1、书书书高 三 三 模 考 试 数 学（理 科）试 卷 第 页（共页）内江市高中届第三次模拟考试题数学（理科）本 试 卷 包 括 第卷（选 择 题）和 第卷（非 选 择 题）两 部 分，共页。全 卷 满 分分，考 试 时 间分 钟。答 第卷 时，用铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑，如 需 改 动，用 橡 皮 擦 干净 后，再 选 涂 其 它 答 案 标 号；答 第卷 时，用 毫 米 的 黑 色 签 字 笔 在 答 题 卡 规 定 的 区 域 内 作答，字 体 工 整，笔 迹 清 楚；不 能 答 在 试 题 卷 上。考 试 结 束 后，监 考 员 将 答 题
2、卡 收 回。第卷（选 择 题，共分）一、选 择 题：本 大 题 共小 题，每 小 题分，共分在 每 个 小 题 所 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一项 是 符 合 题 目 要 求 的，把 正 确 选 项 的 代 号 填 在 答 题 卡 的 指 定 位 置已 知 复 数（）（），其 中是 虚 数 单 位，是的 共 轭 复 数，则 已 知 全 集 ，则（）（，（，）（，）（，）（，）（）空 气 质 量 指 数 是 评 估 空 气 质 量 状 况 的 一 组 数 字，空 气 质 量 指 数 划 分 为，）、，）、，）、，）、，）和，）六 档，分 别 对 应“优”、“良”、“轻 度 污 染”
3、、“中 度 污 染”、“重 度 污 染”和“严 重 污 染”六 个 等 级如 图 是 某 市月日 至日 连 续天 的 空 气 质 量 指 数 趋 势 图，则 下 列 说法 中 正 确 的 是从日 到日 空 气 质 量 越 来 越 差这天 中 空 气 质 量 指 数 的 中 位 数 是连 续 三 天 中 空 气 质 量 指 数 方 差 最 小 是日 到日这天 中 空 气 质 量 指 数 的 平 均 数 约 为我 国 古 代 数 学 名 著 九 章 算 术 中 几 何 模 型“阳 马”意 指 底 面 为 矩 形，一 侧棱 垂 直 于 底 面 的 四 棱 锥某“阳 马”的 三 视 图 如 图 所 示
4、，则 该 四 棱 锥 中 棱 长的 最 大 值 为槡槡槡 函 数（）（）的 部 分 图 像 大 致 为高 三 三 模 考 试 数 学（理 科）试 卷 第 页（共页）已 知 函 数（）和（）有 相 同 的 极 大 值，则 水 平 桌 面 上 放 置 了个 半 径 为的 小 球，个 小 球 的 球 心 构 成 正 方 形，且 相 邻 的 两 个 小 球 相切若 用 一 个 半 球 形 的 容 器 罩 住 四 个 小 球，则 半 球 形 容 器 内 壁 的 半 径 的 最 小 值 为槡槡 圭 表 是 我 国 古 代 一 种 通 过 测 量 正 午 日 影 长 度 来 推 定 节 气 的 天 文 仪
5、器，它 包 括 一 根 直 立 的 标竿（称 为“表”）和 一 把 呈 南 北 方 向 水 平 固 定 摆 放 的 与 标 竿 垂 直 的 长 尺（称 为“圭”）当 正 午太 阳 照 射 在 表 上 时，日 影 便 会 投 影 在 圭 面 上，圭 面 上 日 影 长 度 最 长 的 那 一 天 定 为 冬 至，日 影长 度 最 短 的 那 一 天 定 为 夏 至如 图 是 一 个 根 据 某 地 的地 理 位 置 设 计 的 圭 表 的 示 意 图，已 知 该 地 冬 至 正 午 太阳 高 度 角（即）约 为，夏 至 正 午 太 阳 高 度角（即）约 为，圭 面 上 冬 至 线 与 夏 至 线
