1、2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标I） 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知合集，则A. B. C. D. 2. 若，则( )A. 0B. 1C. D. 23. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A. B. C. D. 4. 设O为正方形ABCD的中心，在O, A ,B, C, D中任取3点，则取到的3点共线的概率为( )A. B. C. D. 5. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率
2、y和温度x（单位：）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子的发芽实验，由实验数据1,2,20)得到下面的散点图：由此散点图，在10至40之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是( )A. B. C. D. 6. 已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 47. 设函数在的图像大致如下图，则的最小正周期为( )A. B. C. D. 8. 设，则=（ ）A. B. C. D. 9. 执行下面的程序框图，则输出的（ ）A. 17B. 19C. 21D. 2310. 设是等比数列，且，则（ ）A. 12B. 24
3、C. 30D. 3211. 设，是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且| =2，则的面积为（ ）A. B. C. D. 12. 已知，为球的球面上的三个点，为的外接圆. 若的面积为，则球的表面积为（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若x，y满足约束条件，则z=x+7y的最大值为_.14. 设向量=(1,-1),=(m+1,2m-4)，若，则m=_.15. 曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为_.16. 数列满足，前16项和为540，则=_.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标
4、准分为A,B,C，D四个等级，加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元、50元、20元；对于D级品，厂家每件赔偿原料损失费50元，该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务，甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件，厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数28173421（1） 分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；（2） 分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，
5、以平均利润为依据，厂家应该选哪个分厂承接加工业务？18. 的内角的对边分别为，已知.（1）若，求的面积；（2）若，求.19. 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，.（1）证明：平面平面；（2）设,圆锥的侧面积为，求三棱锥的体积.20. 已知函数（1） 当a=1时，讨论的单调性;（2） 若有两个零点，求的取值范围.21. 已知A,B分别为椭圆E:+=1(a1)的左、右顶点,G为E的上顶点,=8,P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D,(1)求E的方程;(2)证明:直线CD过定点.22. 选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在直角
6、坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）当k=1时，是什么曲线？（2）当k=4时，求与的公共点的直角坐标.23. 选修45：不等式选讲 已知函数=3+1-2-1.（1）画出y=的图像；（2）求不等式的解集.答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查集合的交集运算和解一元二次不等式，属于基础题【解答】解：由不等式，解得，所以，故选D2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查复数的运算，求复数的模，属于基础题【解答】解：，则，故选C3.【答案】C【解析】【分析】根据题意列出的关系式，化简即可得到答案.本题考查了立体几
7、何中的比例关系，属于基础题.【解析】如图，设正四棱锥的高为h,底面边长为侧面三角形底边上的高为,则由题意可得，故，化简可得解得.故答案选C.4.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查概率的知识，属于基础题【解答】解：如图，从5点中随机选取3个点，共有10种情况，其中三点共线的有两种情况：AOC和BOD，则故选A5.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数模型的应用，属于基础题.连接各点，判断图象的大致走向，可判断函数为对数模型.【解析】用光滑的曲线把图中各点连接起来，由图象的走向判断，此函数应该是对数函数类型的，故应该选用的函数模型为.故答案选D.6.【答案】B【解析】【分析】本题考查圆的方程、
8、直线方程以及求弦长，属于较易题【解答】解：由可得，则圆心，半径，已知定点，则当直线与OA垂直时，弦长最小，弦长，故选B7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了余弦函数的图象与性质，属于中档题.先利用得到，由，可得，由可得k 的值，w的值可得，即可求解.【解析】解：由图可知，所以化简可得,又因为,即，所以，当且仅当时，所以,最小正周期.故答案选C.8.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查指对数的运算，属于基础题【解答】解：由，可得，故选B9.【答案】C【解析】【分析】本题以程序框图为载体，考查了等差数列求和，属于中档题【解答】解：输入n=1，S=0，则S=S+n=1，S100，n=n+2=3，
