1、2020-2021学年第一学期期末测试北师大版九年级数学试题一、选择题(每题只有一个正确选项，本题共10小题，每小题3分，共30分)1.的值等于()A. B. C. D. 2.下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是()A. B. C. D. 3.如图所示的是几个完全相同的小正方体搭建成的几何体的俯视图，其中小正方形内的数字为对应位置上的小正方体的个数，则该几何体的左视图为()A. B. C. D. 4.如图，阳光透过窗户洒落在地面上，已知窗户高，光亮区的顶端距离墙角，光亮区的底端距离墙角，则窗户的底端距离地面的高度()为()A. B. C. D. 5.在中，点在线段上，请添加一个条件使，
2、则下列条件中一定正确的是（ ）A. B. C. D. 6.在一个不透明纸箱中放有除了标注数字不同外，其他完全相同的3张卡片，上面分别标有数字1，2，3，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为奇数的概率为()A. B. C. D. 7.如图，在第一象限内，是双曲线()上的两点，过点作轴于点，连接交于点，则点的坐标为()A. B. C. D. 8.如图,在矩形ABCD中,BC=2,AEBD,垂足为E,BAE=30,那么ECD的面积是（ ）A. 2B. C. D. 9.已知关于的一元二次方程的两根为，则一元二次方程的根为()A. 0，4B. 3，5C. 2，4D. 3，11
3、0.如图1，点从顶点出发，沿匀速运动到点，图2是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积为()A. B. C. D. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案填在答题卡相应题号的横线上)11.如图，在中，若为斜边上中线，则的度数为_12.一个等腰三角形的两条边长分别是方程x27x+100的两根，则该等腰三角形的周长是_13.如图，点、在上，若，则_14.如图在中，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，为的中点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，若，则阴影部分的面积为_15.如图所示，等边ABC中D点为AB边上一动点，E为直线AC上一点，将ADE
4、沿着DE折叠，点A落在直线BC上，对应点为F，若AB4，BF：FC1：3，则线段AE的长度为_三、计算题(本大题共8题，共75分，请认真读题)16.计算：17.已知的半径为，点到直线的距离为，且直线与相切，若，分别是方程的两个根，求的值18.如图，在平面直角坐标中，反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象经过点，作直线分别交于两点，已知. （1）求反比例函数的解析式；（2）求的面积.19.夏季多雨，在山坡处出现了滑坡，为了测量山体滑坡的坡面的长度，探测队在距离坡底点米处的点用热气球进行数据监测，当热气球垂直上升到点时观察滑坡的终端点时，俯角为，当热气球继续垂直上升90米到达点时，探测到滑坡的始
5、端点，俯角为，若滑坡的山体坡角，求山体滑坡的坡面的长度(参考数据：，结果精确到0.1米)20.某农科所研究出一种新型花生摘果设备，一期研发成本为每台6万元，该摘果机的销售量(台)与售价(万元/台)之间存在函数关系：（1）设这种摘果机一期销售的利润为(万元)，问一期销售时，在抢占市场份额(提示：销量尽可能大)的前提下利润达到32万元，此时售价为多少？（2）由于环保局要求该机器必须增加除尘设备，科研所投入了7万元研究经费，使得环保达标且机器的研发成本每台降低了1万元，若科研所的销售战略保持不变，请问在二期销售中利润达到63万元时，该机器单台的售价为多少？21.在中，以直角边为直径作，交于点，为的中
6、点，连接、（1）求证：为切线（2）若，填空：当_时，四边形为正方形；当_时，为等边三角形22.如图1，在矩形中，点从点出发向点移动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点移动，速度为每秒2个单位长度. 两点同时出发，且其中的任何一点到达终点后，另一点的移动同时停止. （1）若两点的运动时间为，当为何值时，？（2）在（1）的情况下，猜想与的位置关系并证明你的结论. （3）如图2，当时，其他条件不变，若（2）中的结论仍成立，则_. 当，时，其他条件不变，若（2）中的结论仍成立，则_（用含的代数式表示）.23.如图，抛物线的顶点坐标为，点的坐标为，为直线下方抛物线上一点，连接，（1）求抛物线的解析式