6、 之间 的 距 离（即的 长）为米，则 表 高（即的 长）约 为（其 中，）米 米 米 米已 知 圆 锥 的 母 线 长 为，侧 面 积 为槡，则 过 顶 点 的 截 面 面 积 的 最 大 值 等 于槡槡 已 知 双 曲 线：（?，?）上 有 不 同 的 三 点、，且、关 于 原 点 对 称，直线、的 斜 率 分 别 为、，且，则 离 心 率的 值 为槡槡槡 槡将 函 数（）（?）的 图 象 向 右 平 移个 单 位 长 度 后 得 到 函 数（）的 图 象，若，()是（）的 一 个 单 调 递 增 区 间，且（）在（，）上 有个 零 点，则 设 ，则?第卷（非 选 择 题，共分）二、填 空
7、 题：本 大 题 共小 题，每 小 题分，共分已 知，且（），则 向 量在 向 量上 的 投 影 为若（）（）的 展 开 式 的 各 项 系 数 和 为，则 该 展 开 式 中的 系 数 是甲、乙 两 人 下 围 棋，若 甲 执 黑 子 先 下，则 甲 胜 的 概 率 为；若 乙 执 黑 子 先 下，则 乙 胜 的 概 率 为假 定 每 局 之 间 相 互 独 立 且 无 平 局，第 二 局 由 上 一 局 负 者 先 下，若 甲、乙 比 赛 两 局，第 一 局高 三 三 模 考 试 数 学（理 科）试 卷 第 页（共页）甲、乙 执 黑 子 先 下 是 等 可 能 的，则 甲、乙 各 胜 一
8、局 的 概 率 为已 知（，），（，），是 圆：上 的 一 个 动 点，则的 最 大 值 为三、解 答 题：本 大 题 共小 题，共分，解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤（本 小 题 满 分分）已 知 数 列的 前项 和 为，且 满 足，（）求 数 列的 通 项 公 式；（）记（）（），求 数 列的 前项 和（本 小 题 满 分分）某 厂 商 调 查 甲、乙 两 种 不 同 型 号 电 视 机 在个 卖 场 的 销 售 量（单位：台），并 根 据 这个 卖 场 的 销 售 情 况，得 到 如 图 所 示 的 茎 叶 图为了 鼓 励 卖 场，在 同 型 号 电
9、 视 机 的 销 售 中，该 厂 商 将 销 售 量 高 于 数 据 平均 数 的 卖 场 命 名 为 该 型 号 电 视 机 的“星 级 卖 场”（）当，时，记 甲 型 号 电 视 机 的“星 级 卖 场”数 量 为，乙型 号 电 视 机 的“星 级 卖 场”数 量 为，比 较，的 大 小 关 系；（）在 这个 卖 场 中，随 机 选 取个 卖 场，记为 其 中 甲 型 号 电 视 机 的“星 级 卖 场”的 个数，求的 分 布 列 和 数 学 期 望；（）记 乙 型 号 电 视 机 销 售 量 的 方 差 为，根 据 茎 叶 图 推 断与分 别 取 何 值 时，达 到 最小 值（只 需 写
10、 出 结 论）（本 小 题 满 分分）在中，过 点作，交 线 段于 点（如 图），沿将折 起，使（如 图），点，分 别 为 棱，的 中 点（）求 证：；（）给 出 下 列 三 个 条 件：图中 ，图中 ，图中 三棱 锥 的 体 积 最 大在 其 中 任 选 一 个，补 充 在 下 面 问 题 中，再 解 答 问 题问 题：已 知（填 番 号），试 在 棱上 确 定 一 点，使 得，并 求 平 面与 平 面的 夹 角 的 余 弦 值注：若 选 择 多 个 条 件 分 别 解 答，则 按 第 一 个 解 答 计 分高 三 三 模 考 试 数 学（理 科）试 卷 第 页（共页）（本 小 题 满 分分
