1、20202020 年年 高考二轮复习专项突破高考二轮复习专项突破 目录 第一部分 方法篇客观题的解题技法 5 技法一 排除法 5 技法二 特值法 6 技法三 图解法(数形结合法) . 7 技法四 构造法 7 技法五 估算法 8 第二部分 基础篇基础板块精准练 9 第 1 讲 集合、复数、常用逻辑用语 9 考点一 集合 9 考点二 复数 10 考点三 常用逻辑用语 10 第 2 讲 平面向量与算法 . 15 考点一 平面向量的线性运算 15 考点二 平面向量的数量积 15 考点三 算法 16 第 3 讲 不等式与合情推理. 23 考点一 不等式的性质与解法 23 考点二
2、线性规划问题 23 考点三 基本不等式 25 考点四 合情推理 26 第 4 讲 排列、组合、二项式定理（仅理科）* 31 考点一 排列、组合的应用 31 考点二 二项式定理 31 第 5 讲 数学文化 . 36 考点一 立体几何中数学文化 36 考点二 数列中的数学文化 37 考点三 算法中的数学文化 38 考点四 概率中的数学文化 39 考点五 函数中的数学文化 41 第三部分 重点板块重点丏项突破 48 丏题一 三角函数与解三角形 . 48 第 1 讲 三角函数的图象与性质 48 考点一 三角函数的定义、诱导公式及基本关系 48 考点二 三角函数的图象与解析式 50 考点三 三角函数的性
3、质 51 考点四 三角函数图象与性质的综合应用 52 第 2 讲 三角恒等变换与解三角形 59 考点一 三角恒等变换 59 考点二 利用正、余弦定理解三角形 61 考点三 解三角形的综合问题 62 丏题二 数 列 69 第 1 讲 等差数列、等比数列 69 第 2 讲 数列通项与求和 . 77 考点一 an与 Sn关系的应用 . 77 考点二 数列求和 78 丏题三 立体几何 85 第 1 讲 空间几何体的三视图、表面积及体积 . 85 考点一 空间几何体的三视图、直观图与截面图 85 考点二 几何体的表面积与体积 86 考点三 与球有关的切、接问题 88 第 2 讲 空间位置关系的判断与证明
4、 96 考点一 空间点、线、面的位置关系 96 考点二 空间平行、垂直关系的证明 98 考点三 平面图形中的折叠问题 99 第 3 讲 立体几何中的向量方法* . 107 考点一 利用空间向量证明空间位置关系 107 考点二 利用空间向量求空间角 108 考点三 利用空间向量解决探索性问题 110 丏题四 概率与统计 115 第 1 讲 概率、随机变量及其分布列 . 115 考点一 古典概型与几何概型 115 考点二 互斥事件、相互独立事件的概率 116 考点三 随机变量的分布列、均值与方差 118 考点四 正态分布 122 考点五 概率问题中的交汇与创新 124 第 2 讲 统计、统计案例
5、134 考点一 抽样方法 134 考点二 用样本估计总体 136 考点三 统计案例 138 丏题五 解析几何 . 159 第 1 讲 直线与圆 159 考点一 直线的方程 159 考点二 圆的方程 160 考点三 直线与圆的位置关系 161 第 2 讲 圆锥曲线的定义、方程与性质 . 170 考点一 圆锥曲线的定义与标准方程 170 考点二 圆锥曲线的性质 172 考点三 直线与圆锥曲线 173 第 3 讲 圆锥曲线的综合问题 . 187 第 1 课时 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 188 考点一 圆锥曲线中的最值问题 188 考点二 圆锥曲线中的范围问题 190 考点三 圆锥曲线中的证明
6、问题 193 第 2 课时 圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题 199 考点一 定点问题 199 考点二 定值问题 202 考点三 探索性问题 204 丏题六 函数与导数 211 第 1 讲 函数的图象与性质 211 考点一 函数的概念及其表示 211 考点二 函数的图象及应用 212 考点三 函数的性质及应用 214 第 2 讲 基本初等函数、函数与方程 . 221 考点一 基本初等函数的图象与性质 221 考点二 函数与方程 222 第 3 讲 导数的简单应用 229 考点一 导数的几何意义 229 考点二 利用导数研究函数的单调性 230 考点三 利用导数研究函数的极值(最值)问题 .
