1、数学试卷（理科） 第 1 页（共 6 页） 绝密启用前 试卷类型：A 2020 年茂名市高三级第二次综合测试 数学试卷(理科）2020.5 本试卷分选择题和非选择题两部分，共 5 页，23 小题，满分 150 分，考试时间 120 分钟. 注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上. 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试题卷草稿纸和答 题卡上的非答题区域均无效. 4选考题的作答：先把所选题目的题号在
2、答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑. 答案写在答题卡上对 应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 5考试结束后，请将答题卡上交. 第一部分 选择题(共 60 分） 1. 若()2 , ,xi iyi x yR，则复数yix的虚部为（ ） A.2 B.1 C.i D.-1 2已知集合UR, 2 lg(4)Ax yx，21xxB ，则AB （ ） A( 2,2) B( 2,1) C 2,2 D 2,2) 3. 已知 1 sin 62 ，且 0, 2 则 cos 3 （ ） A.0 B. 1 2 C.1 D. 3 2 4. 下列命题错误的是（ ） A“x2”是“x24x+
3、40”的充要条件 B命题“若 1 4 m，则方程 x2+xm0 有实根”的逆命题为真命题 C在ABC 中，若“AB”，则“sinAsinB” D命题 p：“x0R，x022x0+40”，则p：“xR，x22x+40” 5. 易系辞上有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下 来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方” ，是中华 文化阴阳术数之源。河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居 上，三与八为友居左，四与九同道居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑 点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为 5 的概率为（ ） 数学试卷（理科） 第
4、2 页（共 6 页） A. 5 1 B. 25 6 C. 25 7 D. 25 8 6. “辗转相除法”是欧几里得原本中记录的一个 算法，是由欧几里得在公元前 300 年左右首先提出 的，因而又叫欧几里得算法.如图所示一个当型循环 结构的“辗转相除法”程序框图. 当输入 m=1995， n=228，输出的 m 是( ) A. 3 B. 19 C. 57 D. 114 7.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为 8cm,细沙全部 在上部时，其高度为圆锥高度的 2 1 （细管长度忽略不计）.当细沙全部漏入下部 后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此沙堆的侧面积为（ ） A.
5、 4 5 B. 8 5 C. 3 17 D.4 17 8.设偶函数( )f x满足 1 ( )( )2(0) 2 x f xx， 则使不等式 9 1 4 fx成立的x取值范围是（ ） A.(, 1)(3,) B.( 1,3) C.(0,2) D.(,0)(2,) 9.圆 M: 2 2 4xmy与双曲线C: 22 22 1 xy ab （0a，0b）的两条渐近线相切于 A、B 两点， 若32AB ，则 C 的离心率为（ ） A. 3 32 B. 3 C. 2 D.3 10.某贫困县为了实施精准扶贫计划，使困难群众脱贫致富，对贫困户实行购买饲料优惠政策如下： (1)若购买饲料不超过 2000 元，
6、则不给予优惠； (2)若购买饲料超过 2000 元但不超过 5000 元，则按标价给予 9 折优惠； (3)若购买饲料超过 5000 元，其 5000 元内的给予 9 折优惠，超过 5000 元的部分给予 7 折优惠 某贫穷户购买一批饲料，有如下两种方案： 方案一：分两次付款购买，分别为 2880 元和 4850 元； 方案二：一次性付款购买. 否 结束 输出m 是 r0? r=1 开始 输入 m, n 求m除以n的余数r m=n n=r 数学试卷（理科） 第 3 页（共 6 页） 若取用方案二购买此批饲料，则比方案一节省（ ）元 A.540 B.620 C.640 D.800 11. 已知六