11、）若 存 在 实 数，使 得 函 数（）和（）对 其 定 义 域 上 的 任 意 实 数同 时 满 足：（）且（），则 称 直 线：为 函 数（）和（）的“隔 离 直 线”已 知（），（）（其 中为 自 然 对 数 的 底 数）试 问：（）函 数（）和（）的 图 象 是 否 存 在 公 共 点，若 存 在，求 出 公 共 点 坐 标，若 不 存 在，说 明理 由；（）函 数（）和（）是 否 存 在“隔 离 直 线”？若 存 在，求 出 此“隔 离 直 线”的 方 程；若 不 存在，请 说 明 理 由（本 小 题 满 分分）如 图，曲 线是 以 原 点为 中 心，、为 焦 点 的 椭 圆 的 一
12、 部 分，曲线是 以为 顶 点、为 焦 点 的 抛 物 线 的 一 部 分，是 曲 线和的 一个 交 点，且为 钝 角，（）求 曲 线和的 方 程；（）过作 一 条 与轴 不 垂 直 的 直 线，分 别 和 曲 线和交 于、四 点，若为的 中 点，为的 中 点，是 否 为 定 值？若 是，请 求 出 此定 值；若 不 是，请 说 明 理 由请 考 生 在 第、题 中 任 选 一 题 作 答，并 用铅 笔 将 所 选 题 号 涂 黑如 果 多 做，则 按 所 做的 第 一 题 计 分（本 小 题 满 分分）在 平 面 直 角 坐 标 系 中，将 曲 线向 左 平 移个 单 位，再 将 得 到 的
13、 曲 线 上 的 每 一 个 点 的 横坐 标 保 持 不 变，纵 坐 标 缩 短 为 原 来 的得 到 曲 线，以 坐 标 原 点为 极 点，轴 的 正 半 轴 为 极轴，建 立 极 坐 标 系曲 线的 极 坐 标 方 程 为（）求 曲 线的 参 数 方 程；（）已 知 点在 第 一 象 限，四 边 形是 曲 线的 内 接 矩 形，求 内 接 矩 形周 长的 最 大 值，并 求 周 长 最 大 时 点的 坐 标（本 小 题 满 分分）已 知 函 数（）（）（）若，求 证：（）；（）若 对 于 任 意，都 有（），求 实 数的 取 值 范 围高 三 三 模 考 试 数 学（理 科）试 题 答
14、案 第 页（共页）内江市高中届第三次模拟考试题数学（理科）参考答案及评分意见一、选 择 题（本 大 题 共小 题，每 小 题分，共分）二、填 空 题（本 大 题 共小 题，每 小 题分，满 分分）三、解 答 题（共分，解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤，第 题 为 必 考 题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答，第、题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答）解：（）当 时，由 得：，即，又，；分?当时，分?又，满 足，即 当 时，成 立，分?数 列是 以为 首 项，为 公 比 的 等 比 数 列，（）分?（）由（）得：（）（），分?分?解：
15、（）甲 组 数 据 的 平 均 数 为 ，分?乙 组 数 据 的 平 均 数 为 ，分?易 知，所 以 ；分?（）的 可 能 取 值 为，分?（），（），（），分?的 分 布 列 为：（）分?（）当 时，达 到 最 小 值分?解：（）证 明：，、平 面，平 面，平 面，分?又，分 别 为，的 中 点，分?（）选，在 图所 示 的中，由 ，分?解 得 或 （舍 去）分?设 ，在中，解 得，分?高 三 三 模 考 试 数 学（理 科）试 题 答 案 第 页（共页）以 点为 原 点，分 别 为，轴 建 立 如 图 所 示 的 坐 标 系，（，），（，），（，），（，），（，），()，则 （，）分?设
