1、19.3.219.3.2菱形的判定菱形的判定张集学校张集学校 魏俊廷魏俊廷 复习与回顾：复习与回顾：想一想：想一想：1.菱形、矩形的定义？菱形、矩形的定义？2.它们分别比平行四边形多了哪些性它们分别比平行四边形多了哪些性质？质？3.怎样判定一个四边形是矩形？怎样判定一个四边形是矩形？矩形与菱形矩形与菱形 矩形矩形 菱形菱形定义定义有一角是有一角是直角直角的平行的平行四边形叫做矩形四边形叫做矩形.有一组有一组邻边相等邻边相等的平行四的平行四边形叫做菱形边形叫做菱形.具有具有平行四边形平行四边形的一切性质的一切性质性质性质边边角角对角线对角线四个角都是直角四个角都是直角相等相等互相垂直且平分每一组
2、对角互相垂直且平分每一组对角判定判定有一角是直角的平行四边形有一角是直角的平行四边形对角线相等的平行四边形对角线相等的平行四边形三个角都是直角的四边形三个角都是直角的四边形四条边都相等四条边都相等想一想想一想 同学们想一想，我们在学习平行四边形同学们想一想，我们在学习平行四边形的判定和矩形的判定时，我们首先想到的的判定和矩形的判定时，我们首先想到的第一种方法是什么？那么类比着它们，菱第一种方法是什么？那么类比着它们，菱形的第一种判定方法是什么？形的第一种判定方法是什么？一组一组邻边邻边相等的相等的平行四边形平行四边形是菱形是菱形.根据定义得根据定义得判定定理判定定理1：ABCD.,是菱形中在A
3、BCDADABABCD还有其他判定方法吗还有其他判定方法吗?先画两条等长的线段先画两条等长的线段ABAB、ADAD，再分别以，再分别以B B、D D为圆心，为圆心，ABAB为半径画弧，得到两弧的交点为半径画弧，得到两弧的交点C C，连接连接BCBC、CDCD，就得到了一个四边形，就得到了一个四边形ABCD，猜一猜，这是猜一猜，这是菱形菱形？为什么？为什么?有四条边相等的四边形是菱形。有四条边相等的四边形是菱形。ABCDO在四边形在四边形ABCDABCD中中,AB=BC=CD=DA,AB=BC=CD=DA四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形.探究一探究一判定定理判定定理2 2猜想：猜想：四条
4、边都相等的四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形已知：AB=BC=CD=DA求证：四边形ABCD是菱形证明AB=CD,BC=AD四边形ABCD是平行四边形AB=CD四边形ABCD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形有一组邻边相等的平行四边形是菱形是菱形）探究二探究二 用一长一短两根细木条用一长一短两根细木条,在它们的中点处在它们的中点处固定一个小钉固定一个小钉,做成一个可以转动的十字做成一个可以转动的十字,四周四周围上一根橡皮筋围上一根橡皮筋,做成一个四边形做成一个四边形.转动木条转动木条,这这个四边形什么时候变成菱形个四边形什么时候变成菱形?对角线互相垂直的平对角线互相垂直的平行四边形是菱形行
5、四边形是菱形.那么如何证明此猜想呢？那么如何证明此猜想呢？已知已知：ABCD中，对角线AC、BD 互相垂直，求证：求证：四边形ABCD是菱形 证明：证明：在在 中，中，OAOC（）又又ACBD，BD所在直线是线段所在直线是线段AC的垂直平分线，的垂直平分线，ABBC，四边形四边形ABCD是菱形是菱形（）ABCD对角线互相垂直的平行四边形是菱对角线互相垂直的平行四边形是菱形形判定定理判定定理3 3文字语言文字语言图形语言图形语言符号语言符号语言判定判定法一法一一组邻边相等的一组邻边相等的平行四边形是菱平行四边形是菱形形判定判定法二法二四边相等的四边四边相等的四边形是菱形形是菱形判定判定法三法三对
6、角线互相垂直对角线互相垂直的平行四边形是的平行四边形是菱形菱形归纳归纳:菱形的判定：菱形的判定：ABCD四边形四边形ABCD是菱形是菱形ACBD四边形四边形ABCD是菱形是菱形ABCDAB=AD四边形四边形ABCD是菱形是菱形ABCDOABCDABCDAB=BC=CD=DA拓 展：由菱形的性质：由菱形的性质：“每条对角线平分一组每条对角线平分一组对角对角”，我们还可以得到判定菱形的，我们还可以得到判定菱形的方法：方法：每条对角线平分一组对角的四边形是菱每条对角线平分一组对角的四边形是菱形形 对此感兴趣的同学，可以试着用逻辑推理的方法进行证明 1、下列说法正确的是（、下列说法正确的是（）A、邻角
7、相等的四边形是菱形、邻角相等的四边形是菱形B、有一组邻边相等的四边形是菱形、有一组邻边相等的四边形是菱形C、对角线互相垂直的四边形是菱形、对角线互相垂直的四边形是菱形D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形D2.下列命题中正确的是（下列命题中正确的是（）A.一组邻边相等的四边形是菱形一组邻边相等的四边形是菱形B.三条边相等的四边形是菱形三条边相等的四边形是菱形C.四条边相等的四边形是菱形四条边相等的四边形是菱形D.四个角相等的四边形是菱形四个角相等的四边形是菱形C3.对角线互相垂直且平分的四边形是（对角线互相垂直且平分的四边形是（）A.矩形矩形 B.一般的平行
