1、人教A新版必修1第4章 指数函数与对数函数单元测试卷 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A=xZ|xa，集合B=xZ|2x4，若AB只有4个子集，则a的取值范围是A. (-2,-1B. -2,-1C. 0,1D. (0,12. 下列说法中，正确的是()任取xR都有3x2x；当a1时，任取xR都有；y=(3)-x是增函数；y=2|x|的最小值为1；在同一坐标系中，y=2x与y=2-x的图象对称于y轴A. B. C. D. 3. 函数f(x)=2-xx-1+log2x的定义域为()A. (0,2B. (0,2)C. (0,1)(1,2)D. (0,1)(1,24. 设a0，
2、则函数y=|x|(x-a)的图象大致形状是()A. B. C. D. 5. 已知函数f(x)=x+1x-2,x2x2+2,x2.，则ff(1)=()A. -12B. 2C. 4D. 116. 若函数f(x)=2x+12x-a是奇函数，则使f(x)3成立的x的取值范围为()A. B. (-1,0)C. (0,1)D. (1,+)7. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与MN最接近的是( )(参考数据：lg30.48)A. 1033B. 1053C. 1073D. 10938. 设y=f(x)是定义在R上以2为周期的偶
3、函数，已知x(0,1)时，f(x)=log12(1-x)，则函数f(x)在(1,2)上( )A. 是增函数，且f(x)0C. 是减函数，且f(x)09. 已知f(x)是定义在(-,+)上的偶函数，且在(-,0上是增函数设a=flog47,b=flog123,c=f(216) 则a，b，c的大小关系是()A. cabB. cbaC. bcaD. ab0,a1)有两个零点，则实数a的取值范围为_三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 计算：(1)log535-2log573+log57-log51.8；(2)log2748+log212-12log242-118. 设a0，f(x)=2x
4、a+a2x是R上的偶函数()求a的值；()证明：f(x)在(0,+)上是增函数19. 设f(x)=kax-a-x(a0且a1)是定义域为R的奇函数(1)求k的值；(2)若f(1)0，求不等式f(x2+2x)+f(x-4)0的解集；(3)若f(1)=32，且g(x)=a2x+a-2x-4f(x)，求g(x)在区间1,+)上的最小值20. 已知函数的图象关于原点对称，其中a为常数(1)求a的值；(2)当x(1,+)时，恒成立，求实数m的取值范围；(3)若关于x的方程f(x)=log12(x+k)在2,3上有解，求k的取值范围21. 设正数x，y，z满足xa=yb=zc，且1a+1b=1c，求证：z
5、=xy22. 定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23，且对任意x，yR都有f(x+y)=f(x)+f(y)(1)求证：f(x)为奇函数；(2)若f(k3x)+f(3x-9x-2)0对任意xR恒成立，求实数k的取值范围- 答案与解析 -1.答案：D解析：本题考查实数的取值范围的求法，考查交集、子集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力解：集合A=xZ|xa，B=xZ|2x4，B=xZ|x2，AB有4个子集，AB=1,2，00，解得0x1，或1x0，由此能求出结果本题考查函数的定义域的求法，是基础题解题时要认真审题，仔细解答4.答案：B解析：本题考查分段函数，考查函数的化简，考查数
6、形结合的数学思想，属于中档题确定分段函数的解析式，与x轴的交点坐标为(a,0)，(0,0)，及对称性即可得到结论解：函数y=|x|(x-a)=x(x-a),x0-x(x-a),x0，当x0，函数y=x(x-a)的图象为开口向上的抛物线的一部分，与x轴的交点坐标为(0,0)，(a,0)，当x2x2+2,x2.，f(1)=12+2=3，ff(1)=f(3)=3+13-2=4故选：C推导出f(1)=12+2=3，从而ff(1)=f(3)，由此能求出结果本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力和思维能力，考查函数与方程思想，是基础题6.答案：C解析：本题主要考查函数的奇偶性及不等
