1、高一（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在下列四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1若角与角终边相同，则一定有（）A+=180 B+=0C=k360，kZD+=k360，kZ2已知集合M=x|1，N=x|y=lg（1x），则下列关系中正确的是（）A（RM）N=BMN=RCMND（RM）N=R3设是第二象限角，且cos=，则是（）A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角4下列四个函数中，既是（0，）上的增函数，又是以为周期的偶函数的是（）Ay=tanxBy=|sinx|Cy=cosxDy=|cosx|5已知tan=，且tan（+）=1，则tan
2、的值为（）A7B7CD6将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，向上平移1个单位，得到的函数解析式为（）Ay=sin（2x+）+1 By=sin（2x）+1Cy=sin（2x+）+1 Dy=sin（2x）+17函数y=Asin（x+）（0，|，xR）的部分图象如图所示，则函数表达式（）Ay=4sin（x） By=4sin（x）Cy=4sin（x+） Dy=4sin（x+）8在ABC中，已知lgsinAlgcosBlgsinC=lg2，则三角形一定是（）A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D钝角三角形9已知函数f（x）=loga（x+b）的大致图象如图，其中a，b为常数，则函数g（x）=ax+
3、b的大致图象是（）ABCD10若定义在区间D上的函数f（x）对于D上任意n个值x1，x2，xn总满足 f（），则称f（x）为D的凸函数，现已知f（x）=sinx在（0，）上是凸函数，则三角形ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为（）AB3CD311已知O为ABC内任意的一点，若对任意kR有|k|，则ABC一定是（）A直角三角形B钝角三角形C锐角三角形D不能确定12已知函数且函数恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是()A(0，) B1,0)C1，) D2，)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13设是奇函数，则a+b的取值范围是14函数y=3sin（x+10）+5si
4、n（x+70）的最大值为15已知奇函f（x）数满足f（x+1）=f（x），当x（0，1）时，f（x）=2x，则f（log210）等于16给出下列命题：存在实数x，使得sinx+cosx=；函数y=2sin（2x+）的图象关于点（，0）对称；若函数f（x）=ksinx+cosx的图象关于点（，0）对称，则k=1；在平行四边形ABCD中，若|+|=|+|，则四边形ABCD的形状一定是矩形则其中正确的序号是（将正确的判断的序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17已知cos（）=，sin（+）=，且（0，），（，），求sin（+）的值18设幂
5、函数f（x）=（a1）xk（aR，kQ）的图象过点（1）求k，a的值；（2）若函数h（x）=f（x）+2b+1b在上的最大值为3，求实数b的值19已知函数f（x）=22cos2（+x）cos2x（1）求函数f（x）在x时的增区间；（2）求函数f（x）的对称轴；（3）若方程f（x）k=0在x，上有解，求实数k的取值范围20已知函数 的部分图像如图所示.（1） 求函数的解析式.（2） 求函数的单调递增区间.（3） 若方程在上有两个不相等的实数根，求的取值范围，并写出所有根之和。21.已知函数（，且为自然对数的底数）.（1） 判断函数的单调性与奇偶性；（2） 是否存在实数，使不等式对一切都成立？若存
6、在，求出；若不存在，请说明理由. 22.函数在内只取到一个最大值和一个最小值，且当时，；当时，(1)求出此函数的解析式；(2)求该函数的单调递增区间；(3)是否存在实数，满足不等式？若存在，求出的范围(或值)，若不存在，请说明理由高一（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在下列四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1若角与角终边相同，则一定有（）A+=180B+=0C=k360，kZD+=k360，kZ【考点】终边相同的角【专题】计算题；转化思想；定义法；三角函数的求值【分析】根据终边相同的角的表示方法，直接判断即可【解答】解：角与角终
7、边相同，则=+k360，kZ，故选：C【点评】本题是基础题，考查终边相同的角的表示方法，定义题2已知集合M=x|1，N=x|y=lg（1x），则下列关系中正确的是（）A（RM）N=BMN=RCMND（RM）N=R【考点】交、并、补集的混合运算【专题】集合【分析】求出M中不等式的解集确定出M，求出N中x的范围确定出N，即可做出判断【解答】解：M中的不等式，当x0时，解得：x1；当x0时，解得：x1，即x0，M=（，0）=0，可得（2）+=k，kz，再结合|，=，y=4sin（x+），故选：D【点评】本题主要考查由函数y=Asin（x+）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出
