1、Fourier级数 周期为的函数的Fourier展开以下总设函数在上有定义，Riemann可积，并已按它在上的值周期延拓到，换句话说，是定义在整个实数范围的以为周期的周期函数（但在实际计算时，对的延拓可以仅仅是观念上的）。Fourier展开的基础是三角函数的正交性。容易证明，函数族按内积 是一个正交函数列，即满足， ， ， 。形如的函数项级数称为三角级数，其中（）为常数。现假定函数可以表示成三角级数。将上式两边同乘（）后，在上取积分（假定可以逐项积分），便得 ，所以（将下标改写为）， ，同理可得， ，这称为Euler-Fourier公式，而和称为的Fourier系数，由这些和确定的三角级数称为
2、的Fourier级数。于是，我们可以形式地将函数展开为。同前面一样，仍将函数的Fourier级数的部分和记为。要特别指出的是，目前在和它的Fourier级数之间不能用等号而只能用“”，因为我们不知道右端的三角级数是否收敛；即使收敛，也不知道它能否收敛到本身（参见下面的有些例子）。这个问题我们将在后面讨论。 例9.3.1 求函数的Fourier级数。 解 先计算函数的Fourier系数。，且对，有 ，于是得到函数的Fourier级数。 (b) y 1 0 x (a)图9.3.1函数的图形在电工学中称为方波（图9.3.1(a)），上式表明它可以由一系列正弦波迭加得到。但显然，当和时，右端级数的和为
3、，不等于。图9.3.1(b)给出了在上，的Fourier级数的部分和函数的逼近情况。 正弦级数和余弦级数 由定积分的性质，若是奇函数，那么显然有，而， 。这时，相应的Fourier级数为。形式为的三角级数称为正弦级数。如在例9.3.1中，令（即的图形往下移动），则是奇函数，从上面的结果看到，它的Fourier级数确为正弦级数。同样，若是偶函数，那么有，且，。相应的Fourier级数为。形式为的三角级数称为余弦级数。反过来，在实际问题中也经常需要将一个函数展开成正弦级数或余弦级数。 例9.3.2 将分别展开为余弦级数和正弦级数。 解 先考虑余弦级数的情况。从理论上来说，这时应先进行对函数偶延拓
4、但这一步同样只需在观念上进行，因为只要按偶函数的情况算Fourier系数，所得的自然就是偶延拓后的函数的Fourier级数。经计算得 。而对，有 于是得到的余弦级数 。 (b)这是由一系列的正弦波迭加出来的锯齿波（图9.3.2(a)），从图9.3.2(b)看出，其逼近情况相当好。 y 0 x (a) 图9.3.2再看正弦级数的情况。对，于是得到的正弦级数。它的几何意义是由一系列的正弦波迭加出来的三角波（图9.3.3(a)），其逼近情况见图9.3.3(b)。与例9.3.1类似，它在时的值是0，与不相等。注意，这两种级数的表达形式虽然大相径庭，但在下一段就会知道，若限制在上，它们表示的确是同一个函
5、数。(b) y 0 x (a) 图9.3.3任意周期的函数的Fourier展开 如果函数的周期为，在上Riemann可积。作变换，则是定义在上的周期为的函数。利用前面的结果，有。还原变量，便得。相应的Fourier系数为 ， ， 。 例9.3.3 将函数 展开为Fourier级数。 解 在上面的公式中令，计算函数的Fourier系数，得。对于，利用分部积分法，得 ， 。于是得到的Fourier级数 。 函数的图形及由一系列正弦波迭加的近似情况见图9.3.4。 y 1 -1 0 1 x (a) (b)图9.3.4Fourier级数的收敛性与Taylor级数相比，Fourier级数尽管有对函数的要
