平行的向量，则a 与 b 是相等的向量；（D）若 b1(1)na ，则 ab0 14. 数列an的通项公式是an，则此数列（）2（A）有极限，其值是整数；（ B）有极限，其值是分数；（C）有两个极限；（ D） limn
4、an 不存在15. 在数列a中， a111111，则 a（）nn2342nk 112n1(A)ak(B)11ak2k12k22k4(C)a1k2k2(D)a11k2 k12k216. 有下列四个命题：2若 lim annA 2 ，则lim annA ； 若 an0 ， lim annA ，则 A0 ；若 lim ab0 ，则limalim b；若lim aA ，则2lim aA 2 .nnnnnnnnnnn其中正确命题的个数是（）（A） 1 个（ B） 2 个（ C） 3 个（D） 4 个三、解答题（本大题满分52 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17. （本题满分10
5、 分）已知 A(3,4), B(5,10)， O 为坐标原点，(1) 求向量 AB 的坐标及AB ；(2) 若 OCOAOB ，求与 OC 同向的单位向量的坐标18. （本题满分10 分）用行列式的方法解关于x、y 的二元一次方程组mxy1 3mxmy2m，并对解的情况进行讨论.319. （本题满分10 分 ） 已知 O 为坐标原点，OA3,4， OB6,3， OC5m,3m.（1） 若 A， B， C 三点共线，求m 的值；（2） 若 ABC 是以角 A 为直角顶点的直角三角形，求m 的值以及此时三角形的面积.20（本题满分10 分）已知等比数列 a ，首项为a ，公比为 q ， lim(a
6、1qn )1 ，求首项a 的取值范围 .n1n1q2121. （本题满分12 分）已知点的序列Anxn ,0 , nN*,，其中 x10, x2aa0 , ，A3 是线段A1A2 的中点，A4 是线段A2 A3的中点，An 是线段An 2 An1 的中点，（1） 写出xn 与 xn1, xn2 之间的关系式n3 ；（2） 设 anxn 1xn ，计算a1, a2 ,a3 , 由此推测数列an的通项公式，并加以证明.第一学期高二数学期中考试试卷答案及评分细则注：填空题结果只要等价就得分；解答题其他解法相应给分。一、填空题：1.102.12132013.54. 25.446.7.5218. 29.
7、 210.411.5 ,00,312.2二、选择题：13. A14. D15. D16. A三、解答题：17. 解：（1）AB8,62 分AB8262104 分（2）OCOAOB3,45,102,146 分OC22(14)21028 分与OC同向的单位向量 nOC2 ,7210 分OC101018. 解：m111由已知可得：Dm( m3mm3) ，Dx2m3( m3) ，mm1Dy3m2m32m( m3)3 分xDx1当 D0 ，即 m0且m3 时，方程组有唯一解Dm ；6 分D yy2D当 D0 ，即 m0 时， Dx0 ，方程组无解；8 分当 D0 ，即 m3 时， DxDy0 ，方程组有
8、无穷多解xt13.10 分yt19. 解：由已知得，ABOBOA6,33,43,1，1 分ACOCOA5m,3m3,42m,1m，2 分A、B、C 三点共线AB | | AC3 分3(1m)2m,2 m1m14 分2（2）ABC 是以角 A 为直角顶点的直角三角形ABAC=05 分3，12m,1m3 2m1m74m06 分7即 m7 分4AB108 分22AC1319109 分44164SRt BAC1 ABAC11010510 分20. 解：2244由题意可知，limnqn 一定存在，则0q1或 q1 .2 分当 q1时，lim(a1qn )a111 ，则 a3.4 分1n1q22当 0q1
9、 时 ，lim(a1qn )a11， 则 2a11q ， 02a111 ， 解 得 0a11 且n1q1q21a1.8 分2综上， a1110,132210 分21.解：（1）2xnxn 1xn 2 , n3.4 分（2）aa, a1 a, a1 a.5 分12324推测 an(1 ) n 1 a,nN *2.7 分用数学归纳法证明(1)当n1时, a1(1) 0 aa, 等式成立； .8分2（2）假设nk时, ak(1 )k21 a等式成立 ,anxn 1xnak 1又xxk 2xk 11k 2 =( xk 12xk )x1 ( xx )x1 ( xx)k 2k 1kk 1kk 122111
