1、数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在（）。3、已知是三次样条函数，则=( )，=（ ），=（ ）。4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则( )，( )，当时( )。5、设和节点则 和。6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则 。8、给定方程组，为实数，当满足，且时，SOR迭代法收敛。9、解初值问题的改进欧拉法是 阶方法。10、设，当（ ）时，必有分解式，其中为
2、下三角阵，当其对角线元素满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。二、 选择题（每题2分）1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（ ）。（1）, (2) , (3) , (4) 2、在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ ）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。（1）， （2）， （3）， （4），3、有下列数表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是（ ）。（1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次4、若用二阶中点公式求解初值问题，试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为（ ）。(1)
3、, (2), (3), (4)三、1、（8分）用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据：1925303819.032.349.073.32、（15分）用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算时，(1) 试用余项估计其误差。（2）用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。四、1、（15分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）对应迭代格式；(2)对应迭代格式；（3）对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。2、
4、（8分）已知方程组，其中，（1） 列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。（2） 求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR迭代法。五、1、（15分）取步长，求解初值问题用改进的欧拉法求的值；用经典的四阶龙格库塔法求的值。2、（8分）求一次数不高于4次的多项式使它满足,六、（下列2题任选一题，4分）1、 数值积分公式形如 （1） 试确定参数使公式代数精度尽量高；（2）设，推导余项公式，并估计误差。2、 用二步法 求解常微分方程的初值问题时，如何选择参数使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。数值计算方法试题二一、判断题：（共16分，每小题分）、
5、若是阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵和上三角阵，使唯一成立。（）、当时，Newtoncotes型求积公式会产生数值不稳定性。（）3、形如的高斯（Gauss）型求积公式具有最高代数精确度的次数为。 （）、矩阵的范数。（）5、设，则对任意实数，方程组都是病态的。（用） （ ）6、设，且有（单位阵），则有。（ ）7、区间上关于权函数的直交多项式是存在的，且唯一。（ ）8、对矩阵A作如下的Doolittle分解：，则的值分别为2，2。（ ）二、填空题：（共20分，每小题2分）1、设，则均差 _，_。2、设函数于区间上有足够阶连续导数，为的一个重零点，Newton迭代公式的收敛阶至少是 _阶。、区间上的
6、三次样条插值函数在上具有直到_阶的连续导数。4、向量,矩阵，则 _，_。5、为使两点的数值求积公式：具有最高的代数精确度，则其求积基点应为_，_。6、设，则（谱半径）_。（此处填小于、大于、等于）7、设，则_。三、简答题：（9分）1、 方程在区间内有唯一根，若用迭代公式： ，则其产生的序列是否收敛于？说明理由。2、 使用高斯消去法解线性代数方程组，一般为什么要用选主元的技术？3、 设，试选择较好的算法计算函数值。四、（10分）已知数值积分公式为： ，试确定积分公式中的参数，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。五、（8分）已知求的迭代公式为： 证明：对一切，且序列是单调递减的，从而迭
7、代过程收敛。六、（9分）数值求积公式是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？七、（9分）设线性代数方程组中系数矩阵非奇异，为精确解，若向量是的一个近似解，残向量，证明估计式：（假定所用矩阵范数与向量范数相容）。八、(10分)设函数在区间上具有四阶连续导数，试求满足下列插值条件的一个次数不超过3的插值多项式，并导出其余项。012012-1133九、(9分)设是区间上关于权函数的直交多项式序列，为的零点， 是以为基点的拉格朗日(Lagrange)插值基函数，为高斯型求积公式，证明：（1） 当时， （2） （3）十、（选做题8分）若，互异，求的值，其中。数值计算方法试题三一、（24分）填空题
8、(1) (2分)改变函数 ()的形式，使计算结果较精确 。(2) (2分)若用二分法求方程在区间1,2内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分 次。(3) (2分)设，则 (4) (3分)设是3次样条函数，则a= , b= , c= 。(5) (3分)若用复化梯形公式计算，要求误差不超过，利用余项公式估计，至少用 个求积节点。(6) (6分)写出求解方程组的Gauss-Seidel迭代公式 ，迭代矩阵为 ，此迭代法是否收敛 。(7) (4分)设,则 ， 。(8) (2分)若用Euler法求解初值问题，为保证算法的绝对稳定，则步长h的取值范围为 二. (64分)(1) (6分)写出求方程在区间0
