1、同学们好教学目标教学目标n1.理解等差数列的概念，理解并掌握理解等差数列的概念，理解并掌握等差数列的通项公式，能运用公式解等差数列的通项公式，能运用公式解决简单的问题。决简单的问题。n2.培养学生的观察能力，进一步提高培养学生的观察能力，进一步提高学生的推理归纳能力。学生的推理归纳能力。重点难点重点难点n1.等差数列概念的理解与掌握等差数列概念的理解与掌握 n2.等差数列通项公式的推导及应用等差数列通项公式的推导及应用 n3.等差数列等差数列“等差等差”特点的理解、把特点的理解、把握及应用握及应用 请看以下几例：请看以下几例：1)1)4 4，5 5，6 6，7 7，8 8，9 9，1010，2
2、)2)3 3，0 0，-3-3，-6-6，-9-9，-12-12，3)3)1/10,2/10,3/10,4/10,5/101/10,2/10,3/10,4/10,5/104)4)3 3，3 3，3 3，3 3，3 3，3 3，3 3，你还记得吗？|数列的定义|给出数列的两种方法 创设问题情境，引入新课创设问题情境，引入新课姚明刚进姚明刚进NBANBA一周训练罚球的个数：一周训练罚球的个数：第一天：第一天：60006000，第二天：第二天：65006500，第三天：第三天：70007000，第四天：第四天：75007500，第五天：第五天：80008000，第六天：第六天：85008500，第七
3、天：第七天：9000.9000.得到数列：得到数列：60006000，65006500，70007000，75007500，80008000，85008500，90009000一般地，如果一个数列从第一般地，如果一个数列从第二项起，二项起，每一项每一项与它的前一项的与它的前一项的差等于差等于同一个同一个常数，那么这个数常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。公差通常用做等差数列的公差。公差通常用字母字母d d表示。表示。返返回回公差公差d d1.1.a an n-a-an-1n-1=d (n2)=d (n2)（数学表达式）（数学表达式）3.d的
4、范围 dR2.常数如2，3，5，9，11就不是等差数列探究性问题探究性问题2 2：在如下的两个数之间，插入在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：一个等差数列：（1 1）2 2，4 4；（2 2）-8-8，0 0；（3 3）a a，b b等差中项的等差中项的相关知识相关知识 如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。例例:已知三个数已知三个数2，x，98成等差数列，求成等差数列，求x2baA如果等差数列如果等差数列an的首项的首项是是a，公差是，公差是d，那么根据等差数，那么根据等差数列的定义得到：列
5、的定义得到：a2-a1=da2=a1+d由此得到 an=a1+(n-1)d返返回回an-a1=(n-1)dan-an-1=da4-a3=da3-a2=dan=a1+(n-1)da4=a1+3da3=a1+2d例例1：a1=1,d=2,则则 an=?解：解：an=1+(n1)2=2n1已知等差数列已知等差数列8，5，2，求求 an及及a20解解:由题由题 a1=8,d=58=3a20=49an=8+(n1)(3)=3n+11练习练习1：已知等差数列：已知等差数列3，7，11，则则 an=_ a4=_ a10=_4n-11539例例2：已知等差数列已知等差数列an中，中，a20=49,d=3，求首
6、项求首项a1解：由解：由a20=a1+(201)(3)得得a1=8练习练习2：a4=15 d=3 则则a1=_6解：解：a1=5,d=4，an=5+(n1)(4),假设假设-400是该等差数列中的第是该等差数列中的第n项，项，则则 400=5+(n1)(4)所以所以400不是这个数列的项不是这个数列的项解之得解之得 n=（不是正整数）（不是正整数）4399 练习练习3：100是不是等差数列是不是等差数列2，9，16，的项？如果是，是第的项？如果是，是第几项？几项？如果不是，说明理由如果不是，说明理由.例例4 4：一张梯子最高一级宽一张梯子最高一级宽33cm33cm，最低一级宽，最低一级宽110