10、1 kak()a(1 ) k 1 1 a等式也成立 .11分n2222由（）1( 2）可得，对一切nN * , 等式 a(1) n21 a都成立。 .12分高二年级第一学期期中考试数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分第 I 卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.x2（1） 若集合A x |12x13, B x |0 ，则 AB 等于x（ A） x | 0x1（B） x | 0x1（ C） x | 0x2（ D） x |1x0（2） 在等差数列 an 中， a11,a37 ，当 an298 时，则序号n 等于
11、（ A） 101（B） 100（ C） 99（ D） 96（3） 在ABC 中，若 a15,b20, A30o ，则 cosB（ A）53（ B）535（ C）32（ D）3（4） 已知方程( x2mx2)( x2nx2)0 的四个根组成以4 为末项的等比数列，则m等于n（ A） 32（B） 3 或 223（ C） 23（ D）以上都不对（5） 在ABC 中，若a cosAbcosB ， C600 ，则ABC 的形状为（ A）等腰三角形或直角三角形（ B）直角三角形（ C）等腰三角形（ D）等边三角形（6） 设变量x, y 满足约束条件y xxy1，则目标函数z y12 xy（ A）有最小值3
12、 ，最大值 3（ B）有最小值3 ，无最大值（ C）有最大值3，无最小值（ D）既无最小值，也无最大值（7） 在ABC 中，a, b, c 分别为三个内角A, B, C 所对的边 , 设向量 m(bc, ca),n(b,ca) ，若向量 mn ，则角 A 的大小为（ A）6（B）3（ C）2（ D） 23（8） 在ABC 中，角A, B, C 所对的边分别为a,b, c ， a1,B，当 S ABC33 时，tan C 等于（ A）23（ B）2（ C）3（D）3（9） 已知正项等差数列an的前 n 项和为Sn ，若 S23 ，则2a12a2的最小值是（ A） 6（ B） 26（ C） 8（
13、D） 42（10） 已知 a 是等比数列，a2,a1 ，则 a aa aa an（ A） 16(14 n )25（ B） 16(12 n )1 22332（ C）(143nn 1n )432n（ D）(12)3（11） 设正实数x, y, z满足 x223xy4 yz 0 ，则当 xyz取得最大值时，212xyz的最大值为（ A） 0（ B） 94（ C） 1（ D） 3（12） 若a,b 是函数f ( x)x2pxq( p0, q0) 的两个不同的零点，且a,b,2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq的值等于（ A） 6（ B） 7（C） 8（ D） 9第 II
14、卷二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分.（13） 设数列 an 满足， an11(n1) ， a58，则 a1.an 15（ 14 ）设ABC 的内角A, B,C 所对边的长分别为a,b, c . 若 bc2a,3sin A5sinB ，则角C .（15） 已知数列an的通项公式为an2n10 ，Sn 是|an | 的前 n 项和，则S9 =.（16） 定义符号函数sgn x1, x00, x01, x0, 则当 xR时，不等式x2(2 x1)sgnx 的解集是.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12 分）已知关于 x 的不等式（ I ）求 a 的值；
15、ax25 x20 的解集是 x | 12x2 .（ II ）求关于 x 的不等式ax 25 xa 210 的解集 .（18）（本小题满分12 分）在ABC 中，已知A450 ,C300 , c10cm .（ I ）求 a （结果保留根号）；（ II ）求ABC 的面积（结果保留根号）.（19）（本小题满分12 分）已知数列 an 是等差数列， bn 是等比数列，且a1（ I ）求数列 an 和 bn 的通项公式；b12 ， b454 ， a1a2a3b2b3 （ II ）数列 cn 满足 cnanbn ，求数列 cn 的前 n 项和Sn （20）（本小题满分12 分）在ABC 中，设角sin