8、，由特殊点的坐标求出的值，属于基础题8在ABC中，已知lgsinAlgcosBlgsinC=lg2，则三角形一定是（）A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D钝角三角形【考点】三角形的形状判断【专题】计算题【分析】由对数的运算性质可得sinA=2cosBsinC，利用三角形的内角和A=（B+C）及诱导公式及和差角公式可得B，C的关系，从而可判断三角形的形状【解答】解：由lgsinAlgcosBlgsinC=lg2可得sinA=2cosBsinC即sin（B+C）=2sinCcosB展开可得，sinBcosC+sinCcosB=2sinCcosBsinBcosCsinCcosB=0sin（BC）=
9、0B=CABC为等腰三角形故选：A【点评】本题主要考查了对数的运算性质及三角函数的诱导公式、和差角公式的综合应用，属于中档试题9已知函数f（x）=loga（x+b）的大致图象如图，其中a，b为常数，则函数g（x）=ax+b的大致图象是（） A B C D【考点】对数函数的图象与性质【专题】压轴题【分析】由函数f（x）=loga（x+b）的图象可求出a和b的范围，再进一步判断g（x）=ax+b的图象即可【解答】解：由函数f（x）=loga（x+b）的图象为减函数可知0a1，f（x）=loga（x+b）的图象由f（x）=logax向左平移可知0b1，故函数g（x）=ax+b的大致图象是B故选B【点
10、评】本题考查指对函数的图象问题，是基本题10若定义在区间D上的函数f（x）对于D上任意n个值x1，x2，xn总满足f（），则称f（x）为D的凸函数，现已知f（x）=sinx在（0，）上是凸函数，则三角形ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为（）AB3CD3【考点】函数的值【专题】转化思想；函数的性质及应用；三角函数的求值；不等式的解法及应用【分析】由凸函数的性质可得：sinA+sinB+sinC3，即可得出【解答】解：由凸函数的性质可得：sinA+sinB+sinC3=，当且仅当A=B=C=时取等号sinA+sinB+sinC的最大值为故选：C【点评】本题考查了凸函数的性质、三角形内
11、角和定理、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11已知O为ABC内任意的一点，若对任意kR有|k|，则ABC一定是（）A直角三角形B钝角三角形C锐角三角形D不能确定【考点】三角形的形状判断【专题】计算题；数形结合【分析】根据题意画出图形，在边BC上任取一点E，连接AE，根据已知不等式左边绝对值里的几何意义可得k=，再利用向量的减法运算法则化简，根据垂线段最短可得AC与EC垂直，进而确定出三角形为直角三角形【解答】解：从几何图形考虑：|k|的几何意义表示：在BC上任取一点E，可得k=，|k|=|=|，又点E不论在任何位置都有不等式成立，由垂线段最短可得ACEC，即C=90，则ABC
12、一定是直角三角形故选A【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：平面向量的减法的三角形法则的应用，及平面几何中两点之间垂线段最短的应用，利用了数形结合的思想，要注意数学图形的应用可以简化基本运算12故选：C【点评】本题主要考查了比例的性质，余弦定理，三角形面积公式，平面向量的数量积的运算在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13设是奇函数，则a+b的取值范围是【考点】奇函数【专题】计算题【分析】由题意和奇函数的定义f（x）=f（x）求出a的值，再由对数的真数大于零求出函数的定义域，则所给的区间应是定义域的子集，求出b的
13、范围进而求出a+b的范围【解答】解：定义在区间（b，b）内的函数f（x）=是奇函数，任x（b，b），f（x）=f（x），即=，=，则有，即1a2x2=14x2，解得a=2，又a2，a=2；则函数f（x）=，要使函数有意义，则0，即（1+2x）（12x）0解得：x，即函数f（x）的定义域为：（，），（b，b）（，），0b2a+b，即所求的范围是；故答案为：【点评】本题考查了奇函数的定义以及求对数函数的定义域，利用子集关系求出b的范围，考查了学生的运算能力和对定义的运用能力14函数y=3sin（x+10）+5sin（x+70）的最大值为7【考点】三角函数的化简求值【专题】计算题；转化思想；综合法；
14、三角函数的求值【分析】分别把（x+10）与（x+70）化为（x+4030）与（x+40+30），展开两角和与差的三角函数，整理后利用辅助角公式化积，则答案可求【解答】解：y=3sin（x+10）+5sin（x+70）=3sin（x+4030）+5sin（x+40+30）=3+5= sin（x+40）cos（x+40）+ sin（x+40）+cos（x+40）=4sin（x+40）+cos（x+40）=7sin（x+40）+cos（x+40）=7sin7故答案为：7【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查了两角和与差的三角函数，训练了辅助角公式的应用，是中档题15已知奇函f（x）数满足f（x+1