8、四边形一般的平行四边形C.菱形菱形 D.以上都不对以上都不对C4.下列条件中，不能判定四边形下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（为菱形的是（）A.ACBD,AC与与BD互相平分互相平分B.AB=BC=CD=DAC.AB=BC,AD=CD,且且ACBDD.AB=CD,AD=BC,ACBDC6.判断对错：（1）对角线互相垂直的四边形是菱形。（）（2）对角线垂直且平分的四边形是菱形。（）（3）对角线垂直的矩形是菱形。（）（4）对角线垂直且相等的四边形是菱形。（）（5）有一条对角线平分一组对角的四边形 是菱形。（）ABCD如图，如图，ABCD的两条对角线的两条对角线AC、BD相交于点相交于点
9、O，AC=8，DB=6，AB=5 求证求证:四边形四边形ABCD是菱形是菱形.ABCDO四边形四边形ABCD是菱形是菱形.OA=OC=4 OB=OD=3证明证明:AB=5222OBOAAB ACBD090 AOB=四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形（1）四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形(平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对角线互相平分)(对角线对角线互相互相垂直垂直的的平行平行四边形四边形是菱形是菱形).).例例6p926p921.如图，如图，AD是是ABC的角平分线，的角平分线，DEAC交交AB于点于点E,DFAB交交AC于点于点F.试问四边试问四边形形AEDF是菱
10、形吗？说明你的理由。是菱形吗？说明你的理由。习题巩固：习题巩固：ABCDEF123解：四边形解：四边形AEDF是菱形是菱形理由：理由：DE AC DFAB 四边形四边形AEDF是平行四边形是平行四边形 DE AC 2=3 AD是是ABC的角平分线的角平分线 1=2 AE=DE AEDF是菱形是菱形2:在矩形在矩形ABCD中中,对角线对角线AC的垂直平分线与边的垂直平分线与边AD,BC分别交于点分别交于点E,F.求证求证:四边形四边形AFCE是菱形是菱形.ABF12CDOE证明证明:四边形四边形ABCD是矩形是矩形,AE/FC(矩形的定义矩形的定义)1=2又又AOE=COF,AO=CO,AOE
11、COF,EO=FO.四边形是平行四边形四边形是平行四边形(对角线相互平分的四边形是对角线相互平分的四边形是平行四边形平行四边形).四边形四边形AFCE是菱形是菱形(对角线互相垂直的平行四边形对角线互相垂直的平行四边形是菱形是菱形).3 如图，菱形ABCD的周长为2p，对角线AC、BD交于O，ACBDq，求菱形ABCD的面积（提示：利用两数和的平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2与勾股定理）4,如图，如图，RtABC中，中，ACB=900,BAC=600，DE垂直平分垂直平分BC，垂足为，垂足为D，交，交AB于于E，又点，又点F在在DE的延长线上，且的延长线上，且AF=CE，求证：四边形，
12、求证：四边形ACEF是菱形。是菱形。ABCDEF证明：证明：RtABC中，中，ACB=90，BAC=60，B=30 AB=2AC DE垂直平分垂直平分BC,EC=BEE是是AB的中点，的中点，AE=EC ACE是等边三角形是等边三角形AC=AE=CE，有题得，有题得ACED FEA=EAC=60 AFE是等边是等边三角形三角形AC=AE=CE=AF四边形四边形ACEF是菱形是菱形5.5.ABCDABCD的对角线的对角线ACAC与与BDBD相交于点相交于点O O，（1 1）若）若AB=ADAB=AD，则，则ABCDABCD是是 形；形；（2 2）若）若AC=BDAC=BD，则，则ABCDABCD
13、是是 形；形；（3 3）若）若ABCABC是直角，则是直角，则ABCDABCD是是 形；形；（4 4）若）若BAO=DAOBAO=DAO，则，则ABCDABCD是是 形。形。ABCDO菱菱矩矩矩矩菱菱请你动脑筋请你动脑筋把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断重叠部分能判断重叠部分ABCD的形状吗？的形状吗？ACDB思考:DCBAEF、菱形、矩形、平行四边形、菱形、矩形、平行四边形、四边形的从属关系如何？四边形的从属关系如何？、菱形判定方法（共三种）、菱形判定方法（共三种）小结：v菱形的证明方法菱形的证明方法判定定理判定定理1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
14、：有一组邻边相等的平行四边形是菱形判定定理判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形：对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定定理判定定理3：四条边都相等的四边形是菱形：四条边都相等的四边形是菱形判定定理判定定理4：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形一组邻边相等一组邻边相等对角线互相垂直对角线互相垂直四条边相等四条边相等四种判定方法四种判定方法四边形四边形平行四边形平行四边形菱形菱形菱形的判定方法：菱形的判定方法：布置作业布置作业1.1.习题习题19.3,P9819.3,P98第第8 8、9 9题题2.2.同步练习同步练习19.3,P79(19.3,P79(四四)谢谢谢谢