16、（，），则 ，()，即，()（，），解 得，当（即是的 靠 近的 一 个 四 等 分 点）时，分?设 平 面的 一 个 法 向 量 为（，），()，由，得 ，令，则（，），取 平 面的 一 个 法 向 量 （，），分?则，（，）（，）（）槡槡，平 面与 平 面的 夹 角 的 余 弦 值 为槡分?选，在 图所 示 的中，设 ，则 ()（），分?又 ，由 平 面 向 量 基 本 定 理 知，即 分?（以 下 步 骤 同 上）选，在 图所 示 的中，设 （?），则 ，折 起 后，且 ，、平 面，平 面，分?又，（），（）（）（），（，），分?令（）（），（）（）（），当?时，（）?；当?时，（）?，
17、当 时，三 棱 锥 的 体 积 最 大分?（以 下 步 骤 同 上）解：（）设（）（）（）（?），分?（）（槡）（槡），令（），得 槡，分?高 三 三 模 考 试 数 学（理 科）试 题 答 案 第 页（共页）当?槡时，（）?，?槡时，（）?，故 当 槡时，（）取 到 最 小 值，最 小 值 是，分?从 而 函 数（）和（）的 图 象 在 槡处 有 公 共 点，其 坐 标 为（槡，）分?（）由（）可 知，函 数（）和（）的 图 象 在 槡处 有 公 共 点，如 果 存 在（）和（）的 隔 离 直 线，那 么 该 直 线 过 这 个 公 共 点，分?设 隔 离 直 线 方 程 为 （槡），即 槡
18、 ，由（）槡 （），可 得 槡 在上 恒 成 立，则 槡 （槡），只 有 槡，分?此 时 直 线 方 程 为：槡 分?下 面 证 明（）槡 恒 成 立，令（）槡 （）槡 ，（）槡 槡 槡（槡），当 槡时，（），当?槡时（）?，函 数 单 调 递 减；?槡时，（）?，函 数 单 调 递 增，则 当 槡时，（）取 到 最 小 值 是，分?所 以（）槡 （），则（）槡 当?时 恒 成 立函 数（）和（）存 在 唯 一 的 隔 离 直 线 槡 分?解：（）设 曲 线的 方 程 为（?），则 ，得，分?设（，）、（，）、（，），曲 线的 方 程 为，其 中?，则（）()，（）()，两 式 相 减 得，分
19、?由 抛 物 线 定 义 可 知 ，分?因 为为 钝 角，则?，解 得 ，分?所 以，曲 线的 方 程 为()，分?曲 线的 方 程 为()分?（）设（，）、（，）、（，）、（，），设 直 线的 方 程 为 ，其 中，联 立 可 得（），分?高 三 三 模 考 试 数 学（理 科）试 题 答 案 第 页（共页）联 立 可 得 ，分?所 以，槡槡槡槡（）（）（）（）槡（）（）（）（）槡()()槡分?解：（）由 得，将 代 入 整 理 得，曲 线的 普 通 方 程 为（），分?设 曲 线上 的 点 为（，），变 换 后 的 点 为（，），由 题 可 知 坐 标 变 换 为 ，即 ，代 入 曲 线的
20、 普 通 方 程，整 理 得 曲 线的 普 通 方 程，分?曲 线的 参 数 方 程 为 （为 参 数）分?（）设 四 边 形的 周 长 为，设 点（，）（?），分?槡 槡 槡()槡（），且 槡，槡分?，（），槡 且 当 时，取 最 大 值，此 时 ，分?所 以，槡，槡，此 时槡，槡()分?解：当 时，（）当时，（）（），分?当?时，（）（），所 以（）分?（）当，时，（），由（），得 ，分?设（），（），对 任 意，（）恒 成 立，所 以（）（），分?因 为 在 区 间，上，（）（），（）（），所 以即 实 数的 取 值 范 围 为，分?高 三 三 模 考 试 数 学（文 科）试 卷 第 页
