1、广州市初中数学青年教师解题比赛决赛试卷本试卷共8页，第1-2页为选择题和填空题，第3-8页为解答题及答卷请将选择题和填空题的答案做在第3页的答卷上全卷共三大题25小题，满分150分，考试时间120分钟第I卷（选择题，共44分）一、选择题（本大题共11小题，每小题4分，满分44分，请将唯一正确的答案代号填在第3页的答题卷上）1对于实数，下列运算正确的是（） （A） （B）（C） （D）2给出以下三个命题：两个无理数的和一定是无理数；两个无理数的和有可能是有理数；两个无理数的和一定是实数其中正确的命题是（）（A）和（B）和 （C）和 （D）3已知等差数列的前项和为，且则的值是（ ） （A）8 （B
2、）11 （C）12 （D）154如果为实数，则“”是“直线相切”的（ ） （A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C） 充要条件（D）既不充分又不必要条件第5题图5已知是圆的直径，弦和相交于点, 那么等于（ ）（A）（B）cos（C）tan （D）cot6如图，三个天平的托盘中相同的物体质量相等图、所示的两个天平处于平衡状态要使第三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（ ） （A）3个球 （B）4个球 （C）5个球 （D）6个球7如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面上都有一个实数，且相对面上的两个数互为倒数，那么代数式的值等于（ ）第7题图（A） （B） （C） （D）8已知
3、集合，则集合的子集的个数是（ ）（A）4（B）8（C）15（D）169如图，的角所对边分别为，点的外心， 则（ ） 第9题图（A） （B） （C） （D）10设，在同一平面直角坐标系内，一次函数与的图象最有可能的是（ ）ABQOxy11二次函数的图象如图所示，是图象上的一点，且，则的值为（）第11题图 （A） （B） （C）1 （D）2第II卷（非选择题，共106分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案直接填在答题卷上）12随机掷一枚均匀的正方体骰子（正方体骰子的六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），每次实验掷两次，则每次实验中掷两次骰子的点数之和为6的概率是_ 1
4、3如果关于的方程有一个小于1的正数根，那么实数的取值范围是 第14题图14在矩形中，已知两邻边=12，=5，是边上异于的任意一点，且，分别是垂足，那么_15已知,那么代数式的值是 16已知为实数，且，则的取值范围为 第17题图17已知正方形ABCD的面积35平方厘米, E、F分别为边AB、BC上的点, AF和CE相交于点G,并且的面积为5平方厘米,的面积为14平方厘米,那么四边形BEGF的面积是_平方厘米 区 学校 姓名 考号 2007年广州市初中数学青年教师解题决赛答题卷2007-4-15一、选择题答案（每小题4分，共44分）题号1234567891011答案二、填空题答案（每小题5分，共3
5、0分）12 13 14 15 16 17 三、解答题（共8小题，满分76分解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）18（本小题8分）已知，试比较A、B、C的大小，并说明理由19（本小题8分）设是奇函数，是偶函数，并且，求和20（本小题10分）已知矩形所在平面，、分别是、的中点（1）求证：；（2）若45，求证面第20题图21（本小题10分）在中， 以为圆心，的长为半径作圆交边于，若的长均为正整数，求的长第21题图22（本小题10分）如图，在等腰直角三角形中，900，点为腰的中点，点在底边上，且，求的面积第22题图23（本小题10分）在正实数范围内，只存在一个数是关于的方程的解，求实数的取值
6、范围24（本小题10分）如图，在梯形中，对角线相交于点，并把梯形分成四部分，记这四部分的面积分别为试判断和的大小关系，并证明你的结论第24题图 密封线 密封线 25（本小题10分）已知,若为整数，在使得为完全平方数的所有的值中，设的最大值为，最小值为，次小值为（注：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数）（1）求的值；（2）对进行如下操作：任取两个求其和再除以，同时求其差再除以，剩下的另一个数不变，这样就仍得到三个数再对所得三个数进行如上操作，问能否经过若干次上述操作，所得三个数的平方和等于2007？证明你的结论2007年广州市初中数学青年教师解题决赛试题参考答案及评
7、分标准一、选择题答案（每小题4分，共11小题，共44分）题号1234567891011答案DCCABCADCBB注：3选C 解析：an等差数列，2(S8 S4)= S4(S12S8)，且S4=3，S8=7，则S12=12.4选A 解析： 若a=b，则直线与圆心的距离为等于半径，相切若相切，则，故“a=b”是“直线相切”的充分不必要条件.8选C 解析：如果中至少有1个为零，则；如果，则；如果，则；如果，则，于是0，4，6，9，有16个子集.10选B 解析：由方程组的解知两直线的交点为，而图A中交点横坐标是负数，故图A不对；图C中交点横坐标是21，故图C不对；图D中交点纵坐标是大于，小于的数，不等
8、于，故图D不对；故选B.11选B 解析：设由且，得.二、填空题答案（每小题5分，共6小题，共30分）12.13. . 因式分解得，因此“小于1的正数根”是. 由得. 14. 如图，过A作AGBD于G因为等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高，所以PEPF=AG因为AD=12，AB=5，所以BD=13，所以所以.15. 2. .16. . ，得，因为为实数，所以，解得.17 .，同理,如图，连BG. 记，.由已知 ，解之得，. .三、解答题答案（共8小题，满分76分.解答应写出必要文字说明、演算步骤和证明过程）18解：它们的大小关系为. 2分由得，得，4分，得， 6分即得. 8分1
9、9解：为奇函数 为偶函数 2分由4分从而 6分 8分20证明： 21设BD，CD，（，为正整数）作AEBD，垂足为E，则ABAD40，BEDE ， ， ， 6分 20100， 只有或9分故BC的长为50或80 10分22解法1：如图，过C作CDCE与EF的延长线交于D 2分因为ABEAEB=90，CEDAEB=90，所以ABE=CED于是RtABERtCED， 4分所以 6分 又ECF=DCF=45，所以CF是DCE的平分线，点F到CE和CD的距离相等，所以 8分所以10分解法2： 如图，作FHCE于H，设FH=h 2分因为ABEAEB90，FEH+AEB=90，所以 ABE=FEH，于是Rt
10、EHFRtBAE 4分因为 所以又因为所以 8分所以 10分23解：原方程可化为， 1分（1）当0时，满足条件； 2分（2）若是方程的根，得，此时方程的另一个根为，故原方程也只有一根； 4分（3）当方程有异号实根时，得，此时原方程也只有一个正实数根；7分（4）当方程有一个根为0时，另一个根为，此时原方程也只有一个正实根 9分综上所述，满足条件的的取值范围是或或10分24解：设 和同底等高,， , 即：. 2分，4分 6分 9分 10分(本题只写对结论而没有过程的只得1分)25. 解：（1）设（为非负整数），则有，1分由为整数知其为完全平方数（也可以由的公式直接推出）， 2分即（为非负整数）， 得 显然：, 所以或，解得或，所以，得：， 5分所以 6分（2）因为， 8分即操作前后，这三个数的平方和不变，而 9分所以，对进行若干次操作后，不能得到2004，2005，2006这三个数10分