7、234 第 4 讲 导数的综合应用 246 第 1 课时 导数与不等式 247 考点一 单变量不等式的证明 247 考点二 双变量不等式的证明 250 考点三 不等式的恒成立问题 252 第 2 课时 导数与函数的零点问题 . 260 考点一 确定函数零点的个数 260 考点二 根据函数零点的个数确定参数的取值范围 262 考点三 函数零点性质的探索与证明 264 丏题七 选考系列 . 271 第 1 讲 坐标系与参数方程 271 考点一 极坐标方程及其应用 272 考点二 参数方程及其应用 275 考点三 极坐标与参数方程的综合应用 278 第 2 讲 不等式选讲 290 考点一 含绝对值不
8、等式的解法 290 考点二 不等式的证明 294 考点三 与不等式有关的最值问题 296 第一部分 方法篇客观题的解题技法 技法一技法一 排除法排除法 例 1 (1)(2019 全国卷)函数 y 2x3 2x2 x在6,6的图象大致为( ) (2)若 ab0，且 ab1，则下列不等式成立的是( ) Aa1 b b 2a0)的焦 点重合，若 e1，e2分别为 C1，C2的离心率，则( ) Amn 且 e1e21 Bmn 且 e1e2e2 020f(0) De2 020f(2 020)f(0)，f(2 020)xf(x)恒成立， 则不等式 x2f 1 x f(x)0 的解集为_ 2已知 f(x)x
9、1 2asin x1 x2 (aR)，则 f(3)f(2)f(1)f(1)f(2)f(3) _. 技法五技法五 估算法估算法 例 5 (2019 全国卷)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至 肚 脐 的 长 度 与 肚 脐 至 足 底 的 长 度 之 比 是 51 2 错误错误! !， 著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长 度 与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 2 .若某人满足上述两个黄金分割比例， 且腿长为 105 cm，头顶至脖子下端的长度为 26 cm，则其身高可能是( ) A165 cm B175 cm C185 cm D190 cm 【变式训练】 已知 sin
10、m3 m5，cos 42m m5 20 BxR，x2x10 Cx0R，x20x010 DxR，x2x1x2 Cab0 的充要条件是a b1 D若 x，yR，且 xy2，则 x，y 中至少有一个大于 1 3(2019 浙江高考)若 a0，b0，则“ab4”是“ab4”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4(2019 天津高考)设 xR，则“x25xy2，命题 q：若 x y.在命题pq；pq；p(綈 q)；(綈 p)q 中，真命题是( ) A B C D 10(2019 合肥市第一次质检测)已知偶函数 f(x)在0，)上单调递增，则对实数
11、 a，b，“a|b|”是“f(a)f(b)”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 11 若x A ， 则 1 x A ， 就 称A是 伙 伴 关 系 集 合 ， 集 合M 1，0，1 3， 1 2，1，2，3，4 的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为( ) A15 B16 C28 D25 12(2019 安徽五校联盟第二次质检)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，则“Sn的 最大值是 S8”是“ a7a8a90 a7a100 B3a0 D|a|b| 2已知关于 x 的不等式(ax1)(x1)0，q：1x 2 |x|20 在区
12、间1,5上有解，则 a 的取值范围是_ 考点二考点二 线性规划问题线性规划问题 1(2019 天津高考)设变量 x，y 满足约束条件 xy20， xy20， x1， y1， 则目标函数 z 4xy 的最大值为( ) A2 B3 C5 D6 2 (2019 洛阳市统考)如果点 P(x， y)满足 2xy20， x2y10， xy20， 点 Q 在曲线 x2(y2)2 1 上，则|PQ|的取值范围是( ) A 51， 101 B 51， 101 C 101,5 D 51,5 3某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为 2 千元/件、1 千元/件甲、乙两 种产品都需要在 A，B 两种设备上加工，生产
13、一件甲产品需用 A 设备 2 小时，B 设备 6 小时，生产一件乙产品需用 A 设备 3 小时，B 设备 1 小时A，B 两种设备每月可使用 时间数分别为 480 小时、960 小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的 最大值为( ) A320 千元 B360 千元 C400 千元 D440 千元 4(2019 全国卷)若变量 x，y 满足约束条件 2x3y60， xy30， y20， 则 z3xy 的最 大值是_ 5(2019 湖南省湘东六校联考)若变量 x，y 满足 3xy10， 3xy110， y2， 且 zaxy 的 最小值为1，则实数 a 的值为_ 三种常见的目标函数及其求