9、,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。(2) (12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算的近似值，并利用余项估计误差。(3) (10分)求在区间0,1上的1次最佳平方逼近多项式。(4) (10分)用复化Simpson公式计算积分的近似值，要求误差限为。(5) (10分)用Gauss列主元消去法解方程组： (6) (8分)求方程组 的最小二乘解。(7) (8分)已知常微分方程的初值问题： 用改进的Euler方法计算的近似值，取步长。三(12分，在下列5个题中至多选做3个题)(1) (6分)求一次数不超过4次的多项式p(x)满足：，(2) (6分)构造代数精度最高的如下形式的求
10、积公式，并求出其代数精度：(3) (6分)用幂法求矩阵的模最大的特征值及其相应的单位特征向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于0.05，取特征向量的初始近似值为。(4) (6分)推导求解常微分方程初值问题 的形式为 ,i=1,2,N的公式，使其精度尽量高，其中, , i=0,1,N,(5) (6分)求出用差分方法求解常微分方程的边值问题 所得到的三对角线性方程组。数值计算方法试题一答案一、 填空题（每空1分，共17分）1、（ 10 ） 2、（） 3、=( 3 )，=（ 3 ），=（ 1 ）4、( 1 )、 ( )、( ) 5、 6 、 6、 9 7、 0 8、9、 2 10、（ ）、（
11、 ）二、 选择题（每题2分）1、（(2)） 2、（1） 3、（1） 4、（3）三、1、（8分）解： 解方程组 其中 解得： 所以 ， 2、（15分）解：四、1、（15分）解：（1），故收敛；（2），故收敛；（3），故发散。选择（1）：， ，Steffensen迭代：计算结果：， 有加速效果。2、（8分）解：Jacobi迭代法：Gauss-Seidel迭代法：， SOR迭代法：五、1、（15分）解：改进的欧拉法：所以；经典的四阶龙格库塔法：，所以。2、（8分）解：设为满足条件的Hermite插值多项式，则 代入条件得：六、（下列2题任选一题，4分）1、解：将分布代入公式得：构造Hermite插值
12、多项式满足其中则有：， 2、解：所以 主项： 该方法是二阶的。数值计算方法试题二答案一、 判断题：（共10分，每小题分） 1、（） 2、（） 3、（ ） 4、（） 5、（ ） 6、（ ）7、（） 8、（ ）二、 填空题：（共10分，每小题2分） 1、0 2、_二_ 3、_二_4、_16 、90_5、6、 = 7、0三、 简答题：（15分）1、 解：迭代函数为 2、 答：Gauss消去法能进行到底的条件是各步消元的主元素全不为0，如果在消元过程中发现某个主元素为0，即使，则消元过程将无法进行；其次，即使主元素不为0，但若主元素的绝对值很小，用它作除数，将使该步消元的乘数绝对值很大，势必造成舍入误
13、差的严重扩散，以致于方程组解的精确程度受到严重影响，采用选主元的技术，可避免主元素=0或很小的情况发生，从而不会使计算中断或因误差扩大太大而使计算不稳定。3、 解：四、 解：显然精确成立； 时，；时，；时，；时，；所以，其代数精确度为3。 五、 证明： 故对一切。又 所以，即序列是单调递减有下界，从而迭代过程收敛。六、 解：是。因为在基点1、2处的插值多项式为 。其代数精度为1。七、 证明：由题意知： 又 所以。八、解：设 所以由得：所以令，作辅助函数则在上也具有4阶连续导数且至少有4个零点：反复利用罗尔定理可得：，所以 九、 证明：形如的高斯（Gauss）型求积公式具有最高代数精度2n+1次
14、，它对取所有次数不超过2n+1次的多项式均精确成立1）2）因为是n次多项式，且有 所以()3）取，代入求积公式：因为是2n次多项式， 所以 故结论成立。十、 解：数值计算方法试题三答案一.(24分)(1) (2分) (2) (2分) 10(3) (2分) (4) (3分) 3 -3 1 (5) (3分) 477(6) (6分) 收敛(7) (4分) 9 91 (8) (2分) h0.2二. (64分)(1) (6分)，n=0,1,2, 对任意的初值,迭代公式都收敛。(2) (12分) 用Newton插值方法：差分表：1001211441011120.04761900.0434783-0.000
15、094113610+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.7227555(3) (10分)设， ,=0.873127+1.69031x(4) (10分) 或利用余项： ，(5) (10分) 3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 3.6667 0.3333 12.6667 0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333 3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333 0.0000 0.0000 1.9375 9.687
16、5(6) (8分) ， 若用Householder变换，则：最小二乘解： (-1.33333，2.00000)T.(7) (8分)，三. (12分)(1) 差分表：11122151515575720204272152230781其他方法：设令，求出a和b(2) 取f(x)=1,x，令公式准确成立，得：， ，f(x)=x2时，公式左右=1/4; f(x)=x3时，公式左=1/5, 公式右=5/24 公式的代数精度=2(3) , , , , ，, , ，(4) 局部截断误差=令，得，计算公式为，i=0,1,2,( 局部截断误差= )(5) 记,i=0.N, i=1.N-1即, i=1.N-1 (1),与(1)取i=1的方程联立消去y2得 (2)，与(1)取i=N-1的方程联立消去yN得 (3)所求三对角方程组：方程(2)，方程组(1)(i=1.N-2)，方程(3)