21、（共页）内江市高中届第三次模拟考试题数学（文科）本 试 卷 包 括 第卷（选 择 题）和 第卷（非 选 择 题）两 部 分，共页。全 卷 满 分分，考 试 时 间分 钟。答 第卷 时，用铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑，如 需 改 动，用 橡 皮 擦 干净 后，再 选 涂 其 它 答 案 标 号；答 第卷 时，用 毫 米 的 黑 色 签 字 笔 在 答 题 卡 规 定 的 区 域 内 作答，字 体 工 整，笔 迹 清 楚；不 能 答 在 试 题 卷 上。考 试 结 束 后，监 考 员 将 答 题 卡 收 回。第卷（选 择 题，共分）一、选 择 题：本 大
22、题 共小 题，每 小 题分，共分在 每 个 小 题 所 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一项 是 符 合 题 目 要 求 的，把 正 确 选 项 的 代 号 填 在 答 题 卡 的 指 定 位 置已 知 复 数 ，其 中是 虚 数 单 位，是的 共 轭 复 数，则 已 知 全 集 ，?，则（）（，（，）（，）（，）（，）（）空 气 质 量 指 数 是 评 估 空 气 质 量 状 况 的 一 组 数 字，空 气 质 量 指 数 划 分 为，）、，）、，）、，）、，）和，）六 档，分 别 对 应“优”、“良”、“轻 度 污 染”、“中 度 污 染”、“重 度 污 染”和“严 重 污 染”六
23、 个 等 级如 图 是 某 市月日 至日 连 续天 的 空 气 质 量 指 数 趋 势 图，则 下 列 说法 中 正 确 的 是从日 到日 空 气 质 量 越 来 越 差这天 中 空 气 质 量 指 数 的 中 位 数 是连 续 三 天 中 空 气 质 量 指 数 方 差 最 小 是日 到日这天 中 空 气 质 量 指 数 的 平 均 数 约 为我 国 古 代 数 学 名 著 九 章 算 术 中 几 何 模 型“阳 马”意 指 底 面 为 矩 形，一 侧 棱 垂 直 于 底 面 的 四 棱 锥某“阳 马”的 三 视 图 如 图 所 示，则 该 四 棱锥 中 棱 长 的 最 大 值 为槡槡 槡
24、函 数（）（）的 部 分 图 像 大 致 为高 三 三 模 考 试 数 学（文 科）试 卷 第 页（共页）已 知 函 数（）和（）有 相 同 的 极 大 值，则 一 个 人 连 续 射 击次，则 下 列 各 事 件 关 系 中，说 法 正 确 的 是事 件“两 次 均 击 中”与 事 件“至 少 一 次 击 中”互 为 对 立 事 件事 件“第 一 次 击 中”与 事 件“第 二 次 击 中”为 互 斥 事 件事 件“两 次 均 未 击 中”与 事 件“至 多 一 次 击 中”互 为 对 立 事 件事 件“恰 有 一 次 击 中”与 事 件“两 次 均 击 中”为 互 斥 事 件圭 表 是 我
25、 国 古 代 一 种 通 过 测 量 正 午 日 影 长 度 来 推 定 节 气 的 天 文 仪 器，它 包 括 一 根 直 立 的 标竿（称 为“表”）和 一 把 呈 南 北 方 向 水 平 固 定 摆 放 的 与 标 竿 垂 直 的 长 尺（称 为“圭”）当 正 午太 阳 照 射 在 表 上 时，日 影 便 会 投 影 在 圭 面 上，圭 面 上 日 影 长 度 最 长 的 那 一 天 定 为 冬 至，日 影长 度 最 短 的 那 一 天 定 为 夏 至如 图 是 一 个 根 据 某 地 的地 理 位 置 设 计 的 圭 表 的 示 意 图，已 知 该 地 冬 至 正 午 太阳 高 度 角