14、法 (1)截距型：形如 zaxby，求这类目标函数的最值常将函数 zaxby 转化为 y a bx z b，通过求直线的截距 z b的最值间接求出 z 的最值； (2)距离型：形如 z(xa)2(yb)2，设动点 P(x，y)，定点 M(a，b)，则 z|PM|2； (3)斜率型：形如 zyb xa，设动点 P(x，y)，定点 M(a，b)，则 zkPM. 考点三考点三 基本不等式基本不等式 1 已知正数 a， b 的等比中项是 2， 且 mb1 a， na 1 b， 则 mn 的最小值是( ) A3 B4 C5 D6 2 已知 P(a， b)为圆 x2y24 上任意一点， 则当 1 a2 4
15、 b2取最小值时， a 2 的值为( ) A4 5 B2 C4 3 D3 3(2019 天津高考)设 x0，y0，x2y5，则x12y1 xy 的最小值为_ 4 已知直线 l： axbyab0(a0， b0)经过点(2,3)， 则 ab 的最小值为_ 5(2019 四川成都青羊区模拟改编)已知四面体 ABCD 的所有棱长都为 6，O 是该 四面体内一点， 且点 O 到平面 ABC， 平面 ACD， 平面 ABD， 平面 BCD 的距离分别为1 3， x，1 6和 y，则 xy_， 1 x 1 2y的最小值是_ 考点四考点四 合情推理合情推理 1(2019 全国卷)在“一带一路”知识测验后，甲、
16、乙、丙三人对成绩进行预测 甲：我的成绩比乙高 乙：丙的成绩比我和甲的都高 丙：我的成绩比乙高 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低 的次序为( ) A甲、乙、丙 B乙、甲、丙 C丙、乙、甲 D甲、丙、乙 2甲、乙、丙三人中，一人是教师，一人是记者，一人是医生，已知：丙的年龄 比医生大，甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小根据以上情况，下列判断正确的 是( ) A甲是教师，乙是医生，丙是记者 B甲是医生，乙是记者，丙是教师 C甲是医生，乙是教师，丙是记者 D甲是记者，乙是医生，丙是教师 3(2019 柳州模拟)给出以下数对序列： (1,1) (1,2)(2,1
17、) (1,3)(2,2)(3,1) (1,4)(2,3)(3,2)(4,1) 记第 i 行的第 j 个数对为 aij，如 a43(3,2)，则 anm( ) A(m，nm) B(m1，nm) C(m1，nm1) D(m，nm1) 4我国古代数学名著九章算术中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又 割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”其体现的是一种无限与有限的转化过 程，比如在 22 2中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值 x，这 可以通过方程 2xx 确定 x2，则 1 1 1 1 1 ( ) A 51 2 B 51 2 C1 5 2 D1 5 2 5 在平面内， 三角形的面积为 S
18、， 周长为 C， 则它的内切圆的半径 r2S C .在空间中， 三棱锥的体积为 V，表面积为 S，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球(球面与三 棱锥的各个面均相切)的半径 R_. 【课后专项练习】【课后专项练习】 一、选择题 1(2019 石家庄市质量检测)已知 a0b，则下列不等式一定成立的是( ) Aa2 1 2 b 2已知不等式 x22x30 的解集为 A，不等式 x2x60 的解集为 B，不等式 x2axb0 的解集为 AB，则 ab( ) A1 B0 C1 D3 3已知 aR，不等式x3 xa1 的解集为 p，且2p，则 a 的取值范围为( ) A(3，) B(3,2) C(，2
19、)(3，) D(，3)2，) 4若关于 x 的不等式 x22ax10 在0，)上恒成立，则实数 a 的取值范围 为( ) A(0，) B1，) C1,1 D0，) 5(2019 浙江高考)若实数 x，y 满足约束条件 x3y40， 3xy40， xy0， 则 z3x2y 的 最大值是( ) A1 B1 C10 D12 6(2019 长沙市统一模拟考试)若 a0，b0，abab，则a b 的最小值为( ) A2 B4 C6 D8 7已知函数 f(x) x2ax，x0， 2x1，x0， 若不等式 f(x)10 在 R 上恒成立，则实数 a 的取值范围为( ) A(，0) B2,2 C(，2 D0,
20、2 8(2019 赤峰模拟)在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警 察询问时， 甲说： “主要责任在乙”； 乙说： “丙应负主要责任”； 丙说： “甲说的对”； 丁说：“我不应负主要责任”四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要 责任的人是( ) A甲 B乙 C丙 D丁 9 (2019 江西八所重点中学联考)已知实数 x， y 满足 xy10 xy10 x3， ， 则 zxy4 x1 的最小值是( ) A1 4 B2 C5 4 D2 10(2019 大庆模拟)从 1 开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框 架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内