7、棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA 平面ABC，2PAAB.则下列命题中正确的 有( ) 平面 PAB平面 PAE； PBAD； 直线 CD 与 PF 所成角的余弦值为 5 5 ； 直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45 ; CD平面 PAE. A. B. C. D. 12.若关于x的方程 11 230 42 xx mmm 在,1上有唯一实数解， 则实数m的取值范围 （ ） 4 3 3 2 0.A或，（ 3 2 0.B，（ 4 1 9 2 0.C或，（ 9 2 0.D，（ 第部分非选择题（共 90 分） 二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13已知向量4
8、2 (, )a，1 1( ,)b，若b(ak b)，则k . 14 6 2 ()x x 的展开式中，常数项是 . 15.已知曲线 2 1 ln(1) 2 fxxx在点 1,1f处的切线的倾斜角为,则 2 2sinsincos . 16在ABC中，角 A，B，C所对应的边分别为 a，b，c，且6cos (2 cos ),6AaC c ，则ABC的 a，b的等量关系式为 ，其面积的最大值为 .(本题第一空 2 分，第二空 3 分） 三.解答（本大题共 5 小题，每题 12 分共 60 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.设 * nN，数列 n a的前n项和为 n S，已知 nnn
9、 ass 22 1 ，且 2 1 1 a，正项的等差数列 n b的首 项为 2，且 321 , 1,bbb成等比数列. (1) 求 n a和 n b的通项公式； (2) 求证： 12 2 7 n bbb aaa. 数学试卷（理科） 第 4 页（共 6 页） 18.如图，已知ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DBCE为平行四边形，F是CD的中点， （1）证明：/OF平面ADE； （2） 若四边形DBCE为矩形， 且四边形DBCE所在的平面与圆O所在的平面互相垂直，22 ACAB， AE 与圆 O 所在的平面的线面角为 600求二面角 D-AE-B 的平面角的余弦值. EDC OB A 1
10、9.已知椭圆)0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x C右焦点与抛物线xy34 2 的焦点重合，以原点为圆心、椭圆短 半轴长为半径的圆与直线 1 l:2 xy相切. （1）求椭圆的方程 （2） 若直线 2 l ： 02 ybx与y轴交点为P， A、 B是椭圆上两个动点， 它们在y轴两侧,PBPA , APB 的平分线与 y 轴重合，则直线 AB 是否过定点，若过定点，求这个定点坐标，若不过定点说明理由. 数学试卷（理科） 第 5 页（共 6 页） 20.2020 年初全球爆发了新冠肺炎疫情，为了防控疫情，某医疗科研团队攻坚克难研发出一种新型防疫产 品，该产品的成本由原料成本及非原料成
11、本组成，每件产品的非原料成本y（元）与生产该产品的数量x （千件）有关，根据已经生产的统计数据，绘制了如下的散点图. 观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用函数 b ya x 对两个变量的关系进行拟合。参考数据（其中 1 i i u x ） ： u 2 u 6 2 1 ui i 6 1 i i y 6 2 1 i i y 6 1 ii i u y 0.4834 5252.44 0.41 0.1681 1.492 306 20858.44 173.8 50.39 （1）求y关于x的回归方程，并求 y 关于 u 的相关系数（精确到 0.01）. （2）该产品采取订单生产模式（根据订单数量
12、进行生产，即产品全部售出）.根据市场调研数据，若该产 品单价定为 80 元，则签订 9 千件订单的概率为 0.7，签订 10 千件订单的概率为 0.3；若单价定为 70 元， 则签订 10 千件订单的概率为 0.3，签订 11 千件订单的概率为 0.7.已知每件产品的原料成本为 30 元，根据 （1）的结果，要想获得更高利润，产品单价应选择 80 元还是 70 元，请说明理由. 参考公式：对于一组数据 11 ,u， 22 ,u，, nn u，其回归直线u的斜率和截距的最小 二乘估计分别为： 1 2 2 1 n ii i n i i unu unu ， u，相关系数 1 22 22 11 n i