7、（2）面积是否有最大值？如果有，请求出最大值和此时点的坐标；如果没有，请说明理由（3）为轴右侧抛物线上一点，为对称轴上一点，若是以点为直角顶点等腰直角三角形，请直接写出点的坐标精品试卷答案与解析一、选择题(每题只有一个正确选项，本题共10小题，每小题3分，共30分)1.的值等于()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据特殊角的三角函数即得【详解】故选：D【点睛】本题考查特殊角的三角函数，解题关键是熟悉，及的正弦、余弦和正切值2.下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先将各选项一元二次方程化为一般式，再计算判别式即得【详
8、解】A选项中，则，则，有两个相等的实数根，不符合题意；B选项可化为，则，则，有两个不相等的实数根，符合题意；C选项可化为，则，则，无实数根，不符合题意；D选项可化为，则，则，无实数根，不符合题意故选：B【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟知：判别式时，一元二次方程有两个不相等的实数根；判别式时，一元二次方程有两个相等的实数根；判别式时，一元二次方程无实数根3.如图所示的是几个完全相同的小正方体搭建成的几何体的俯视图，其中小正方形内的数字为对应位置上的小正方体的个数，则该几何体的左视图为()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，左视图有两列，左视图所看到的
9、每列小正方形数目分别为3，1【详解】因为左视图有两列，左视图所看到的每列小正方形数目分别为3，1故选：A【点睛】本题考查由三视图判断几何体，简单组合体的三视图，解题关键是根据俯视图确定左视图的列数和各列最高处的正方形个数4.如图，阳光透过窗户洒落在地面上，已知窗户高，光亮区的顶端距离墙角，光亮区的底端距离墙角，则窗户的底端距离地面的高度()为()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据光沿直线传播的原理可知AEBD，则，根据相似三角形的对应边成比例即可解答【详解】解：AEBD，解得：经检验是分式方程的解故选：A【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，解题关键是熟知：平行于三角形
10、一边的直线和其他两边或延长线相交，所截得的三角形与原三角形相似5.在中，点在线段上，请添加一个条件使，则下列条件中一定正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据相似三角形的判定方法进行判断，要注意相似三角形的对应边和对应角【详解】解：如图，在中，B的夹边为AB和BC，在中，B的夹边为AB和BD，若要，则，即故选B.【点睛】此题主要考查的是相似三角形的判定，正确地判断出相似三角形的对应边和对应角是解答此题的关键6.在一个不透明纸箱中放有除了标注数字不同外，其他完全相同的3张卡片，上面分别标有数字1，2，3，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为
11、奇数的概率为()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先画出树状图得出所有等可能的情况的数量和所需要的情况的数量，再计算所需要情况的概率即得【详解】解：由题意可画树状图如下：根据树状图可知：两次摸球共有9种等可能情况，其中两次摸出球所标数字之和为奇数的情况有4种，所以两次摸出球所标数字之和为奇数的概率为：【点睛】本题考查了概率的求法，能根据题意列出树状图或列表是解题关键7.如图，在第一象限内，是双曲线()上的两点，过点作轴于点，连接交于点，则点的坐标为()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据P点坐标计算出反比例函数的解析式，进而求出M点的坐标，再根据M点的坐标求
