1、两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布 在第二章中，讨论了一维随机变量函数在第二章中，讨论了一维随机变量函数的分布，现在进一步讨论的分布，现在进一步讨论:先讨论两个随机变量的函数的分布问题，然后先讨论两个随机变量的函数的分布问题，然后将其推广到多个随机变量的情形将其推广到多个随机变量的情形.当随机变量当随机变量X1,X2,Xn的联合分布已知时，的联合分布已知时，如何求出它们的函数如何求出它们的函数 Yi=gi(X1,X2,Xn),i=1,2,m的联合分布的联合分布?两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布o 离散型随机变量的函数的分布离散型随机变量的函数的分布o 一般情形求随
2、机变量函数分布的方法一般情形求随机变量函数分布的方法o 和的分布和的分布o 极值分布极值分布o商的分布商的分布二维离散型随机变量函数的分布律二维离散型随机变量函数的分布律p设二维离散型随机变量（X，Y），(X,Y)P(Xxi,Yyj)pij，i,j1,2,则 Zg(X,Y)PZzk pk,k1,2,kjizyxgkiijp),(:,例例1 1 设随机变量X与Y独立，且均服从0-1 分布，其分布律均为 X 0 1 P q p (1)求求W WX XY Y的分布律的分布律;(2)(2)求求V Vmax(X,Y)max(X,Y)的分布律；的分布律；(3)(3)求求U Umin(X,Y)min(X,Y
3、)的分布律。的分布律。(4)(4)求求w w与与V V的联合分布律。的联合分布律。(X,Y)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)pijWXYVmax(X,Y)Umin(X,Y)2qpqpq2p011201110001VW0 10 1 22q000pq22p一、离散型分布的情形一、离散型分布的情形若若X、Y独立，独立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,求求Z=X+Y的概率函数的概率函数.解解:)()(rYXPrZPriirYPiXP0)()(=a0br+a1br-1+arb0 riirYiXP0),(由独立性由独立性此即离散此即离散卷积公式卷积公式r=0
4、,1,2,解解riirYiXPrZP0),()(例例2 若若X和和Y相互独立相互独立,它们分别服从参数为它们分别服从参数为 的泊松分布的泊松分布,证明证明Z=X+Y服从参数为服从参数为21,21的泊松分布的泊松分布.由卷积公式由卷积公式i=0,1,2,j=0,1,2,!)(ieiXPi11 !)(jejYPj22 riirYiXPrZP0),()(由卷积公式由卷积公式ri 0i-r2-i1-i)!-(rei!e21rire0i-r2i1)(i)!-(ri!r!21,)(!21)(21rre即即Z服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布.21r=0,1，设设X和和Y相互独立，相互独立，XB(n
5、1,p),YB(n2,p),求求Z=X+Y 的分布的分布.同样，同样，Y是在是在n2次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A出现出现的次数的次数,每次试验中每次试验中A出现的概率为出现的概率为p.若若X B(n1,p),则则X 是在是在n1次独立重复试验中次独立重复试验中事件事件A出现的次数出现的次数,每次试验中每次试验中A出现的概率出现的概率都为都为p.故故Z=X+Y 是在是在n1+n2次独立重复试验中事次独立重复试验中事件件A出现的次数，每次试验中出现的次数，每次试验中A出现的概出现的概率为率为p，于是，于是Z是以（是以（n1+n2，p）为参数的）为参数的二项随机变量，即二项随机变量，即
6、Z B(n1+n2,p).一般情形求多维随机变量函数分布的方法一般情形求多维随机变量函数分布的方法分布函数法分布函数法 若(X1,X2,Xn)f(x1,x2,xn),(x1,x2,xn)Rn,Y=g(X1,X2,Xn),先求Y的分布函数:然后再求出Y的密度函数:),.,()(1yXXgPyYPyFnY;.),.,(.11),.,(1nnyxxgdxdxxxfn.)()()(dyydFyFyfYYY 和的分布和的分布已知(X,Y)f(x,y),(x,y)R2,求ZXY的概率密度 ()zZPzFZ zYXP ()zyxdxdyyxf，()xzdyyxfdx，,xuy作变换：()()zZduxuxf
7、dxzF，和的分布和的分布若X与Y相互独立，则ZXY的密度函数.)()()()()(dxxzfxfdyyfyzfzfYXYXZ或()()zFzfZZ ()dxxzxf，称为卷积公式称为卷积公式()()()yfxfzfYXZ*dyyyzfzFzfZZ),()()(例例 1解：解：()的密度函数的密度函数，试求随机变量，试求随机变量均匀分布，令均匀分布，令上的上的，相互独立，都服从区间相互独立，都服从区间与与设随机变量设随机变量ZYXZYX 10().,0,10,1其它其它xxfX().,0,10,1其它其它yyfY()，则有，则有的密度函数为的密度函数为设随机变量设随机变量zfYXZZ ()()