13、i i nn ii ii unu r unun . 数学试卷（理科） 第 6 页（共 6 页） 21. 已知函数 ln1 a f xx x ，aR. （1）若 e a 1 ,求证：)(xf有且只有两个零点 （2）a x a xxxafxg 2 2 2)()(有两个极值点 1 x, 212 ()x xx,且不等式 21) (mxxg恒成立，试求 实数m的取值范围. (二)选考部分：共10 分 请考生在第22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答 时，请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直
14、角坐标系 xOy 中，已知曲线 C: 2cos , 3sin , x y (为参数)，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴 建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程cos() 4 a ，点 M(2, 4 ).在直线 l 上，直线 l 与曲线 C 交于 A， B 两点. （1）求曲线 C 的普通方程及直线 l 的参数方程； （2）求OAB 的面积. 23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 f(x)=|x+1|x2|. （1）若 f(x)1，求 x 的取值范围； （2）若 f(x)最大值为 M，且 a+b+c=M，求证：a2+b2+c23. 数学试卷（理科） 第 7 页（共
15、 6 页） 2020 年茂名市高三级第二次综合测试 数学试题参考答案和评分标准(理科数学） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D C D A C D A A C B A 二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13 【答案】3 14 【答案】60 15.【答案】 24 13 16【答案】b=2a ; 12 三.解答（本大题共 5 小题，每题 12 分共 60 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.解： （1）由 nnn ass 22 1 得， nnnn aass 11
16、 22-2 1 分 即 2 1 1 n n a a 2 分 n a是以首项 2 1 ，公比为 2 1 的等比数列 3 分 n n a）（ 2 1 4 分 设等差数列 n b的公差为 d，由2 1 b，且 321 , 1,bbb成等比数列. )22(2) 1( 2 dd 即03-2- 2 dd5 分 0d 3d 6 分 13 nbn 7 分 （2）由（1）得 13 13 ) 2 1 ( n nb aa n 8 分 n bbb aaa 21 = 1352 n aaa 9 分 = 1352 ) 2 1 () 2 1 () 2 1 ( n 10 分 = 3 3132 ) 2 1 ( -1 ) 2 1
17、() 2 1 ( -) 2 1 ( n 11 分 数学试卷（理科） 第 8 页（共 6 页） = 31 2 1 12 -( ) 7 7 27 n 12 分 18.证明： （1）连结 BE，DBCE 平行四边形且 F 为 CD 中点 F 为 BE 中点 1 分 又O 为 AB 的中点/OFAE 2 分 AE平面 ADE，OF平面 ADE 3 分 /OF平面ADE 4 分 （2）矩形DBCE平面 ABC，平面 DBCE平面 ABC=BC，ECBC， EC平面 DBCE EC平面 ABC 5 分 又AB 为圆 O 的直径 ACBC 以 C 点为原点建立如图所示的空间直角坐标系 22 ACAB BC=
18、3，AC=1 由 EC平面 ABC 得，EAC 就是 AE 与平面 ABC 所成的角 由 tan600= AC CE 得，CE=3 6 分 A（1，0，0） ，E（0，0，3） ，D（0，3，3） ，B（0，3，0）7 分 AE=（-1，0，3） ，AD=(-1,3,3),AB=(-1,3,0) 8 分 设平面 AED 的一个法向量),(m 111 zyx ， 由，ADmAEm得 ，0ADm0AEm即 11 111 30 330 xz xyz ，所以) 1 , 0 , 3(m9 分 同理可得，平面 AEB 的一个法向量) 1 , 1 , 3(n 10 分 5 52 25 13 nm nm n,
