1、南京市20172018学年度第一学期期末调研测试卷 高 一 数 学 2018.01注意事项：1本试卷共4页，包括填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）两部分本试卷满分为160分，考试时间为120分钟2答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题卡一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应位置上1已知集合Mx|0x2，N1，0，1，2，则M N 2计算：lg4lg 的值是 3函数 f(x)(x2) 的定义域是 4已知 tan2，则 tan() 的值是 5若函数 f(x)
2、cosx|2xa| 为偶函数，则实数a的值是 6已知向量a(1，2)，b(2，1)若向量ab与向量kab共线，则实数k的值是 7已知角的终边经过点P(12，5)，则sin()cos() 的值是 8已知函数 f(x)则 f (2)f (log23) 的值是 9在ABC中，若 tanA1，则角A的取值范围是 10在平行四边形ABCD中，a，b若|a|2，|b|3，a与b的夹角为 ，则线段BD的长度为 11已知(0，)，且满足 2，则tan 的值是 12已知函数 f(x)sin(x) (0)，将函数 yf(x) 的图象向左平移 个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则的最小值是 13如图，已知函数
3、f(x)的图象为折线ACB (含端点A，B)，其中A(4，0)，B(4，0)，C(0，4)，则不等式 f(x)log2(x2) 的解集是 14若m0，且关于x的方程 (mx1)2m 在区间 0，1 上有且只有一个实数解，则实数m的取值范围是 二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）已知向量a(1，2)，b(3，4)（1）求向量ab与向量a夹角的大小；（2）若a(ab)，求实数的值16（本小题满分14分）已知函数 f(x)Asin(x) ( A0，0，0) 的图象如图所示(第16题图)yx2O（1）求A，的值；
4、（2）若x，求f(x)的值域17（本小题满分14分）已知sin，(，0)（1）求cos()的值；（2）若sin()，(0，)，求的值 18（本小题满分16分）如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为 的扇形，点A在弧 上(异于点P，Q)，过点A作ABOP，ACOQ，垂足分别为B，C记AOB，四边形ACOB的周长为lOPQABC（第18题图）（1）求l关于的函数关系式；（2）当为何值时，l有最大值，并求出l的最大值19（本小题满分16分）如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，且2M是线段CE上一动点（1）若M是线段CE的中点，mn，求mn的值；（2）若AB9，43，求 (2) 的最小值(第19题图
5、)20（本小题满分16分）如果函数f(x)在定义域内存在区间a，b，使得该函数在区间a，b上的值域为a2，b2，则称函数f(x)是该定义域上的“和谐函数”（1）求证：函数f(x)log2(x1)是“和谐函数”；（2）若函数g(x)t (x1)是“和谐函数”，求实数t的取值范围南京市20172018学年度第一学期期末调研测试卷 高一数学参考答案 2018.01说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正
6、确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，填空题不给中间分数一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分10，1 21 32，) 43 5061 7 85 9(，) 10 113 122 13(2，2) 14(0，13，)注：第1、3、13题的答案必须是集合或区间形式，第9、14题可以用不等式表示；其它题严格按标准执行。二、解答题：本大题共6小题，共90分15（本小题满分14分）解 （1）因为 a(1，2)，b(3，4)，所以ab(2，6)， 所以|ab|2，|a|， (ab)a21210 4
7、分记向量ab与向量a的夹角为，从而cos 6分因为0，所以 ，即向量ab与向量a的夹角为 8分（2）因为a(ab)，所以a(ab)0， 即a2ab0， 所以5 (38)0， 12分解得1 14分注：第(1)问8分，计算出数量积2分，求两个向量模各1分，求夹角余弦2分，求出角2分，不交代向量夹角的范围或错误扣1分；第(2)问6分，列出关系式4分，解出得2分16（本小题满分14分）解（1）设函数f(x)的最小正周期为T，由图象知：A2，T()，所以周期T，从而2 4分因为函数图象过点(，2)，所以sin()1因为0，所以， 所以，解得因此 A2，2， 8分（2）由（1）知 f(x)2sin(2x)