9、S=S+n=1+3=4，S100，n=n+2=5，S=S+n=1+3+5=9，S100，n=n+2=7，S=S+n=1+3+5+7=16，S100，n=n+2=9，根据等差数列求和可得，S=1+3+5+19=100100，n=19+2=21，输出n=21故选C10.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查等比数列的通项公式，属基础题.根据，结合等比数列的通项公式可求得等比数列的公比，因为，从而得到答案.【解答】解：，所以，所以，故选D11.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查双曲线的定义、双曲线的简单几何性质、圆的性质，属一般题.根据双曲线的标准方程得到其焦点坐标，结合,可确定点P在以为直径的
10、圆上，得到,结合双曲线的定义可得的值，从而得到答案.【解答】解：由双曲线的标准方程可得，所以焦点坐标为，因为，所以点P在以为直径的圆上，所以，所以，所以三角形面积为3，故选B.12.【答案】B【解析】【分析】本题考查球的结构与性质，球的表面积公式，属中档题.【解答】解：由圆O1的面积为，故圆O1的半径=2，则三角形ABC是正三角形，由正弦定理：，得，由，得球O的半径，表面积为，故答案为A.13.【答案】1【解析】【分析】本题考查利用线性规划求最值问题，属基础题.【解答】解：根据约束条件画出可行域为：由得，平移直线，要使z最大，则在y轴上的截距最大，由图可知经过点A(1,0)时截距最大，此时z=
11、1，故答案为1.14.【答案】5【解析】【分析】本题主要考查平面向量垂直的充要条件，平面向量数量积的坐标运算，属基础题.由可得，再把两向量坐标代入运算可得答案.【解答】解：，所以，因为，所以，故.故答案为：515.【答案】【解析】【分析】本题主要考查导数的几何意义，属基础题.根据导数的几何意义确定切点坐标，再根据直线的点斜式得到切线方程.【解答】解：，设切点坐标为，因为切线斜率为2，所以，故，此时,，所以切点坐标为，所以切线方程为.故答案为：.16.【答案】7【解析】【分析】本题主要考查累加法求通项公式，等差数列的求和公式以及数列的递推关系，属较难题.对取偶数，再结合条件可求得前16项中所有奇
12、数项的和，对取奇数时，利用累加法求得的值，用其表示出前16项和可得答案.【解答】解：因为，当=2，6，10，14时，因为前16项和为540，所以，所以，当为奇数时，所以，累加得，因为，所以，所以.故答案为7.17.【答案】解：（1）根据频数分布表可知甲、乙分厂加工出来的一件产品为A级品的频数分别为40，28，所以频率分别为，用频率估计概率可得甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率分别为0.4和0.28.（2）甲分厂四个等级的频率分别为：0.4，0.2，0.2，0.2，故甲分厂的平均利润为：（元），乙分厂四个等级的频率分别为：0.28，0.17，0.34，0.21，故乙分厂的平均利润为：（
13、元），因为甲分厂平均利润大于乙厂的平均利润，故选甲分厂承接加工业务.【解析】本题主要考查频率的算法，平均数的概念及其意义，属基础题.（1）根据图表信息可得甲乙分厂的频数，从而得到答案.（2）根据图表信息可得甲乙分厂的四个等级的频率，再根据平均数的定义求得答案，比较两厂的平均数得到最终答案即可.18.【答案】解：(1)由余弦定理得，即，解得c=2，所以，所以SABC=.(2)因为，所以，因为A0，C0，所以0C30，所以3030+C60，所以30+C=45，所以C=15.【解析】本题考查余弦定理，三角形面积公式的应用，三角恒等变换的应用，属于中档题.(1)由已知条件结合余弦定理可求得c，从而可根
14、据三角形面积公式求解；(2)由两角差的正弦公式对已知式进行化简，再由辅助角公式根据C的范围求解即可.19.【答案】解：(1)由已知条件得PAPBPC，因为APC90，所以PAPC，所以AP2PC2=AC2，又因为ABC是等边三角形，所以AC=AB=BC，所以PA2PB2=AB2，PB2PC2=BC2，所以PBPA，PBPC，因为PAPC=P，所以PB平面PAC，因为PB平面PAB，所以平面PAB平面PAC.(2)设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意得解得，所以等边三角形ABC的边长为，从而PAPBPC，所以，所以三棱锥P-ABC的体积V=.【解析】【解析】本题考查线面位置关系的判定，圆锥的
15、侧面积公式，棱锥的体积公式的应用，考查空间想象能力与运算能力，属于中档题.(1)由题意证得PBPA，PBPC，从而得到PB平面PAC，根据面面垂直的判定定理即可证明；(2)由圆锥的性质可求得底面半径与母线长，从而可求得ABC的边长，从而可求得三棱锥P-ABC的高，从而可求得体积.20.【答案】解：(1)当a=1时，则，令，得x0；令，得x0，从而f(x)在(，0)单调递减；在(0，+)单调递增.(2)，显然x2，所以，令，问题转化为y=a与g(x)的图象有两个交点，所以，当x2或2x1时，g(x)单调递减；当x1时，g(x)单调递增，所以g(x)的极小值为，当x2时，g(x)0，当x2时，g(
16、x)0，所以当a时，y=a与g(x)的图象有两个交点，所以a的取值范围为.【解析】【解析】本题考查利用导数判断函数的单调性，利用导数研究函数的零点，有一定难度.(1)先求导，可直接得出函数的单调性；(2)先分离参数得，再构造函数，利用导数研究函数的性质，即可得出a的取值范围.21.【答案】解：由题意，椭圆E的方程为.（2）由（1）知，则直线PA的方程为，联立，由韦达定理，代入直线PA的方程得，即，直线PB的方程为，联立，由韦达定理，代入直线PA的方程得，即,直线CD的斜率，直线CD的方程为，整理得，直线CD过定点.【解析】本题考查直线于椭圆的位置关系，定点问题，属于较难题；（1）求出各点坐标，
17、表示出向量；（2）求出C，D两点坐标，进而求出直线CD，即可证明.22.【答案】【答案】（1）当时，曲线的参数方程为，化为直角坐标方程为，表示以原点为圆心，半径为1的圆.（2）当时，曲线的参数方程为，化为直角坐标方程为，曲线化为直角坐标方程为，联立，解得，所以曲线与曲线的公共点的直角坐标为.【解析】本题考查简单曲线的参数方程、极坐标方程，参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化等知识，考查运算求解能力，难度一般.23.【答案】（1）函数，图象如图所示：（2）函数的图象即将函数的图象向左平移一个单位所得，如图，联立可得交点横坐标为，所以的解集为.【解析】本题考查解绝对值不等式，考查了运算求解能力及数形结合的思想，难度一般.