12、出OM的解析式，进而将代入求解即得【详解】解：将代入得：反比例函数解析式为将代入得：设OM的解析式为：将代入得OM的解析式为：当时点的坐标为故选：D【点睛】本题考查待定系数法求解反比例函数和正比例函数解析式，解题关键是熟知求反比例函数和正比例函数解析式只需要一个点的坐标8.如图,在矩形ABCD中,BC=2,AEBD,垂足为E,BAE=30,那么ECD的面积是（ ）A. 2B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据已知条件，先求RtAED的面积，再证明ECD的面积与它相等【详解】如图：过点C作CFBD于F.矩形ABCD中，BC=2，AEBD，BAE=30ABE=CDF=60,AB=CD,A
13、D=BC=2,AEB=CFD=90，AED=30，ABECDFAE=CF.SAED=EDAE,SECD=EDCF.SAED=SCDEAE=1,DE=，ECD的面积是.故答案选:D.【点睛】本题考查了矩形的性质与含30度角的直角三角形相关知识，解题的关键是熟练的掌握矩形的性质与含30度角的直角三角形并能运用其知识解题.9.已知关于的一元二次方程的两根为，则一元二次方程的根为()A. 0，4B. 3，5C. 2，4D. 3，1【答案】B【解析】【分析】先将，代入一元二次方程得出与的关系，再将用含的式子表示并代入一元二次方程求解即得【详解】关于的一元二次方程的两根为，或整理方程即得：将代入化简即得：
14、解得：，故选：B【点睛】本题考查了含参数的一元二次方程求解，解题关键是根据已知条件找出参数关系，并代入要求的方程化简为不含参数的一元二次方程10.如图1，点从顶点出发，沿匀速运动到点，图2是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积为()A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据图象可知点M在AB上运动时，此时AM不断增大，而从B向C运动时，AM先变小后变大，从而得出AC=AB，及时AM最短，再根据勾股定理求出时BM的长度，最后即可求出面积【详解】解：当时，AM最短AM=3由图可知，AC=AB=4当时，在中，故选：C【点睛】本题考查函数图像的认识及勾
15、股定理，解题关键是将函数图像转化为几何图形中各量二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案填在答题卡相应题号的横线上)11.如图，在中，若为斜边上的中线，则的度数为_【答案】【解析】【分析】先根据直角三角形的性质得出AD=CD，进而根据等边对等角得出，再根据即得【详解】为斜边上的中线AD=CD故答案为：【点睛】本题考查直角三角形的性质及等腰三角形的性质，解题关键是熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半12.一个等腰三角形的两条边长分别是方程x27x+100的两根，则该等腰三角形的周长是_【答案】12【解析】【分析】首先利用因式分解法解方程，再利用三角形三边关系得出各边长，进而
16、得出答案.【详解】解：x27x+100（x2）（x5）0，解得：x12，x25，故等腰三角形的腰长只能为5，5，底边长为2，则其周长为：5+5+212故答案为：12【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，需要熟悉三角形三边的关系以及等腰三角形的性质.13.如图，点、在上，若，则_【答案】【解析】分析】连接OB，先根据OA=OB计算出，再根据计算出，进而计算出，最后根据OB=OC得出即得【详解】解：连接OB，如下图： ，故答案为：【点睛】本题考查了圆的性质及等腰三角形的性质，解题关键是熟知同圆的半径相等，同弧所对的圆周角是圆心角的一半14.如图在中，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，为的中点
17、，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，若，则阴影部分的面积为_【答案】【解析】【分析】过D作DMAB，根据计算即得【详解】过D作DMAB，如下图：为的中点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点AD=ED=CD，在中， ， 故答案为：【点睛】本题考查了求解不规则图形的面积，解题关键是通过容斥原理将不规则图形转化为规则图形15.如图所示，等边ABC中D点为AB边上一动点，E为直线AC上一点，将ADE沿着DE折叠，点A落在直线BC上，对应点为F，若AB4，BF：FC1：3，则线段AE长度为_【答案】或14【解析】【分析】点E在直线AC上，本题分两类讨论，翻折后点F在BC线段上或点F在CB延长线上，根据一线