19、mcos 11 分 二面角 D-AE-B 二面角 D-AE-B 的平面角的余弦值为 5 52 12 分 19.解： （1）抛物线xy34 2 的焦点为)0 ,3(，所以 c=3 1 分 直线:02 yx与圆 222 byx相切， 数学试卷（理科） 第 9 页（共 6 页） bd 1 11 2 2 分 4 222 cba 3 分 椭圆C的方程是 2 2 1 4 x y 4 分 （2）b=1，直线: 2 l02 yx与 y 轴交点 P（0，2） ，5 分 设椭圆上 A、B 两个动点的坐标为： 1122 ( ,)(,)A x yB xy、. AB 方程为：,mkxy 由0448)41 (4)(4 1
20、 4 22222 2 2 mkmxxkmkxx y x mkxy , 41 44 , 41 8 2 2 21 2 21 k m xx k mk xx 得： 6 分 211 1 1 1 2 , 222 x m kK x m k x mkx x y K PBPA 同理得： 8 分 又APB的平分线在 y 轴上 0 44 168 44 28 2 2 2 22 21 21 m mkk m mmk k xx xxm kKK PBPA )()( .10 分 , 0,kPBPAm= 2 1 , 11 分 直线 2 1 : kxyAB恒过定点) 2 1 , 0( 12 分 20.【解析】 （1）令 1 u x
21、 ，则 b ya x 可转化为yabu， 因为 306 51 6 y ， 1 分 所以 6 1 6 22 1 6 173.86 0.41 51 100 1.4926 48.34 0.4830.16841 6 ii i i i u yuy b uu ，2 分 则51 100 0.4110aybu，3 分 所以10 100 y u，因此 y 关于x的回归方程为 100 10 y x ； 4 分 y与 u 的相关系数为： 数学试卷（理科） 第 10 页（共 6 页） 6 1 2 66 2222 11 48.3448.34 6 0.96 0.4834 5252.4450 39 6 . 6 ii i i
22、i ii u yuy r uuyy ，6 分 （2）法一： （i）若产品单价为 80 元，记企业利润为X（元） ， 订单为 9 千件时，每件产品的成本为 100100 103040 99 元， 企业的利润为 100 80409000260000 9 ()（元） ，7 分 订单为 10 千件时，每件产品的成本为 10 100 103050元， 企业的利润为805010000300000()（元） ，8 分 企业利润X（元）的分布列为 X 260000 300000 P 0.7 0.3 所以 260000 0.7 300000 0.3272000EX （元） ；9 分 （ii）若产品单价为 70
23、元，记企业利润为Y（元） ， 订单为 10 千件时，每件产品的成本为 10 100 103050元， 企业的利润为705010000200000()（元） ， 订单为 11 千件时，每件产品的成本为 100100 103040 1111 元， 企业的利润为 100 704011000230000 11 ()（元） ，10 分 企业利润Y（元）的分布列为 Y 200000 230000 P 0.3 0.7 所以 200000 0.3 230000 0.7221000EY （元） ， 11 分 EX EY又 故企业要想获得更高利润，产品单价应选择 80 元. 12 分 法二： （i）若产品单价为
24、80 元，记企业的产量为X（千件） ，其分布列为 X 9 10 P 0.7 0.3 所以9 0.7 10 0.39.3EX 8 分 数学试卷（理科） 第 11 页（共 6 页） 企业的利润为： 100 80409300272000 9 3 () . 9 分 （ii）若产品单价为 70 元，记企业的产量为Y（千件） ，其分布列为 X 10 11 P 0.3 0.7 所以10 0.3 11 0.710.7EY 10 分 企业的利润为： 100 704010700221000 10 7 () . 11 分 272000221000又 故企业要想获得更高利润，产品单价应选择 80 元. 12 分 21
25、. 解:(1)1ln)( x a xxf定义域为), 0( ， 2 / 12)( x ax x a xxf ，又 e a 1 1 分 所以( )f x在) 1 , 0( e 是减函数，在), 1 ( e 是增函数 2 分 又0111 1 ln) 1 ( ee f， 041 1 ln) 1 ( 22 33 ee ee f 所以( )f x在) 1 , 1 ( 3 ee 有唯一零点，且在) 1 , 0( e 也有且只有唯一零点，3 分 同理0111 1 ln) 1 ( ee f，0 1 1 1 2 ee e eefln)( 所以( )f x在),(e e 1 有唯一零点，且在), 1 ( e 也有