16、Asin B .(I) 求角 C 的大小；A, B,C 的对边分别为a, b, c ，已知sin 2 Asin 2 Bsin2 C(II) 若 c3 ，求ABC 周长的取值范围（21）（本小题满分12 分）数列 an 是公差大于0 的等差数列，a1f ( x1) ，a20 ， a3f (x1) ，其中已知函数f ( x)x24 x2 .（ I ）求数列 an 的通项公式 ;（ II ）记 bnan5 ， Sn 为数列 bn 的前 n 项和，求111.S1S2Sn（22）（本小题满分10 分）已知函数f ( x)exe x ，其中 e 是自然对数的底数(I) 证明：f ( x)是 R 上的偶函数
17、(II) 若关于 x 的不等式mf ( x)e xm1 在 (0,) 上恒成立，求实数m 的取值范围高二年级第一学期期中考试数学试题参考答案一、选择题（1）【答案】A（必修5金版学案第65 页思考尝试2）（2）【答案】B（必修5 课本 67 页练习第1 题改编）（3） 【答案】（4） 【答案】CB（必修5金版学案第44 页 A3 改编）（5）【答案】D（必修5 课本 10 页 B 组练习第2 题改编）（6）【答案】A（必修5 课本第 91 页练习第1 题改编）（7）【答案】B（8）【答案】A（必修5金版学案第19 页 A4）（9）【答案】D（必修5金版学案第80 页思考尝试3 改编）（10）
18、【答案】 Cxyxy1x4y2（11） 【答案】 选C.z x2 3xy 4y2 xy 34y1，当且仅当xy x ，即 x 2y 时等号成立， 此时 z 2y ，2122112则xy z yy2y 111.（12） 【答案】 D二、填空题（13）（必修5 课本第 31 页例 3 改编）【答案】a11（14） 【答案】 2由 3sinA 5sinB，得 3a5b. 又因为 b c2a，所以 a 5b， c 7b，33352272所以 cosCa2b2 c22ab（ 3b） b （ 3b）51 2.2 3b b2 因为 C(0 ， ) ，所以 C 3 .（15） 【答案】 40（金版学案第35
19、页 A 组第 8 题改编）（16） 【答案】x 3433 x 3解析：当x 0 时，不等式化为x 2 2x1，解得 x 3，即 0 x 3； 当 x0 时，不等式恒成立；当 x0 时，不等式化为x 2 (2 x 1) 1，即 2x2 3x 3 0，解得3334 x 3334，即3334 x0.综上可知，不等式的解集为x 34三、解答题33 x 3 .（17） 解：（ 1）依题意，可知方程ax 25 x20 的两个实数根为1和 2，2由韦达定理得：125，解得： a2 . 6 分（ 2） a2a2 时，原不等式可化为2 x25 x30解得3x12故不等式的解集为1(3,) 12 分2（18）（必
20、修5 课本第 4 页练习第1 题的第一小题改编）解：（）由正弦定理，得ac2 分csin Aasin A10sin 4500sinC102（ cm ）5 分sinCsin 30（）法一：0B1800AC1056 分sin Bsin105 0sin(60 045 0 )sin 600 cos 450cos 600 sin 4506429 分S ABC1 ac sin B1102106225(31) （ cm2 ） 12 分224法二：由余弦定理，得a 2b 2c22bc cos A 6 分即 (102) 2b 210220b cos 450化简得b2102b10008 分解得 b5(26) 或
21、b5(26) （舍去）9 分1112S ABCabsinC1025(26)25(31) （ cm） 12 分41222（19）解：（）设an的公差为 d ，bn的公比为 q ，由bb q3 ，得q35427 ，2从而 q3 ，因此 bn2 3n1， 3 分又 a1a2a33a2b2b361824 ，a28 ， da2a16 ，故 an6n4, bn2 3n 16 分（）cnanbn4 (3n2) 3n 1令Tn130431732(3n5)3n 2(3n2)3n 1123n 1n则 3Tn134373(3n5)3(3n2)39 分两式相减得2Tn133133233n 1(3n2) 3n7(6n7