18、三角的相似关系求出线段长【详解】解：按两种情况分析：点F在线段BC上，如图所示，由折叠性质可知ADFE60BFD+CFE120，BFD+BDF120BDFCFEBCBDFCFE，AB4，BF：FC1：3BF1，CF3设AEx，则EFAEx，CE4x解得BD，DFBD+DFAD+BD4解得x，经检验当x时，4x0x是原方程的解当点F在线段CB的延长线上时，如图所示，同理可知BDFCFEAB4，BF：FC1：3，可得BF2，CF6设AEa，可知AEEFa，CEa4解得BD，DFBD+DFBD+AD4解得a14经检验当a14时，a40a14是原方程的解，综上可得线段AE的长为或14故答案为或14【点
19、睛】本题考查了翻折问题，根据点在不同的位置对问题进行分类，并通过一线三角形的相似关系建立方程是本题的关键三、计算题(本大题共8题，共75分，请认真读题)16.计算：【答案】【解析】【分析】根据特殊三角函数值即可解题.【详解】解:=【点睛】本题考查了特殊的三角函数值得化简求值,属于简单题,熟悉三角函数值是解题关键.17.已知的半径为，点到直线的距离为，且直线与相切，若，分别是方程的两个根，求的值【答案】【解析】【分析】根据直线与圆相切的条件得，再根据一元二次方程根的判别式列出方程即得【详解】由题意可知方程的两根相等解得：【点睛】本题考查了直线与圆相切的条件及一元二次方程根的判别式，解题关键是熟知
20、直线与圆相切的条件是圆心到直线的距离等于圆的半径，判别式时，一元二次方程有两个相等实数根18.如图，在平面直角坐标中，反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象经过点，作直线分别交于两点，已知. （1）求反比例函数的解析式；（2）求的面积.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）根据待定系数法，分别把分别代入，进而得出解析式.（2）根据函数的交点性质，求出C、D的坐标，进而求出CD的长和三角形的高，进行求面积即可.【详解】解：（1）的图象过点，的图象过点，. （2）由（1）可知两条曲线与直线的交点为，.【点睛】本题主要考察了反比例函数的性质，灵活运用待定系数法和函数的交点性质是解题的关键.
21、19.夏季多雨，在山坡处出现了滑坡，为了测量山体滑坡的坡面的长度，探测队在距离坡底点米处的点用热气球进行数据监测，当热气球垂直上升到点时观察滑坡的终端点时，俯角为，当热气球继续垂直上升90米到达点时，探测到滑坡的始端点，俯角为，若滑坡的山体坡角，求山体滑坡的坡面的长度(参考数据：，结果精确到0.1米)【答案】的长为177.2米【解析】【分析】过点作，垂足为，作，垂足为，设，先根据的正切值得出，再根据的正切值得出，进而计算出，最后根据列出方程求解即得【详解】如下图，过点作，垂足为，作，垂足为设在中，四边形为矩形，在中，在中，四边形为矩形解得答：的长为177.2米【点睛】本题是解直角三角形题型，考
22、查了特殊角三角函数，解题关键是将文字语言转化为几何语言，并找出等量关系列方程20.某农科所研究出一种新型的花生摘果设备，一期研发成本为每台6万元，该摘果机的销售量(台)与售价(万元/台)之间存在函数关系：（1）设这种摘果机一期销售的利润为(万元)，问一期销售时，在抢占市场份额(提示：销量尽可能大)的前提下利润达到32万元，此时售价为多少？（2）由于环保局要求该机器必须增加除尘设备，科研所投入了7万元研究经费，使得环保达标且机器的研发成本每台降低了1万元，若科研所的销售战略保持不变，请问在二期销售中利润达到63万元时，该机器单台的售价为多少？【答案】（1）在抢占市场份额的前提下利润要达到32万元
23、，此时售价为8万元/台；（2）要使二期利润达到63万元，销售价应该为10万元/台【解析】【分析】（1）先根据等量关系式：总利润=（售价-成本）销售量，列出函数关系式，再将代入函数关系式得出方程求解即得；（2）先根据等量关系式：总利润=（售价-新成本）销售量-7，列出函数关系式，再将代入函数关系式得出方程求解即得【详解】（1）根据题意列出函数关系式如下：当时，解得，要抢占市场份额答：在抢占市场份额的前提下利润要达到32万元，此时售价为8万元/台（2）降低成本之后，每台的成本为5万元，每台利润为万元，销售量依据题意得，当时，解得，要继续保持扩大销售量的战略答：要使二期利润达到63万元，销售价应该为