15、）=f（x），当x（0，1）时，f（x）=2x，则f（log210）等于【考点】函数的值【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】利用奇偶性与条件得出f（x）的周期，根据函数奇偶性和周期计算【解答】解：f（x+1）=f（x），f（x+2）=f（x+1）=f（x），函数f（x）是以2为周期的奇函数，3log2104，14+log2100，04log2101f（log210）=f（4+log210）=f（4log210）=2=故答案为：【点评】本题考查了函数奇偶性与周期性的应用，找到函数周期是解题关键16给出下列命题：存在实数x，使得sinx+cosx=；函数y=2sin（2x+）的图象关
16、于点（，0）对称；若函数f（x）=ksinx+cosx的图象关于点（，0）对称，则k=1；在平行四边形ABCD中，若|+|=|+|，则四边形ABCD的形状一定是矩形则其中正确的序号是（将正确的判断的序号都填上）【考点】命题的真假判断与应用【专题】探究型；简易逻辑；推理和证明【分析】根据正弦型函数的图象和性质，可判断，根据向量模的几何意义，可判断【解答】解：sinx+cosx=sin（x+）， ，故为假命题；当x=时，2x+=，此时函数取最大值，故函数y=2sin（2x+）的图象关于直线x=对称，故为假命题；若函数f（x）=ksinx+cosx的图象关于点（，0）对称，则，解得：k=1，故为真命
17、题；在平行四边形ABCD中，若|+|=|+|，即平行四边形ABCD的两条对角线长度相等，则四边形ABCD的形状一定是矩形，故为真命题；故答案为：【点评】本题考查的知识点是和差角（辅助角）公式，三角函数的对称性，向量的模，向量加法的三角形法则，难度中档三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17已知cos（）=，sin（+）=，且（0，），（，），求sin（+）的值【考点】两角和与差的正弦函数【专题】计算题；整体思想；数学模型法；三角函数的图像与性质【分析】由、的范围求出的范围，结合已知求出sin（）和cos（+）的值，则sin（+）的值可求【解答】解
18、：（，），又cos（）=，又（0，），sin（+）=，则sin（+）=sin=sin（）cos（）+cos（）sin（）=【点评】本题考查两角和与差正弦、余弦，关键是“拆角、配角”思想方法的运用，是中档题18设幂函数f（x）=（a1）xk（aR，kQ）的图象过点（1）求k，a的值；（2）若函数h（x）=f（x）+2b+1b在上的最大值为3，求实数b的值【考点】二次函数的性质；幂函数的单调性、奇偶性及其应用【专题】分类讨论；换元法；函数的性质及应用【分析】（1）根据幂函数的定义和性质进行求解即可求k，a的值；（2）若函数h（x）=f（x）+2b+1b在上的最大值为3，利用换元法转化一元二次函数，
19、利用一元二次函数的性质即可求实数b的值【解答】解：（1）设幂函数f（x）=（a1）xk（aR，kQ）的图象过点则a1=1，即a=2，此时f（x）=xk，即=2，即=2，解得k=4；（2）a=2，k=4，f（x）=x4，则h（x）=f（x）+2b+1b=x4+2bx2+1b=（x2b）2+1b+b2，设t=x2，则0t4，则函数等价为g（t）=（tb）2+1b+b2，若b0，则函数g（t）在上单调递减，最大值为g（0）=1b=3，即b=2，满足条件若0b4，此时当t=b时，最大值为g（b）=1b+b2=3，即b2b2=0，解得b=2或b=1（舍）若b4，则函数g（t）在上单调递增，最大值为g（4
20、）=3b15=3，即3b=18，b=6，满足条件综上b=2或b=2或b=6【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质的应用以及一元二次函数的性质，利用换元法结合一元二次函数的性质是解决本题的关键注意要进行分类讨论19已知函数f（x）=22cos2（+x）cos2x（1）求函数f（x）在x时的增区间；（2）求函数f（x）的对称轴；（3）若方程f（x）k=0在x，上有解，求实数k的取值范围【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【专题】计算题；函数思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】（1）由条件化简得到f（x）=1+2sin（2x），求出f（x）的单调递增区间，得出结论（2）根据对称轴的定
21、义即可求出（3）由题意可得函数f（x）的图象和直线y=k在x，上有交点，根据正弦函数的定义域和值域求出f（x）的值域，可得k的范围【解答】解：（1）f（x）=22cos2（+x）cos2x=1+2sin（2x），由2x，kZ，得x，kZ，可得函数f（x）在x时的增区间为，（2）由2x=k+，kZ，得函数f（x）的对称轴为x=+，kZ，（3）x，2x，即21+2sin（2x）3，要使方程f（x）k=0在x，上有解，只有k【点评】本题主要考查三角函数的化简，正弦函数的图象的对称性、单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题20.解：（1） （2） （3） 所有根之和为 21、 （12分）解：(1)，函数为增函数，函数为增函数f(x)在R上是增函数（亦可用定义证明）的定义域为R，且，是奇函数(2)存在由(1)知在R上是增函数和奇函数，则对一切都成立对一切都成立对一切都成立对一切都成立， 又，存在，使不等式对一切都成立22. （12分）解：(1)由题意得，. 由于点在此函数图象上，则有，. (2)当时，即时，原函数单调递增原函数的单调递增区间为(3)满足解得.，同理.由(2)知函数在上递增，若有：，只需要：，即成立即可，所以存在，使成立 来源于网络