26、（即）约 为，夏 至 正 午 太 阳 高 度角（即）约 为，圭 面 上 冬 至 线 与 夏 至 线 之间 的 距 离（即的 长）为米，则 表 高（即的 长）约 为（其 中，）米 米 米 米已 知 圆 锥 的 母 线 长 为，侧 面 积 为槡，则 过 顶 点 的 截 面 面 积 的 最 大 值 等 于槡槡 阿 基 米 德 在 他 的 著 作 关 于 圆 锥 体 和 球 体 中 计 算 了 一 个 椭 圆 的 面 积当 我 们 垂 直 地 缩 小一 个 圆 时，我 们 得 到 一 个 椭 圆，椭 圆 的 面 积 等 于 圆 周 率与 椭 圆 的 长 半 轴 长 与 短 半 轴 长 的乘 积，已 知
27、 椭 圆：（?）的 面 积 为槡，点为 椭 圆的 上 顶 点直 线 与 椭 圆交 于，两 点，若，的 斜 率 之 积 为，则 椭 圆的 长 轴 长 为槡槡 若 函 数（）（）（?）在 区 间（，）上 是 单 调 函 数，则的 取 值 可 以 是 若 关 于的 不 等 式?有 且 只 有 一 个 整 数 解，则 正 实 数的 取 值 范 围 是，(，(（，)高 三 三 模 考 试 数 学（文 科）试 卷 第 页（共页）第卷（非 选 择 题，共分）二、填 空 题：本 大 题 共小 题，每 小 题分，共分已 知，且（），则若，满 足 约 束 条 件，则 （）的 最 大 值 为设，分 别 是 双 曲
28、线（?，?）的 左、右 焦 点，为 坐 标 原 点，过 左 焦 点作 直 线与 圆 切 于 点，与 双 曲 线 右 支 交 于 点，且 满 足 （），槡，则 双 曲 线 的 方 程 为甲、乙 两 人 下 围 棋，若 甲 执 黑 子 先 下，则 甲 胜 的 概 率 为；若 乙 执 黑 子 先 下，则 乙 胜 的 概 率 为假 定 每 局 之 间 相 互 独 立 且 无 平 局，第 二 局 由 上 一 局 负 者 先 下，若 甲、乙 比 赛 两 局，第 一 局甲、乙 执 黑 子 先 下 是 等 可 能 的，则 甲 胜 第 一 局，乙 胜 第 二 局 的 概 率 为三、解 答 题：本 大 题 共小
29、题，共分，解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤（本 小 题 满 分分）已 知 数 列的 前项 和 为，且 满 足，（）求 数 列的 通 项 公 式（）记（）（），求 数 列的 前项 和（本 小 题 满 分分）某 厂 商 调 查 甲、乙 两 种 不 同 型 号 电 视 机 在个 卖 场 的 销 售 量（单 位：台），并 根 据 这个 卖 场 的 销 售 情 况，得 到 如 图 所 示 的 茎 叶 图为 了 鼓 励卖 场，在 同 型 号 电 视 机 的 销 售 中，该 厂 商 将 销 售 量 高 于 数 据 平 均 数 的 卖场 命 名 为 该 型 号 电 视 机
30、 的“星 级 卖 场”（）当，时，记 甲 型 号 电 视 机 的“星 级 卖 场”数 量 为，乙 型号 电 视 机 的“星 级 卖 场”数 量 为，比 较，的 大 小 关 系；（）在 这个 卖 场 中，随 机 选 取个 卖 场，求 这 两 个 卖 场 都 是 甲 型 号 电 视 机 的“星 级 卖 场”的 概 率；（）记 乙 型 号 电 视 机 销 售 量 的 方 差 为，根 据 茎 叶 图 推 断与分 别 取 何 值 时，达 到 最小 值（只 需 写 出 结 论）（本 小 题 满 分分）在中，过 点作，交 线 段于 点（如 图），沿将折 起，使 （如 图），点、分别 为 棱、的 中 点高 三