7、cm,110cm,中间还有中间还有1010级，各级的宽度成等差数列。级，各级的宽度成等差数列。求公差求公差d d及中间各级的宽度。及中间各级的宽度。分析：用分析：用an表示梯子自上而下表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列。各级宽度所成的等差数列。解：由题意知解：由题意知 a1=33,a12=110,n=12 由由 an=a1+(n-1)d 得得 110=33+(12-1)d 解得解得 d=7从而可求出从而可求出 a2=33+7=40 (cm)a3=40+7=47(cm)a4=54(cm)。33110总结：总结：在在 an=a1+(n1)d，nN*中，有中，有an,a1,n,d 四个量四个量,
8、已知其中任意已知其中任意3个量即可求出第四个量。个量即可求出第四个量。那么如果已知一个等差数列的任意两项，能否求出那么如果已知一个等差数列的任意两项，能否求出an呢？呢？例例5：在等差数列：在等差数列an中已知中已知a3=10,a9=28,求求a1、d及及an an=4+(n1)3=3n+1 得得 a3=a1+2d=10 a1=4 a9=a1+8d=28 d=3解法解法1：由：由an=a1+(n1)d猜想：任意两项猜想：任意两项an和和am(nm)之间的关系：之间的关系：证明证明:am=a1+(m1)d an=a1+(n1)d a1=am-(m1)d=am-(m1)d+(n1)d=am+(n-
9、m)dan=am+(n-m)d例例5：在等差数列：在等差数列an中已知中已知a3=10,a9=28,求求an an=a3+（n-3）3解法解法2：a9=a3+(93)d(nN*)28=10+6dd=3=10+（n-3）3=3n+1 例例1.11.1）等差数列）等差数列8 8，5 5，2,2,的的第第2020项是几？项是几？2 2）-401-401是不是等差数列是不是等差数列-5,-9,-5,-9,-1313的项？如果是，是第几项？的项？如果是，是第几项？解：1）由题意得，a1=8,d=-32）由题意得,a1=-5,d=-4,an=-401an=a1+(n-1)dn=100-401是这个数列的第
10、100项。a20=a1+19d=8+19(-3)=-49-401=-5+(n-1)(-4)1 1）求等差数列）求等差数列3 3，7 7，1111的第的第4 4项与第项与第1010项。项。答案：a4=15 a10=39 2)100是不是等差数列2，9，16的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。答案：是第15项。3)-20是不是等差数列0,-3.5,-7的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。解：a1=0,d=-3.5-20不是这个数列中的项。n=47/7-20=0+(n-1)(-3.5)例例2.2.在等差数列在等差数列a an n 中，已中，已知知a a5 5=10,a=10,a121
11、2=31,=31,求首项求首项a a1 1与公差与公差d d。解：由题意，a5=a1+4d a12=a1+11d解之得a1=-2 d=3若让求a7，怎样求？即10=a1+4d 31=a1+11d1.1.在等差数列在等差数列a an n中，已知中，已知a a3 3=9,a=9,a9 9=3,=3,求求a a1212答案：a12=02.在等差数列an中，已知a2=3,a4=7,求a6、a8解：由题意得，a1+d=3,a1+3d=7a6=a1+5d=1+52=11 a8=a1+7d=1+72=15 a1=1,d=2在等差数列在等差数列a an n中，中，1 1）已知）已知a a1 1=2,d=3,n
12、=10,=2,d=3,n=10,求求a an n解：解：a a1010=a=a1 1+9d=2+9+9d=2+93=293=292）已知已知a a1 1=3,a=3,an n=21,d=2,=21,d=2,求求n n解：解：21=3+(n-1)21=3+(n-1)2 n=102 n=103）已知已知a a1 1=12,a=12,a6 6=27,=27,求求d d解：解：a a6 6=a=a1 1+5d,+5d,即即27=12+5d d=327=12+5d d=34）已知）已知d=-1/3,ad=-1/3,a7 7=8,=8,求求a a1 1解：解：a a7 7=a=a1 1+6d 8=a+6d