7、式的求解，考查考生的运算求解能力，属于基础题由f(x)为奇函数，根据奇函数的定义可求a，代入即可求解不等式解：f(x)=2x+12x-a是奇函数，f(-x)=-f(x)，即2-x+12-x-a=2x+1a-2x，整理可得，1+2x1-a2x=1+2xa-2x，1-a2x=a-2xa=1，f(x)=2x+12x-1，f(x)=2x+12x-13，2x+12x-1-3=4-22x2x-10，整理可得，2x-22x-10，12x2，解得0x1，故选：C7.答案：D解析：本题考查指数与对数的运算，属于基础题目先设MN=x=33611080，两边取对数得到lgx的值，进而得出MN的近似值解：设MN=x=
8、33611080，两边取对数，得lgx=lg33611080=lg3361-lg1080=361lg3-8093.28，所以x1093.28，即MN最接近1093故选D8.答案：D解析：设x(-1,0)，则-x(0,1)，故f(-x)=log12(1+x)，又f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，故f(x)=log12(1+x)，再令1x2，则-1x-20，f(x-2)=log121+(x-2)，f(x)=log12(x-1)，由1x2可得0x-109.答案：B解析：利用对数和指数幂的运算性质，结合函数单调性和奇偶性的性质是解决本题的关键本题主要考查函数值的大小比较，根据函数的奇偶性和单调性
9、之间的关系以及对数的运算性质是解决本题的关键解：f(x)是定义在(-,+)上的偶函数，b=f(log123)=b=f(-log23)=f(log23)，log23=log49log47，21.62，log47log49f(log49)f(21.6)，即cba，故选B10.答案：B解析：本题目主要考查复合函数的关于减函数的性质，对数函数的性质，属于一般题解析：解：y=loga(3-ax)在0,1上是x的减函数03-a3-ax3 即a1 综上所述：1a0，求得-1x3，故函数的定义域为x|-1x3函数f(x)=log2(-x2+2x+3)的单调递增区间，即t=-x2+2x+3在定义域内的增区间而t
10、=-x2+2x+3在定义域内的增区间为(-1,1)，故选：C12.答案：C解析：解：函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(log2a)+f(log12a)2f(1)，等价为f(log2a)+f(-log2a)=2f(log2a)2f(1)，即f(log2a)f(1)函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间0,+)单调递增，f(log2a)f(1)等价为f(|log2a|)f(1)即|log2a|1，-1log2a1，解得12a2，故a的最小值是12，故选：C根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行化简，即可得到结论本题主要考查对数的基本运算以及函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质
11、的综合应用13.答案：(0,4解析：t=x2+2x-2=(x+1)2-3-2，所以00；a224+a0；-40，所以根据二次函数的单调性及最小值便有a224+a0，解该不等式组即得a的取值范围考查复合函数的单调性，二次函数的单调性及最小值，以及对数函数的单调性及定义域16.答案：a1解析：本题考查指数函数图像与性质的应用及函数零点存在性定理的应用，属于中档题目根据题设条件，分别作出令g(x)=ax(a0，且a1)，h(x)=x+a，分0a1两种情况的图象，结合图象的交点坐标进行求解作出图象，数形结合，事半功倍解：令g(x)=ax(a0，且a1)，h(x)=x+a，分0a1两种情况在同一坐标系中
12、画出两个函数的图象，如图，若函数f(x)=ax-x-a有两个不同的零点，则函数g(x)，h(x)的图象有两个不同的交点根据画出的图象只有当a1时符合题目要求故答案为a117.答案：解：(1)原式=log5(57)-2(log57-log53)+log57-log595=log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+log55=2(2)原式=log2748+log212-log242-log22=log271248422=log2122=log21-32=-32解析：本题考查了对数的运算，是基础题。(1)根据对数的运算法则进行解答(2)根据对数的运算法则进行解答1
13、8.答案：解：(1)a0，f(x)=2xa+a2x是R上的偶函数f(-x)=f(x)，即2-xa+a2-x=2xa+a2x，1a2x+a2x=2xa+a2x，2x(a-1a)-12x(a-1a)=0，(a-1a)(2x+12x)=0，2x+12x0，a0，a-1a=0，解得a=1，或a=-1(舍去)，a=1；(2)证明：由(1)可知f(x)=2x+12x，f(x)=2xln2-2xln222x=2xln2(1-122x)=2xln2(22x-122x) x0，22x1，f(x)0，f(x)在(0,+)上单调递增；解析：(1)根据偶函数的性质f(-x)=f(x)，代入即可求出a的值；(2)由(1