31、 三 模 考 试 数 学（文 科）试 卷 第 页（共页）（）求 证：；（）在 图中，当 三 棱 锥 的 体 积 取 最 大 值 时，求 三 棱 锥 的 体 积（本 小 题 满 分分）若 存 在 实 数，使 得 函 数（）和（）对 其 定 义 域 上 的 任 意 实 数同 时 满 足：（）且（），则 称 直 线：为 函 数（）和（）的“隔 离 直 线”已 知（），（）（其 中为 自 然 对 数 的 底 数）试 问：（）函 数（）和（）的 图 象 是 否 存 在 公 共 点，若 存 在，求 出 公 共 点 坐 标，若 不 存 在，说 明理 由；（）函 数（）和（）是 否 存 在“隔 离 直 线”？
32、若 存 在，求 出 此“隔 离 直 线”的 方 程；若 不 存在，请 说 明 理 由（本 小 题 满 分分）已 知 椭 圆：（?）的 焦 距 为，一 条 连 接 椭 圆 的 两 个 顶 点 的 直 线 斜 率 为槡（）求 椭 圆的 方 程；（）过 椭 圆右 焦 点且 不 与轴 重 合 的 直 线 与 椭 圆相 交 于，两 点，试 问轴 上 是否 存 在 点，使 得 直 线，斜 率 之 积 恒 为 定 值？若 存 在，求 出 该 定 值 及 点的 坐 标；若 不 存在，说 明 理 由请 考 生 在 第、题 中 任 选 一 题 作 答，并 用铅 笔 将 所 选 题 号 涂 黑如 果 多 做，则 按
33、 所 做的 第 一 题 计 分（本 小 题 满 分分）在 平 面 直 角 坐 标 系 中，将 曲 线向 左 平 移个 单 位，再 将 得 到 的 曲 线 上 的 每 一 个 点 的 横坐 标 保 持 不 变，纵 坐 标 缩 短 为 原 来 的得 到 曲 线，以 坐 标 原 点为 极 点，轴 的 正 半 轴 为 极轴，建 立 极 坐 标 系曲 线的 极 坐 标 方 程 为（）求 曲 线的 参 数 方 程；（）已 知 点在 第 一 象 限，四 边 形是 曲 线的 内 接 矩 形，求 内 接 矩 形周 长的 最 大 值，并 求 周 长 最 大 时 点的 坐 标（本 小 题 满 分分）已 知 函 数（
34、）（）（）若，求 证：（）；（）若 对 于 任 意，都 有（），求 实 数的 取 值 范 围高 三 三 模 考 试 数 学（文 科）试 题 答 案 第 页（共页）内江市高中届第三次模拟考试题数学（文科）参考答案及评分意见一、选 择 题（本 大 题 共小 题，每 小 题分，共分）二、填 空 题（本 大 题 共小 题，每 小 题分，满 分分）三、解 答 题（共分，解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤，第 题 为 必 考 题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答，第、题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答）解：（）当 时，由 得：，即，又，；分?当
35、时，分?又，满 足，即 当 时，成 立，分?数 列是 以为 首 项，为 公 比 的 等 比 数 列，（）分?（）由（）得：（）（），分?分?解：（）根 据 茎 叶 图 可 知 甲 组 数 据 的 平 均 数 为 ，分?乙 组 数 据 的 平 均 数 为 ，分?甲 型 号 电 视 机 的“星 级 卖 场”数 量 为，乙 型 号 电 视 机 的“星 级 卖 场”数 量 为 所 以 ；分?（）由（）知，甲 型 号 电 视 机 的“星 级 卖 场”数 量 为，设 选 取 的 两 个 卖 场 都 是 甲 型 电 视 机的“星 级 卖 场”设 为 事 件，设 甲 型 号 电 视 机 的“星 级 卖 场”分
