1、昌平区20192020学年第一学期高三年级期末质量抽测数 学 （满分150分，考试时间 120分钟）2020.1第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，则集合（A） （B） （C） （D）（2）在复平面内，复数对应的点位于（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限（3）已知命题：，那么命题为（A）， （B），（C）， （D），（4）设，且，则（A） （B） （C） （D）（5）已知函数的图象与函数的图象关于轴对称，则 （A） （B） （C） （D）（6）已知向量若与共线，则实数
2、（A） （B） （C） （D）（7）已知双曲线的离心率为，则（A） （B） （C） （D）（8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（A）（B） （C）（D）（9）设为非零向量，则“，”是“”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（10）为配合“2019双十二”促销活动，某公司的四个商品派送点如图环形分布，并且公司给四个派送点准备某种商品各50个.根据平台数据中心统计发现，需要将发送给四个派送点的商品数调整为40，45，54，61，但调整只能在相邻派送点进行，每次调动可以调整1件商品.为完成调整，则（A）最少需要16次调动，有2种
3、可行方案（B）最少需要15次调动，有1种可行方案（C）最少需要16次调动，有1种可行方案（D）最少需要15次调动，有2种可行方案 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（11）在的展开式中，的系数为（用数字作答）（12）各项均为正数的等比数列中, ,则_ .(13) 抛物线上一点到焦点的距离等于4，则=_；点的坐标为_ . （14）在中, ,则_（15）2019年11月5日，第二届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）开幕，共有155个国家和地区，26个国际组织参加.现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参加某主题展览活动，每个企业一个展位.在排成一排的6个展
4、位中，甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有_ 种. （16）已知函数.的最大值为_ ；设当时，取得最大值，则_ 三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（17）（本小题13分）已知等差数列满足.（）求数列的通项公式及前项和；（）记数列的前项和为，若，求的最小值.(18)（本小题13分）为了提高学生的身体素质，某校高一、高二两个年级共336名学生同时参与了“我运动，我健康，我快乐”的跳绳、踢毽等系列体育健身活动.为了了解学生的运动状况，采用分层抽样的方法从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生进行测试.下表是高二年级的5名学生的测试数据（单位：个/分钟）：
5、学生编号12345跳绳个数179181168177183踢毽个数8578797280（）求高一、高二两个年级各有多少人？（II）设某学生跳绳个/分钟，踢毽个/分钟.当，且时，称该学生为“运动达人”.从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生为“运动达人”的概率；从高二年级抽出的上述5名学生中，随机抽取3人，求抽取的3名学生中为“运动达人”的人数的分布列和数学期望.（19）（本小题14分）已知函数其中.（）若函数的最小正周期为，求的值；（）若函数在区间上的最大值为，求的取值范围.（20）（本小题14分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面平面，.（）求证：；（）求二面角的余弦值；（）在棱上是否存
6、在点，使得平面？若存在，求的值？若不存在，说明理由.（21）（本小题13分） 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，焦点为，圆O的直径为（）求椭圆C及圆O的标准方程；（）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P，且直线l与椭圆C交于两点记 的面积为，证明： （22）（本小题13分）已知函数 （）求曲线的斜率为的切线方程；（II）证明：；（III）确定实数的取值范围，使得存在,当时,恒有昌平区20192020学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷参考答案及评分标准 2020.1一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）题 号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）答 案DCA
7、DABBCCA二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9） （10） （11）； （12） （13） （14）；（第一空分，第二空分）三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（15）（本小题满分13分）解：（）设等差数列的公差为.依题意有 解得 .2分 所以. .6分（）因为， .7分 所以.9分 因为，即， .10分 所以. .12分 所以的最小值为 .13分（16）（本小题满分13分）解：（）设高一年级有人，高二年级有人.采用分层抽样，有.所以高一年级有人，高二年级有人. .4分 （II）从上表可知，从高二抽取的5名学生中，编号为1，2，5的学生是“运动达
8、人”. 故从高二年级的学生中任选一人，该学生为“运动达人”的概率估计为.7分（III）的所有可能取值为. .8分 ,.所以的分布列为 故的期望. .13分 (17)（本小题满分14分）解：（）因为 . .5分因为的最小正周期为，即，所以. .7分（）因为， 所以. .10分若在区间上取到最大值，只需，.12分所以. .14分 (18)（本小题满分14分）解：（）在四棱锥中， 因为平面平面，平面平面， 又因为，平面，所以平面.因为平面，所以. .5分（）取中点，连接.因为，所以. 因为平面平面，平面平面， 因为平面，所以平面.所以.因为，所以.所以四边形是平行四边形.所以.如图建立空间直角坐标系
9、，则.设平面的法向量为，则即令，则.所以.因为平面的法向量，所以由图可知，二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. .10分（）法一：设是棱上一点，则存在使得. 设，则 所以 所以 所以.所以.因为所以平面.所以是平面的一个法向量.若平面，则.所以因为方程组无解，所以在棱上不存在点，使得平面. .14分法二：因为所以平面.因为平面，所以平面平面.因为平面平面，若在棱上存在点，使得平面，则平面.因为平面，所以平面.所以在棱上不存在点，使得平面. .14分 (19)（本小题满分13分）解：（）由题意，椭圆C的方程为.可得，解得所以椭圆C的方程为 .4分因为焦点在轴上，所以椭圆C的焦点为所以直径为的
10、圆O的方程为 .6分（）由题意知，直线l与圆O相切于第一象限内的点P，设直线的斜截式方程为. .7分因为直线与圆相切，所以点到直线的距离为. 即. .8分因为直线与椭圆C相交于两点，由，整理得， .9分设，则. .10分因为又，所以.所以.又因为，所以 .11分因为，所以设，则，则.令.则.设因为在上单调递减，所以.所以. .13分(20)（本小题满分13分）解：（I）函数的定义域为. .1分 由得 .2分令，即，得，（舍）.3分又， .4分所以曲线的斜率为的切线方程为 .5分（II） 设，则 . 令得，（舍） .7分 当时，； 当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. .8分 所以. 所以. .9分（III）由（II）可知， 当时，所以不存在，当时，恒有；所以不符合题意. .10分当时，对于，所以不存在，当时，恒有；所以不符合题意. .11分当时，设.因为，令即.因为，解得.又因为，所以.取.当时，； 所以在上单调递增. 所以.即.所以符合题意.所以实数的取值范围是. .13分14