14、)求出了f(x)的解析式，对f(x)进行求导，证明其导数大于0即可；本题主要考查函数单调性的判断问题函数的单调性判断一般有两种方法，即定义法和求导判断导数正负19.答案：解：(1)f(x)是定义域为R的奇函数，f(0)=0，可k-1=0，即k=1，(2)f(x)=ax-a-x(a0，且a1) f(1)0，a-1a0，又a0且a1，a1f(x)=axlna+lnaax，a1，lna0，而ax+1ax0，f(x)0，f(x)在R上单调递增，原不等式化为：f(x2+2x)f(4-x)，x2+2x4-x，即x2+3x-40，x1或x1或x32，即x=log2(1+2)时，h(t)取得最小值-2，即有g
15、(x)在区间1,+)上的最小值为-2解析：(1)根据f(x)是定义域为R的奇函数，可得k=1，(2)f(x)=ax-a-x(a0，且a1)，利用f(1)0，可得a1，从而可证f(x)在R上单调递增，故原不等式化为x2+2x4-x，从而可求不等式的解集；(3)根据f(1)=32，确定a=2的值，从而可得函数g(x)=22x+2-2x-4(2x-2-x)=(2x-2-x)2-4(2x-2-x)+2.令t=f(x)=2x-2-x，由(1)可知f(x)=2x-2-x为增函数，可得tf(1)=32，令h(t)=t2-4t+2=(t-2)2-2(t32)，运用二次函数的最值的求法，即可得到最小值本题考查函
16、数单调性与奇偶性的综合，考查解不等式，考查二次函数最值的研究，解题的关键是确定函数的单调性，确定参数的范围20.答案：解：(1)函数f(x)的图象关于原点对称，函数f(x)为奇函数，f(-x)=-f(x)，即，解得：a=-1或a=1(舍)；(2)f(x)+log12(x-1)=log12x+1x-1+log12(x-1)=log12(x+1)，x1时，x(1,+)时，恒成立，m-1；(3)由(1)得：，即，即x+1x-1=x+k，即k=2x-1-x+1在2,3上有解，g(x)=2x-1-x+1在2,3上递减，g(2)=1，g(3)=-1，g(x)的值域是-1,1，k-1,1解析：本题考查了函数
17、的单调性、对数函数及其性质、函数恒成立、奇偶性以及函数的值域问题，是中档题(1)根据函数的奇偶性，求出a的值即可；(2)求出，根据函数的单调性求出m的范围即可；(3)问题转化为k=2x-1-x+1在2,3上有解，即g(x)=2x-1-x+1在2,3上递减，根据函数的单调性求出g(x)的值域，从而求出k的范围即可21.答案：证明：设xa=yb=zc=t(t0，且t1)，则a=logxt，b=logyt，而1a+1b=1c，logtxy=logtz，即z=xy解析：本题考查不等式的证明，注意运用对数的运算以及不等式的性质，考查推理能力，属于基础题22.答案：(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(
18、y)(x,yR)，令x=y=0，代入式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即f(0)=0令y=-x，代入式，得f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有0=f(x)+f(-x).即f(-x)=-f(x)对任意xR成立，所以f(x)是奇函数(2)解：f(3)=log230，即f(3)f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数f(k3x)-f(3x-9x-2)=f(-3x+9x+2)，k3x0，分离系数得：k-1+t+2t，问题等价于k0恒成立-1+t+2t-1+22，当且仅当t=2时等号成立k(-,-1+22)解析：本题主要考查了
19、抽象函数及其应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题说明：问题(2)本题解法：是根据函数的性质f(x)是奇函数且在xR上是增函数，把问题转化成分离系数法(1)欲证f(x)为奇函数即要证对任意x都有f(-x)=-f(x)成立在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明(2)先将不等关系f(k3x)+f(3x-9x-2)0转化成f(k3x)f(-3x+9x+2)，再结合函数的单调性去掉“f”符号，转化为整式不等关系，最后利用分离系数法即可求实数k的取值范围