6、求较弱，及它的部分和在整个区间与逼近得较好等优点，但在收敛性问题上，Taylor级数比较简单：只要讨论余项的收敛情况，并确定收敛半径就行了，而Fourier级数却要复杂得多。仔细观察上一节中的几幅图像后可能会产生直觉：对于一般的函数，除了个别点之外（看来是不连续点），当时，它的Fourier级数的部分和大概应该收敛于，而在跳跃间断点处，Fourier级数似乎收敛于在该点左右极限的中点。为了判断Fourier级数的收敛性，我们先引入分段单调和分段可导的概念。定义9.3.1设函数在上有定义。如果在上存在有限个点 ，使得在每个区间（）上是单调函数，则称在上分段单调。定义9.3.2 设函数在上除有限个
7、点 外均可导，而在（处的左右极限和都存在（若只要求右极限存在，若只要求左极限存在），并且极限 和 都存在（若只要求上述第二个极限存在，若只要求第一个极限存在），那么称在上分段可导。对于Fourier级数的收敛性有如下的定理：定理9.3.1 设是以（）为周期的函数，且满足下列两个条件之一：（1） （Dirichlet）在（）上分段单调且有界；（2） (Lipschitz) 在（）上分段可导。则的Fourier级数收敛，且（1） 当是的连续点时，它收敛于；（2） 当是的不连续点时（跳跃间断点或可去间断点），它收敛于。 定理的严格证明已经超出了本课程的要求，在此从略。 定理9.3.1告诉我们，若收敛
8、条件满足，则的Fourier级数在连续点收敛于函数值本身，而在第一类不连续点收敛于它左右极限的算术平均值，与我们的观察相同。所以，对上的连续函数，应将与它的（收敛的）Fourier级数间的“”改为“=”。如例9.3.2中的余弦级数可以直接写成 ，。若函数在上有跳跃间断点或可去间断点，那么展成Fourier级数后，要对这些点予以特别说明，画图时也要将它们的函数值标为其左右极限的算术平均值。 y 1 0 x图9.3.5如例9.3.1，应该写成 Fourier级数的图像为图9.3.5。因为属于Fourier级数收敛范围，因此有，整理后便有熟知的 。 例9.3.2中的正弦级数应该写成 y 0 x 图9
9、.3.6Fourier级数的图像为图9.3.6。它在上与余弦级数表示的是同一个函数，这正是上一节中指出的结果。例9.3.3的式子也应相仿地写成 y 1 -1 0 1 x图9.3.7Fourier级数的图像见图9.3.7。在证实了这个Fourier级数收敛的前提下，可以导出一个非常重要的结果。注意是的不连续点，其Fourier级数应收敛于；因此。注意到，稍加整理后便可得到。还可以导出一系列类似级数的值，由于是的连续点，因此，即=。结合便得。这些等式可以用来进行某些特殊的计算，如历史上曾有人用这些等式计算过的近似值。而对某些原函数并非初等函数的积分，如计算，将被积函数Taylor展开得，逐项积分得
10、 ，。因此。最佳平方逼近设函数在上Riemann可积，为阶三角多项式全体。考虑与的平均平方误差，称使取得最小值的中元素为在中的最佳平方逼近元素。设（）为的Fourier系数。 定理9.3.2（Fourier级数的平方逼近性质） 设函数在上Riemann可积，则在中的最佳平方逼近元素恰为的Fourier级数的部分和，且 。证 设，由于其中 由本节开始时提到的三角函数族的正交性以及的Fourier系数的定义得 因此当（）时，取最小值，且最小值为。 证毕从定理9.3.2立即得到推论9.3.1（Bessel不等式） 设函数在上Riemann可积，则的Fourier系数满足不等式 。这表明Fourier系数的平方组成了一个收敛的级数。推论9.3.2 设函数在上Riemann可积，则的Fourier系数满足，。进一步的研究表明，上面的Bessel不等式实际上是一个等式，称为Parseval等式（又称能量恒等式），它在理论和实际问题中都具有重要作用。 定理9.3.3（Parseval等式） 设函数在上Riemann可积，则成立等式 。 证明从略。推论9.3.3 设函数在上Riemann可积，则，其中函数的定义同定理9.3.2。