8、()dxxzfxfzfYXZxz0 xz1 xz0112().,0,21,2,10,其其它它zzzzzfZ例例 1（续）（续）()()()dxxzfxfzfYXZ10,10 xzx,20zz，或若().0 zfZ，若若10 z()zZdxzf01.z，若若21 z()111zZdxzf.2 z ()()()dxxzfxfzfYXZ在应用卷积公式时，应特别注意在应用卷积公式时，应特别注意 zx 的取值范围要满足的取值范围要满足fy 的非零范围的非零范围。课本例课本例2()的密度函数的密度函数，试求随机变量，试求随机变量的指数分布，令的指数分布，令服从服从上的均匀分布，上的均匀分布，服从区间服从区
9、间相互独立，相互独立，与与设随机变量设随机变量ZYXZYXYX 110 习题习题17().0,0,0,yyeyfyY()，则有，则有的密度函数为的密度函数为设随机变量设随机变量zfYXZZ ()()()dxxzfxfzfYXZxz0 xz011()()(),dxxzfxfzfYXZ0,10 xzx，若若0 z()0 zfZ，若若10 z()10)(dxezfxzZ 10dxeexzzzee 1()zxzZdxezf0)(1()1101001zeezezzfzzzZ课本例课本例 1()()的密度函数的密度函数，试求随机变量，试求随机变量，令，令，相互独立，相互独立，与与设随机变量设随机变量ZYX
10、ZNYNXYX 1010()()(),2122xexfxfxYXp p()，则有，则有的密度函数为的密度函数为设随机变量设随机变量zfYXZZ ()()()dxxzfxfzfYXZ()dxeexzx222221p p，代入上式，有，代入上式，有则有则有，作积分变换作积分变换dxduzxu 222()dxeezfzxzZ22242121pp()()dueezfuzZ22222221221pp()2222221zep结结 论：论：(),211 ，NX相互独立，且相互独立，且与与如果随机变量如果随机变量YX，YXZ ()222 ，NY()222121 ，则则NZ第三章 随机变量及其分布一般地，设随机
11、变量一般地，设随机变量X X1 1,X,X2 2，.,X.,Xn n独立且独立且X Xi i服从正态分布服从正态分布N(N(i i,i i2 2),i=1,.,n,),i=1,.,n,则则),(21211iniiniiiniiiaaNXa思考题：课本例301)(dtetxtxdxexx05)6()()1(xxx!)()1(nnnnp)21(商的分布商的分布返回主目录()()，数为数为，其联合密度函，其联合密度函是二维连续型随机变量是二维连续型随机变量，设设yxfYX，令：令：YXZ ()的密度函数的密度函数计算随机变量计算随机变量zfYXZZ()的分布函数的分布函数先计算随机变量先计算随机变量
12、zFYXZZ()zZPzFZ zYXPxyyzx yzx ()zyxdxdyyxf，()()00yzyxyzyxdxdyyxfdxdyyxf，()()00yzyxyzyxdxdyyxfdxdyyxf，()()zyzydxyxfdydxyxfdy，00()，中，作变换，在第一个积分uyxdxyxfdyzy0；时，时，当，当则则zuzyxydudx ；，因而有，因而有时，注意到时，注意到当当 uyx0()()yduyuyfdydxyxfdyzzy ，00()dyyuyyfduz 0，()dyyuyfyduz 0，()()zyzydxyxfdydxyxfdy，00()，中，作变换中，作变换，在第二个
13、积分在第二个积分uyxdxyxfdyzy 0；时，时，当，当则则zuzyxydudx ；，因而有，因而有时，注意到时，注意到当当 ，L21min1 xXxXxXPn ，L211 xXPxXPxXPn L211 xXPxXPxXPn 111121L()xFini P P 111特别，当特别，当X1,X2,Xn独立同分布独立同分布(分布函数相同分布函数相同)时，时，则有则有 FM(z)F(z)n;FN(z)11F(z)n.若若X1,X2,Xn独立且具相同的密度函数独立且具相同的密度函数f(x)，则，则M和和N的密度函数分别由以下二式表出的密度函数分别由以下二式表出 fM(z)nF(z)n1f(z)
14、；fN(z)n1F(z)n1f(z).例例 设系统设系统L由两个相互独立的子系统联接而成，联由两个相互独立的子系统联接而成，联接的方式分别为接的方式分别为(i)串联，串联，(ii)并联，（并联，（iii）备用，如）备用，如图所示设图所示设L1,L2的寿命分别为的寿命分别为X与与Y，已知它们的概率，已知它们的概率密度分别为密度分别为000)(xxexfxX000)(yyeyfyY其中其中 0，0,试分别就以上三试分别就以上三种联结方式写出种联结方式写出L的寿命的寿命Z的概的概率密度率密度XY课本习题24v设随机变量X，Y相互独立，且服从同一分布。证明：22),min(bXPaXPbYXaP边 缘 分 布 律离 散 型 分 布 律归 一 性概 率 计 算分 布 函 数 与 分 布 立 场 律 的 互 变独 立 性边 缘 分 布 函 数分 布 函 数归 一 性概 率 计 算边 缘 概 率 密 度均 匀 分 布正 态 分 布连 续 型 概 率 密 度归 一 性概 率 计 算分 布 函 数 与 概 率 密 度 的 互 变多 维 随 机 变 量二 维 随 机 变 量 函 数 的 分 布作业作业l习题习题2020（选作选作）l习题习题2121