8、因为x，所以2x， 10分所以sin(2x)1， 从而函数f(x)的值域为，2 14分注：第(1)问8分，指出A得1分，求出周期得2分，求出得1分，列出求的关系式2分，求出得2分，；第(2)问6分，指出相位范围得2分，求出sin(2x)的范围得2分，求出值域得2分17（本小题满分14分）解（1）因为sin，(，0)，所以cos 2分从而 cos()coscossinsin () 6分（2）因为(，0)，(0，)， 所以(，) 8分因为sin()， 所以cos() 10分从而 sinsin()sin()coscos() sin () 12分因为(0，)，所以 14分法二:因为 sin()，所以c
9、ossin 8分 从而有2sin8cos3，又sin2cos21，解得cos，sin或cos，sin(舍去) 12分因为(0，)，所以 14分注：第(1)问6分，求出cos的值得2分(公式1分，结果1分)，求cos()共4分，(公式2分，结果2分)；第(2)问8分，指出的范围列出关系式2分，求出cos()得2分，求出sin得2分 (公式1分，结果1分)，最后根据的范围，求的值2分第(2)问，用解法二，列出关系式得2分，解出两解，每一组解2分，若列出方程直接得出sin与cos之一，并没有消元的过程，最后结果正确，扣4分，仅给4分。18（本小题满分16分）解（1）在直角三角形OAB中，因为OA1，
10、AOB，所以OBcos，ABsin 2分 在直角三角形OAC中，因为POQ，所以AOC， 从而OCcos()，ACsin() 4分 所以lsincossin()cos()，(0，) 7分（2）由（1）知，lsincossin()cos()sincos(cossin)(cossin) sincos (1)(sin cos)(1)sin()，(0，) 12分 因为(0，)，所以(，)， 所以 当且仅当，即 时，l取得最大值1 答：当 时，l取得最大值，最大值为1 16分注：第(1)问7分，求出OB，AB，OC，AC各1分，写出l的表达式2分，定义域1分； 第(2)问9分，将l化为(1)sin()得
11、5分，求出最值3分，答1分19（本小题满分16分）解（1）因为M是线段CE的中点，2，所以()() ()mn， 因为与不共线，所以m，n，则mn 7分（2）在矩形ABCD中，所以()()2222因为AB9，43，所以2292243，解得|4，即ADBC4 在RtEBC中，EB3，BC4，则EC5 11分因为2，所以2()2()323 13分设MEt，0t5所以(2)3MEMC3t(5t)3(t25t)3(t)2，0t5因此当且仅当t 时，(2) 有最小值，从而(2)的最小值为 16分(第19题图)解法二:建立如图直角坐标系，则A(0，0)，E(6，0)，B(9，0)，设C(9，m)，m0则(9
12、，m)，(3，m)，27m243，所以m4 3分所以C(9，4)，因为M在线段CE上，设，01M(x，y)，则(x9，y4)，(3，4)，x93，y44，所以x93，y44即M(93，44) 5分所以(39，44)，(3，44)2(99，1212)，(3，4)，(2)272274824875(2)75()2，01 8分所以当且仅当时，(2)有最小值，从而(2)的最小值为 9分注：第(1)问7分，将用与线性表示，得4分，指出m，n并求出mn的值3分，不交代与不共线，扣1分；第(2)问9分，求出AD的长得3分，求出EC的长得1分，得出23得2分，列出(2)的函数关系式得2分，求出最值得1分用坐标法
13、(解法二)，求出C点坐标(即求出m值)得3分，得出M点坐标得2分，列出函数关系式得3分，求出最值得1分20（本小题满分16分）解（1）函数f(x)log2(x1)的定义域为(1，)，且在(1，)上单调递增考察函数F(x)f(x)x2log2 (x1)x2，x(1，)因为F(0)log2 100，取a0，则F(a)0，即f(a)a2； 2分F(1)log2 210，取b1，则F(b)0，即f(b)b2 4分因为f(x)在a，b上单调递增，所以f(x)在区间a，b上的值域为f(a)，f(b)，即为a2，b2所以函数f(x)log2 (x1)是(1，)上的“和谐函数” 6分（2）任取x1，x21，)
14、，且x1x2，则g(x1)g(x2)0，即g(x1)g(x2)，因此g(x)在1，)单调递增 8分因为函数g(x)t (x1)是“和谐函数”， 所以存在a，b1，)，使得函数在区间a，b上的值域为a2，b2，即g(a)a2，g(b)b2因此g(x)x2，即t x2在1，)上至少有两个不相等的实数根 11分令u，u0，方程可化为u21ut，即u2u1t0在0，)上至少有两个不相等的实数根 13分记h(u)u2u1t，h(u)的对称轴为直线 u，所以解得t1，即t的取值范围为 (，1 16分注：第(1)问6分，找出a，b各2分，证明过程完整规范得2分，如交代不清扣2分； 第(2)问10分，证明函数单调2分，如没有证明扣2分，转化为关于x方程在1，)上至少有两个不相等的实数根，得3分，转化为关于u的二次方程在0，)上至少有两个不相等的实数根，得2分，列出关系式得2分，最后结果1分