24、10万元/台【点睛】本题考查函数解析式及解一元二次方程，解题关键是正确找出等量关系式：总利润=（售价-成本）销售量21.在中，以直角边为直径作，交于点，为的中点，连接、（1）求证：为切线（2）若，填空：当_时，四边形为正方形；当_时，为等边三角形【答案】（1）证明见解析；（2）2；【解析】【分析】（1）连接，根据为斜边的中线得出，进而证明得出即得（2）根据正方形的判定，只需要即得；根据等边三角形的判定，只需要即得【详解】（1）证明：如图，连接，为直径为斜边的中线， 为的切线（2）当DE=2时由（1），得四边形为菱形四边形为正方形当时为切线由（1），为切线为的中点OD=OB为等边三角形【点睛】本
25、题是圆的综合题型，考查了圆周角定理、切线判定、切线长定理、正方形的判定、等边三角形的判定及全等三角形的判定及性质，解题关键是熟知：直径所对的圆周角是直角，经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线22.如图1，在矩形中，点从点出发向点移动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点移动，速度为每秒2个单位长度. 两点同时出发，且其中的任何一点到达终点后，另一点的移动同时停止. （1）若两点的运动时间为，当为何值时，？（2）在（1）的情况下，猜想与的位置关系并证明你的结论. （3）如图2，当时，其他条件不变，若（2）中的结论仍成立，则_. 当，时，其他条件不变，若（2）中的结论仍成立，则_（用
26、含的代数式表示）.【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）；【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质，可得，进而列出方程，求出t的值.（2）根据相似三角形的性质，可得，进而根据等量关系以及矩形的性质，得出，进而得出结论.（3）根据全等三角形的判定，可得出AMBDNA，再根据全等三角形的性质，即可得出AM=DN，得出方程，求解即可得出答案.【详解】解：（1），解得. （2）. 证明：，. ，即. （3）ABEBAE=90AD=AB，BAD=ADC=90AMBDNAAM=DNt=2-2tt=由知，BAD=ADC=90=nt=【点睛】本题主要考察了相似三角形和全等三角形，熟练掌握相似三角形的性质
27、和正确找出线段之间的关系是解题的关键.23.如图，抛物线的顶点坐标为，点的坐标为，为直线下方抛物线上一点，连接，（1）求抛物线的解析式（2）的面积是否有最大值？如果有，请求出最大值和此时点的坐标；如果没有，请说明理由（3）为轴右侧抛物线上一点，为对称轴上一点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标【答案】（1）；（2）最大值为，点的坐标为；（3）点的坐标为，【解析】【分析】（1）先设顶点式，再代入顶点坐标得出，最后代入计算出二次项系数即得；（2）点的坐标为，先求出B、C两点，再用含m的式子表示出的面积，进而得出面积与m的二次函数关系，最后根据二次函数性质即得最值；（3）分成Q点
28、在对称轴的左侧和右侧两种情况，再分别根据和列出方程求解即得【详解】（1）设抛物线的解析式为顶点坐标为将点代入，解得抛物线的解析式为（2）如图1，过点作轴，垂足为，交于点将代入，解得，点的坐标为将代入，解得点C的坐标为设直线的解析式为点的坐标为，点的坐标为，解得直线的解析式为设点的坐标为，则点的坐标为过点作于点故当时，的面积有最大值，最大值为此时点的坐标为（3）点的坐标为，分两种情况进行分析：如图2，过点作轴的平行线，分别交轴、对称轴于点，设点的坐标为在和中，解得（舍去），点的坐标为如图3，过点，作轴的平行线，过点作轴的平行线，分别交，于点，设点的坐标由知，解得，（舍去)点的坐标为综上所述：点的坐标为或【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式、二次函数最值的应用、解一元二次方程、全等三角形的判定及性质，解题关键是熟知二次函数在实数范围的最值在顶点取到，一线三垂直的全等模型，二次函数顶点式：