13、 8=a1 1+6+6(-1/3)(-1/3)a a1 1=10=10课堂练习：课堂练习：2.求等差数列求等差数列2，9，16的第的第10项项,100是不是这个数列是不是这个数列的项。如果是，是第几项？的项。如果是，是第几项？1.等差数列等差数列-5，-1，3的公差是（的公差是（）A.4 B.-4 C.8 D.-83.等差数列中，已知等差数列中，已知a3=9,a9=3,则则a12=_4.数列数列an中中,a1=,an+1=an-(nN*),则通项则通项an=（）5.已知等差数列的前三项依次为：已知等差数列的前三项依次为：a-1,a+1,a+3,则此数列的通项为（则此数列的通项为（）A.an=2
14、n-5 B.an=a+2n-3C.an=a+2n-1 D.an=2n-322A0D222-n222-nn2A.B.D.不能确定不能确定C.C(1)2，a，6(2)8，b，c，-4(3)8，b，-4，c2.2.已知已知 a,b,c 成等差数列，成等差数列，求证：求证：b+c,c+a,a+b成等差数列成等差数列例例1：在等差数列：在等差数列an中已知中已知a3=10,a9=28,求求an an=a3+（n-3）3解法解法2：a9=a3+(93)d(nN*)28=10+6dd=3=10+（n-3）3=3n+1 101551015,(2),a abaamaaaan5385612671112例 在等差数
15、列 a中（1）若a求若a求a（3）若a+a+=30,a+a+=80,求a+a+思考思考:等差数列等差数列 an 中中,（m、n、N+）,若若 m+n=p+q 则则 am+an=ap+aq?【说明说明】上面的命题中的等式两边有上面的命题中的等式两边有相同数目相同数目的的项，项，如如a1+a2=a3 吗？吗？例2、在等差数列an中，若a3+a4+a5+a6+a7=450，则a2+a8=？（一）等差数列的基本性质（一）等差数列的基本性质：3、项数成等差数列的项也构成等差数列。4、等差数列的前m项和，后m项和，再m项和也 构成等差数列。5、两个等差数列的和、差还是等差数列即an，bn 是等差数列，an
16、bn也是等差数列，pan、anc 也是等差数列（p，c为常数）。2、等差中项：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。1、在等差数列、在等差数列an中，若中，若m+n=p+q，则，则 .am+an=ap+aq（二）等差数列的证明（二）等差数列的证明：例例3、已知数列的通项公式为、已知数列的通项公式为an=pn+q，其中，其中，p，q 是是 常数，且常数，且p0，那么这个数列是否一定是等差数，那么这个数列是否一定是等差数 列？如果是，其首项与公差是什么？列？如果是，其首项与公差是什么？例例3.3.一个首项为一个首项为2323，公差为整数，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，的
17、等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多第七项起为负数，则它的公差是多少？少？解：由题意得，a6=a1+5d0 a7=a1+6d0 例4.已知等差数列an的首项为30，这个数列从第12项起为负数，求公差d的范围。解：a12=30+11d0 a11=30+10d0dZ d=-4-23/5d-23/6 -3d-30/11即公差d的范围为：-3d-30/11 等差数列的定义：等差数列的定义：通项公式：通项公式：an=a1+(n1)d （nN*）更一般的形式：更一般的形式：an=am+(nm)d（nN*）一般地，如果一个数列一般地，如果一个数列从第从第2项起项起，每一项每一项与它的前一项的差等于同一常数与它的前一项的差等于同一常数，那么这个，那么这个数列就叫做等差数列数列就叫做等差数列（叠加法证明）（叠加法证明）课本课本P40 A组组 第第1题题好好学习天天向上