36、 别 为，甲 型 号 电 视 机 的 非“星 级 卖 场”分 别 为，从 这个 卖 场 中，随 机 选 取个 卖 场，有，共 计个分?其 中 满 足 条 件 为，共 计个分?所 以，（）分?（）当 时，达 到 最 小 值分?解：（）证 明，、平 面，平 面，平 面，分?又，分 别 为，的 中 点，分?分?（）图所 示 的中，设 （?），则 ，高 三 三 模 考 试 数 学（文 科）试 题 答 案 第 页（共页），为 等 腰 直 角 三 角 形，折 起 后，且 ，、平 面，平 面，分?又，（），（）（）（），（，），分?令（）（），（）（）（），当?时，（）?；当?时，（）?，时，三 棱 锥 的
37、 体 积 最 大分?又 易 知平 面，因 为为 线 段的 中 点，所 以到 平 面的 距 离 为分?又 ，故 三 棱 锥 的 体 积 为分?解：（）设（）（）（）（?），分?（）（槡）（槡），令（），得 槡，分?当?槡时，（）?，?槡时，（）?，故 当 槡时，（）取 到 最 小 值，最 小 值 是，分?从 而 函 数（）和（）的 图 象 在 槡处 有 公 共 点，其 坐 标 为（槡，）分?（）由（）可 知，函 数（）和（）的 图 象 在 槡处 有 公 共 点，如 果 存 在（）和（）的 隔 离 直 线，那 么 该 直 线 过 这 个 公 共 点，分?设 隔 离 直 线 方 程 为 （槡），即
38、槡 ，由（）槡 （），可 得 槡 在上 恒 成 立，则 槡 （槡），只 有 槡，分?此 时 直 线 方 程 为：槡 分?下 面 证 明（）槡 恒 成 立，令（）槡 （）槡 ，（）槡 槡 槡（槡），当 槡时，（），当?槡时（）?，函 数 单 调 递 减；?槡时，（）?，函 数 单 调 递 增，则 当 槡时，（）取 到 最 小 值 是，分?所 以（）槡 （），则（）槡 当?时 恒 成 立函 数（）和（）存 在 唯 一 的 隔 离 直 线 槡 分?高 三 三 模 考 试 数 学（文 科）试 题 答 案 第 页（共页）解：（）由 题 意 易 知：槡 ，分?解 得：槡，分?椭 圆的 方 程 为：分?（）
39、由（）知 椭 圆右 焦 点坐 标 为（，），设 直 线：，（，），（，），（，），由 得，（）显 然?，且 分?此 时（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）分?由 上 式 知：无 论取 何 值，当，即 时，是 一 个 与无 关 的 定 值，当 时，；分?当 时，分?综 上 所 述，存 在 定 点满 足 题 意当 定 点 为（，）时，直 线，斜 率 之 积 为；当 定 点 为（，）时，直 线，斜 率 之 积 为 分?解：（）由 得，将 代 入 整 理 得，曲 线的 普 通 方 程 为（），分?设 曲 线上 的 点 为（，），变 换 后 的 点 为（，），由 题 可 知 坐 标 变 换
40、为 ，即 ，代 入 曲 线的 普 通 方 程，整 理 得 曲 线的 普 通 方 程，分?高 三 三 模 考 试 数 学（文 科）试 题 答 案 第 页（共页）曲 线的 参 数 方 程 为 （为 参 数）分?（）设 四 边 形的 周 长 为，设 点（，）（?），分?槡 槡 槡()槡（），且 槡，槡分?，（），槡 且 当 时，取 最 大 值，此 时 ，分?所 以，槡，槡，此 时槡，槡()分?解：当 时，（）当时，（）（），分?当?时，（）（），所 以（）分?（）当，时，（），由（），得 ，分?设（），（），对 任 意，（）恒 成 立，所 以（）（），分?因 为 在 区 间，上，（）（），（）（），所 以即 实 数的 取 值 范 围 为，分?