26、且只有唯一零点 4 分 所以)(xf有且只有两个零点 5 分 （2）xxxaxg2ln)( 2 定义域为), 0( ， )(xg 有两个极值点 1 x， 212 xxx，即 0 22 22)( 2 / x xxa x x a xg，022 2 axx有两不等实根 )0(, 2121 xxxx 6 分 1 00 2 a ， 且 2 1211 1,22xxaxx， 7 分 数学试卷（理科） 第 12 页（共 6 页） 从而 12 1 01 2 xx, 8 分 由不等式 21) (mxxg 恒成立，得 1 1 2 111 2 1 2 11 2 1 2 1 1 2222 x xxxxx x xaxx
27、x xg m ln)(ln)( 111 1 1 12ln 1 xxx x 恒成立 10 分 令 11 ( )12 ln0 12 h ttttt t , 当 1 0 2 t 时 2 1 ( )12ln0 (1) h tt t 恒成立，所以函数 h t在 1 0, 2 上单调递减， 13 ( )ln2 22 h th ， 11 分 故实数m的取值范围是)2ln 2 3 ,( 12 分 (二)选考部分： 22.解：（）将曲线 C: 2cos , 3sin , x y 消去参数得，曲线 C 的普通方程为： 2 2 1 43 y x .1 分 点 M(2, 4 )在直线cos() 4 a 上，a=2co
28、s() 44 =2. 2 分 cos()2 4 ，展开得 2 2 (cos+sin)=2, 又 xcos，ysin， 直线 l 的直角坐标方程为 x+y2=0, 4 分 显然 l 过点(1, 1), 倾斜角为 3 4 . 直线 l 的参数方程为 2 1, 2 2 1, 2 xt yt (t 为参数). 5 分 （）法一：由（），将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程得： 22 2211 (1)(1)1 4232 tt， 6 分 整理得 2 72 2100tt，显然0 设 A, B 对应的参数为 t1, t2, 则由韦达定理得 12 2 2 7 tt ， 1 2 10 7 t t . 7
29、 分 由参数 t 的几何意义得|AB|=| t1t2|= 2 121 2 ()4ttt t= 2 2 212 210 ()4 777 ， 8 分 数学试卷（理科） 第 13 页（共 6 页） 又原点 O 到直线 l 的距离为 d= |002| 2 2 . 9 分 因此，OAB 的面积为 S= 12 21112 |2 2277 AB d . 10 分 法二：由（）可知，直线 l 的直角坐标方程为 x+y2=0, 联立 22 20 1 43 xy xy ,整理得 2 71640xx，显然0 6 分 设 A, B 对应的坐标为 1122 ( ,),(,)x yxyt1则由韦达定理得 12 16 7
30、xx， 12 4 7 x x . 7 分 所以 222 1212 12 2164 |(1)()42 ()4 777 ABkxxx x 8 分 又原点 O 到直线 l 的距离为 d= |002| 2 2 . v9 分 因此，OAB 的面积为 S= 12 21112 |2 2277 AB d . 10 分 法三：由（）可知，直线 l 的直角坐标方程为 x+y2=0, 联立 22 20 1 43 xy xy ,整理得 2 71640xx，显然0 6 分 设 A, B 对应的坐标为 1122 ( ,),(,)x yxy则由韦达定理得 12 16 7 xx， 12 4 7 x x . 7 分 因为直线
31、l 过椭圆右顶点（2,0） ，所以 7 16 2 2 x， 7 2 2 x8 分 把 7 2 2 x代入直线 l 的方程得 7 12 2 y9 分 因此，OAB 的面积为 S= 7 12 7 12 2 2 1 . 10 分 23解：()由已知 3,2, 21,12,( ,1. ) 3 x xfxx x 1 分 当 x2 时，f(x)=3，不符合； 2 分 当1x2 时，f(x)=2x1，由 f(x)1，即 2x11，解得 x1； 3 分 当 x1 时，f(x)= 3，f(x)1 恒成立. 4 分 综上，x 的取值范围是(,1. 5 分 () ( ) |1|2| |12| 3f xxxxx , 由()知当且仅当 x2 时，f(x)=3， 6 分 所以 M= f(x)Max=3.即 a+b+c=3， 7 分 数学试卷（理科） 第 14 页（共 6 页） 因为 a2+b22ab，a2+c22ac，c2+b22cb， 8 分 所以 2(a2+b2+c2)2(ab+ac+cb) 所以 3(a2+b2+c2)a2+b2+c2+2ab+2ac+2cb=(a+b+c)2=9 9 分 因此(a2+b2+c2)3 10 分