22、)3n22nT73 (6n7)S4T7(6 n7)3nn，故nn4412 分(20) 解:(1)由正弦定理及sin2 Asin 2 Bsin 2 Csin Asin B ，222由正弦定理得a b c ab，2 分a2 b2 c2 ab1由余弦定理得cos C22ab2ab 2，4 分又 0C ， C3 . 6 分(2) 由正弦定理得abcsin 2，AsinBsinC a 2sinA， b 2sinB，8 分则 ABC的周长为L ab c 2(sinAsinB) 3 2 sinA sin3 A3 2sinA 33. 10 分 30A ， A3 2 3 3 ，3 2 sinA31，32 30)
23、 ，则 t 1，t 111所以 m t 2 t t 1 t1对任意 t 1 成立6 分 1 111因为 t 1 t 112（ t 1） t 1 3，8 分1所以111，9 分3t 1 t 1 1当且仅当t 2，即 x ln 2时等号成立1因此实数m的取值范围是， 3 . 10 分上海市高二上期中考试数学试卷一、填空题（每题3 分，共 42 分）1. 关于x, y 的二元一次方程组3x4 yx3 y1的增广矩阵为 103答案：141310二、直线 4 xy10 的倾斜角 答案：arctan42三、双曲线xy1的虚轴长是 2169答案： 6四、抛物线y答案： y=11 x2 的准线方程是 4五、已
24、知平行直线l1 : 2 xy10, l 2 : 2 xy10 ，则l1, l 2 的距离是 答案： 255六、已知AB答案：22233 BC ，若 ABCB ，则 2七、过点 P2,1作圆 xy5 切线，则该切线的点法向式方程是答案：2( x2)( y1)0八、已知向量a 在向量 b 方向上的投影为2 ，且 b3 ，则 a b . （结果用数值表示）答案： -6九、已知向量a、b 的夹角为 60 ， a1, b2 ，若a2bxab ，则实数 x 的值为 答案： 3十、若平面区域的点x, y满足不等式xy1 k0，且 zxy 的最小值为5 ，则常数 k .答案： 5十一、已知A 2,0 , Bk
25、44,0，动点 P 满足 PA2 PB ，则 P 到原点的距离为 2答案： 22x2y2十二、设椭圆431的左、右交点分别为F1、F2 ，过焦点F1 的直线交椭圆于M 、N 两点，若MNF 2 的内切圆的面积为，则S MNF 2 答案： 4十三、向量i、j是平面直角坐标系x 轴、 y 轴的基本单位向量，且aia2 j5 ，则 a2i 的取值范围为 答案：65 ,35十四、在ABC 中， M 是 BC 的中点，A120， ABAC1 ，则线段AM 长的最小值为 2答案： 12二、选择题（每题4 分，共 20 分）15. 下列命题中，正确的是（）A. 若 ab ，则 abB. 若 ab ，则 ab
26、C.若 ab ，则 abD. 若 a1 ，则 a1答案： B16. 椭圆的参数方程为x 5cosy 3sin（为参数），则它的两个焦点坐标是（）A.4,0B.0,4C.5,0 D.0,3答案： A17. 在四边形ABCD 中， ABDC ，且ACBD0 ，则四边形ABCD 是（）A. 菱形B. 矩形C.直角梯形D. 等腰梯形答案： A18. 直线l : kxyk10 与圆 x 22y8 交于A, B 两点， 且 AB42 ，过点A, B 分别作 l 的垂线与 y 轴交于点 M , N ，则 MN 等于（）A. 22B.4C. 42D.8答案： D19. 如图，圆 C 分别与 x 轴正半轴，y
27、轴正半轴相切于点A, B ，过劣弧 AB 上一点 T 作圆 C的切线，分别交x轴正半轴，y 轴正半轴于点M , N ，若点 Q2,1是切线上一点，则MON 周长的最小值为（）A.10B.8C. 45D.12答案： A三、解答题（共38 分）20. （共 10 分，每小题5 分）（ 1）在直角坐标系下，已知ABC 三个顶点的坐标分别为A 0,0 , B4,0, C2,3，求 AB 边上的中线所在直线的方程和ABC 的重心 G的坐标（2）已知 a1,0 ,b2,1，当 k 为何实数时，kab 与 a3b 平行？答：（ 1） x = 2 ；（ 2， 1）17.kab(k2,1) ， a3b(7,3)平行3( k2)70k1321（本小题8 分）用行列式方法解关于x、y 的方程组：axy1aR，并对解的情况进行讨论。x2a1 y4a答案： a1 时无解； a1时无穷解；ax11 且a1 时有唯一解1a22y2a11a22. （共 10 分，第 1 小题 5 分、第 2 小题 5 分）2已知直线 l 与圆锥曲线C 相交于 A,B 两点， 与 x 轴、 y 轴分别交于D、E 两点， 且满足 EA1 AD、E