21、，则这九个数的和可以为 ( ) A2 097 B2 112 C2 012 D2 090 11某企业生产甲、乙两种产品均需用 A，B 两种原料，已知生产 1 吨每种产品所 需原料及每天原料的可用限额如表所示如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万 元、4 万元，则该企业每天可获得的最大利润为( ) 甲 乙 原料限额 A/吨 3 2 12 B/吨 1 2 8 A.15 万元 B16 万元 C17 万元 D18 万元 12若两个正实数 x，y 满足 1 3x 3 y1，且不等式 x y 4n 213n 12 0 有解，则实数 n 的取值范围是( ) A. 25 12，1 B ，2
22、5 12 (1，) C(1，) D ，25 12 二、填空题 13不等式3x1 2x 1 的解集为_ 14若 x，y 满足约束条件 xy0， 2xy6， xy2， 则 zx3y 的最小值是_，最大 值是_ 15 (2019 洛阳市统考)已知x0， y0， 且1 x 2 y1， 则xyxy的最小值为_ 16(2019 北京高考改编)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 C：x2 y21|x|y 就是其中之一(如图)给出下列三个结论： 曲线 C 恰好经过 6 个整点(即横、纵坐标均为整数的点)； 曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 2； 曲线 C 所围成的“心形”区域的面积
23、小于 3. 其中，所有正确结论的序号是_ 第第 4 讲讲 排列、组合、二项式定理排列、组合、二项式定理（仅理科）（仅理科）* 考点一考点一 排列、组合的应用排列、组合的应用 1安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则 不同的安排方式共有( ) A12 种 B18 种 C24 种 D36 种 2从 1,2,3，10 中选取三个不同的数，使得其中至少有两个相邻，则不同的选 法种数是( ) A72 B70 C66 D64 3.如图，某圆形花坛被其内接三角形分成四部分，现计划在这四部分种植花卉，如 果仅有 5 种花卉可供选择，要求
24、每部分种植 1 种花卉，并且相邻两 部 分种植不同的花卉，则不同的种植方法有( ) A360 种 B320 种 C108 种 D96 种 4(2019 惠州模拟)红海行动是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海 军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完 成 A，B，C，D，E，F 六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求，重点任务 A 必须 排在前三位，且任务 E，F 必须排在一起，则这六项任务完成顺序的不同安排方案共有 ( ) A240 种 B188 种 C156 种 D120 种 考点二考点二 二项式定理二项式定理 1二项式 1 x2x 2 9 的展开式中
25、，除常数项外，各项系数的和为( ) A671 B671 C672 D673 2已知(1x)n的展开式中第 5 项与第 7 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式 系数和为( ) A29 B210 C211 D212 3已知(x2)9a0a1xa2x2a9x9，则(a13a35a57a79a9)2(2a24a4 6a68a8)2的值为( ) A39 B310 C311 D312 4(2019 全国卷)(12x2)(1x)4的展开式中 x3的系数为( ) A12 B16 C20 D24 5(2019 浙江高考)在二项式( 2x)9的展开式中，常数项是_，系数为有 理数的项的个数是_ 6 (2019
26、南昌模拟)设(x23x2)5a0a1xa2x2a10x10， 则a1等于_ 【课后专项练习】【课后专项练习】 一、选择题 1(2019 重庆模拟)从 5 名学生中选出 4 名分别参加数学、物理、化学、生物四科 竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为( ) A48 B72 C90 D96 2. 3x 1 x 6 的展开式中，有理项共有( ) A1 项 B2 项 C3 项 D4 项 3(2019 济南模拟)已知(2x1)4a0a1(x1)a2(x1)2a3(x1)3a4(x1)4， 则 a2( ) A18 B24 C36 D56 4在(1x)5(2x1)的
27、展开式中，含 x4项的系数为( ) A5 B15 C25 D25 5(2019 安庆模拟)在( xx)6 11 y 5 的展开式中，x 4 y2项的系数为( ) A200 B180 C150 D120 6已知(2x1)5a5x5a4x4a3x3a2x2a1xa0，则|a0|a1|a5|( ) A1 B243 C121 D122 7在某班进行的演讲比赛中，共有 5 位选手参加，其中 3 位男生，2 位女生，如果 2 位女生不能连着出场，且男生甲不能排在第一个出场，那么不同出场顺序的排法种数 为( ) A12 B24 C36 D60 8(2019 新余模拟)高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂
28、参加社会实践， 但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有( ) A16 种 B18 种 C37 种 D48 种 9某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课要求 语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课方案的种数是 ( ) A16 B24 C8 D12 10.如图所示 22 方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是 1,2,3,4 中的任 何一个，允许重复若填入 A 方格的数字大于 B 方格的数字，则不同的填法共有( ) A B C D A192 种 B128 种 C96 种 D12 种 11在二项式 x1 x n 的展开式
29、中恰好第五项的二项式系数最大，则展开式中含有 x2项的系数是( ) A35 B35 C56 D56 12某校毕业典礼由 6 个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求： 节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的 编排方法共有( ) A120 种 B156 种 C188 种 D240 种 二、填空题 13(2019 郑州模拟)已知二项式(2x3)n的展开式中二项式系数之和为 64，则展开 式中 x2的系数为_ 14 (2019 上海浦东新区一模改编)已知二项式 x 1 24x n 的展开式中， 前三项的二 项式系数之和为 37，则 n_，展开式中的第五
30、项为_ 15为了迎接植树节的到来，某班现从 6 名男班委和 4 名女班委中选取 3 人，参加 义务植树活动，若男、女班委至少各有一人，则不同选法的种数为_ 16某学校有 5 位教师参加某师范大学组织的暑期骨干教师培训，现有 5 个培训项 目，每位教师可任意选择其中一个项目进行培训，则恰有两个培训项目没有被这 5 位教 师中的任何一位教师选择的情况数为_种 第第 5 讲讲 数学文化数学文化 考点一考点一 立体几何中数学文化立体几何中数学文化 1 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委 米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆 放米(
31、如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺， 问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺， 圆周率约为 3，估算出堆放的米约有( ) A14 斛 B22 斛 C36 斛 D66 斛 2(2019 浙江高考)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同， 则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式 V柱体Sh，其中 S 是 柱体的底面积，h 是柱体的高若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体 积(单位：cm3)是( ) A158 B162 C182 D324 3 九
32、章算术中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如，将底面为直角三角形 的直三棱柱称为堑堵 将一堑堵沿其一顶点与相对的棱所在平面切开， 得到一个阳马(底 面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均为直角三角形的 四面体)在如图所示的堑堵 ABC - A1B1C1中，AA1AC5，AB3，BC4，则阳马 C1- ABB1A1的外接球的表面积是( ) A25 B50 C100 D200 4(2019 全国卷)学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术 制作模型如图，该模型为长方体 ABCD- A1B1C1D1挖去四棱锥 O- EFGH 后所得的几何体其中 O 为长方体的中心，E，F，
33、G， H 分别为所在棱的中点， ABBC6 cm， AA14 cm.3D 打印所用原 料密度为 0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g. 5(2019 全国卷)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的 形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多 面体”(图)半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体 体现了数学的对称美图是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个 正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1.则该半正多面体共有_个面，其棱长为 _ 考点二考点二 数列中的数学文化数列中的数学文化
34、1大衍数列，来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解 释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经 历过的两仪数量总和， 是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题 其前 10 项依次是 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，则此数列的第 20 项为( ) A220 B200 C180 D162 2 九章算术中有一题：今有牛、马、羊食人苗苗主责之粟五斗羊主曰：“我 羊食半马” 马主曰：“我马食半牛”今欲衰偿之，问各出几何其意思是：今有牛、 马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟羊主人说：“我羊所吃的
35、禾苗只有 马的一半 ”马主人说： “我马所吃的禾苗只有牛的一半 ”若按此比例偿还， 牛、 马、 羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿( ) A.50 7 斗粟 B10 7 斗粟 C.15 7 斗粟 D20 7 斗粟 3“斐波那契”数列是由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的数列中的一系 列数字常被人们称为神奇数具体数列为：1,1,2,3,5,8,13，即从该数列的第三项开 始，每个数字都等于前两个相邻数字之和已知数列an为“斐波那契”数列，Sn为数 列an的前 n 项和，若 a2 021m，则 S2 019( ) A2m B2m1 2 Cm1 Dm1 考点三考点三 算法中的
36、数学文化算法中的数学文化 1公元三世纪中期，数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边 形面积可无限逼近圆的面积，并因此创立了割圆术利用割圆术，刘徽得到了圆周率精 确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”如图是利用刘徽的割圆术设 计的程序框图，则输出的 n 为(参考数据：sin 150.258 8，sin 7.50.130 5)( ) A12 B24 C36 D48 21927 年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于任意一个正整数，如果 它是奇数，对它乘 3 再加 1，如果它是偶数，对它除以 2，这样循环，最终结果都能得 到 1.该猜
37、想看上去很简单， 但有的数学家认为“该猜想任何程度的解决都是现代数学的 一大进步，将开辟全新的领域”至于如此简单明了的一个命题为什么能够开辟一个全 新的领域，这大概与其蕴含的“奇偶归一”思想有关如图是根据考拉兹猜想设计的一 个程序框图，则处应填写的条件及输出的结果 i 分别为( ) Aa 是偶数？ 6 Ba 是偶数？ 8 Ca 是奇数？ 5 Da 是奇数？ 7 考点四考点四 概率中的数学文化概率中的数学文化 1(2019 全国卷)西游记 三国演义 水浒传和红楼梦是中国古 典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情 况，随机调查了 100 位学生，其中阅读过西游记
38、或红楼梦的学生共有 90 位， 阅读过红楼梦的学生共有 80 位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共 有 60 位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( ) A0.5 B0.6 C0.7 D0.8 2 九章算术是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾五步，股一十二 步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为 5 步和 12 步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的 概率是( ) A. 15 B2 5 C.2 15 D4 15 3齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐
39、王的上等马，田忌 的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现 从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，田忌获胜的概率是( ) A.1 3 B1 4 C.1 5 D1 6 4 九章算术是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角 梯形的田称为“邪田”， 称底是“广”， 称高是“正从”， “步”是丈量土地的单位 现 有一邪田，广分别为十步和二十步；正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的 圭田若在邪田内随机种植一株茶树，求该株茶树恰好种在圭田内的概率为( ) A. 2 15 B2 5 C. 4 15 D1 5 5.太极
40、图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成 是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形 式美按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆 O 被函数 y3sin 6x 的图象分割为两个对称的鱼形图案，如图所示，其中 小圆 的半径均为 1，现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( ) A 1 36 B 1 18 C 1 12 D1 9 考点五考点五 函数中的数学文化函数中的数学文化 1.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”如图 所 示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相 互 转化、对称统一的形式美、和谐美定义：图象能够将
41、圆 O 的周 长 和面积同时等分成两部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，给 出 下列命题： 对于任意一个圆 O，其“太极函数”有无数个； 函数 f(x)ln(x2 x21)可以是某个圆的“太极函数”； 正弦函数 ysin x 可以同时是无数个圆的“太极函数”； 函数 yf(x)是“太极函数”的充要条件为函数 yf(x)的图象是中心对称图形 其中正确的命题为( ) A B C D 2.在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖 臑，如图所示，鳖臑 ABCD 中，AB平面 BCD，且 BDCD，AB BDCD，点 P 在棱 AC 上运动，设 CP 的长度为 x，若PBD 的面积 为 f(
42、x)，则函数 yf(x)的图象大致是( ) 【课后专项练习】【课后专项练习】 一、选择题 1我国古代的天文学和数学著作周髀算经中记载：一年有二十四个节气，每 个节气晷(u)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长 度) 二十四个节气及晷长变化如图所示， 相邻两个节气晷长的变化量相同， 周而复始 若 冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之 后的那个节气(小暑)晷长是( ) A五寸 B二尺五寸 C三尺五寸 D四尺五寸 2.随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，又有了新的用武 之地在计算机应用领域，图标成了具
43、有明确指代含义的计算机图 形如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标，该图标共 分为三部分第一部分为外部的八个全等的矩形，每一个矩形的长为 3， 宽为 1；第二部分为圆环部分，大圆半径为 3，小圆半径为 2；第三部分为圆环内部的白 色区域在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，则此点取自图标第三部分的概率为 ( ) A. 249 B 4 249 C. 189 D 4 189 3朱世杰是历史上伟大的数学家之一，他所著的四元玉鉴卷中“如像招数” 五问中有如下一段话：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人， 次日转多七人”其大意为“官府陆续派遣 1 864 人前往修筑堤坝，第一天派
44、出 64 人， 从第二天开始每天派出的人数比前一天多 7 人”该段话中的 1 864 人全部派遣到位需 要的天数为( ) A9 B16 C18 D20 4.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的数书 九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法如图所示的程序 框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例 若输入 n， x的 值 分别为 3,3，则输出 v 的值为( ) A15 B16 C47 D48 5刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作九章算术注和 海 岛算经是中国宝贵的数学遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周 率 ，理论上能把 的值计算到任意精度割圆术的
45、第一步是求圆的 内 接正六边形的面积 若在圆内随机取一点， 则此点取自该圆内接正六边形的概率是( ) A.3 3 4 B3 3 2 C. 1 2 D 1 4 6(2018 北京高考)“十二平均律”是通用的音律体系，明代 朱 载 堉最早用数学方法计算出半音比例， 为这个理论的发展做出了重要贡 献 十二平均律将一个纯八度音程分成十二份， 依次得到十三个单音， 从第二个单音起， 每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为 f， 则第八个单音的频率为( ) A.32f B322f C.1225f D1227f 7“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、 丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、 申、酉、戌、亥叫做“十二地支”“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开 始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、 癸酉，甲戌、乙亥、丙子、癸未，甲申、乙酉、丙戌、癸巳，癸亥，60 个为一周，周而复始，循环记录.2014 年是“干支纪年法”中的甲
