1、2.3.2圆的一般方程第二章2.3圆的方程学习目标1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学思考思考方程x2y22x4y10，x2y22x4y60分别表示什么图形？知识点圆的一般方程答案答案对方程x2y22x4y10配方，得(x1)2(y2)24，表示以(1，2)为圆心，2为半径的圆；对方程x2y22x4y60配方，得(x1)2(y2)21，不表示任何图形.梳理梳理方程条件图形x2y2DxEyF0D2E24F0思考辨析 判断正误1.圆的一般
2、方程可以化为圆的标准方程.()2.二元二次方程x2y2DxEyF0一定是某个圆的方程.()3.若方程x2y22xEy10表示圆，则E0.()题型探究例例1若方程x2y22mx2ym25m0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径.类型一圆的一般方程的概念解解由表示圆的条件，得(2m)2(2)24(m25m)0，解答反思与感悟反思与感悟形如x2y2DxEyF0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法(1)由圆的一般方程的定义，D2E24F0成立，则表示圆，否则不表示圆.(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2y2DxEyF0这种
3、标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解.跟踪训练跟踪训练1(1)已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标为_，半径为_.解析答案解析解析由圆的一般方程知，a2a2，得a2或1.a2不符合题意；当a1时，方程可化为x2y24x8y50，即(x2)2(y4)225，圆心坐标为(2，4)，半径为5.(2，4)5(2)点M，N在圆x2y2kx2y40上，且点M，N关于直线xy10对称，则该圆的面积为_.解析答案由圆的性质知，直线xy10经过圆心，该圆的面积为9.9例例2已知点A(2,2)，B(5,3)，C(3，1).(1)求ABC的外接圆的一般方程；类型二求圆的一般方程解解
4、设ABC外接圆的一般方程为x2y2DxEyF0，解答即ABC的外接圆的一般方程为x2y28x2y120.(2)若点M(a,2)在ABC的外接圆上，求a的值.解解由(1)知，ABC的外接圆的方程为x2y28x2y120，点M(a,2)在ABC的外接圆上，a2228a22120，即a28a120，解得a2或a6.解答引申探究引申探究若本例中将“点C(3，1)”改为“圆C过A，B两点且圆C关于直线yx对称”，其他条件不变，如何求圆C的方程？解答反思与感悟反思与感悟应用待定系数法求圆的方程时应注意(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数
5、法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.解答令x0，得y2EyF0，解解方法一方法一(待定系数法)设圆的一般方程方程为x2y2DxEyF0，|y1y2|2(y1y2)2(y1y2)24y1y2E24F48.故圆的一般方程为x2y22x120或x2y210 x8y40.方法方法二二(几何法)由题意，得线段PQ的垂直平分线方程为xy10，所求圆的圆心C在直线xy10上，设其坐标为(a，a1).解得a1或a5，故圆的方程为(x1)2y213或(x5)2(y4)237.类型三求轨迹方程例例3已知圆心为C的圆经过点A(1,1)
6、和B(2，2)，且圆心C在直线l：xy10上.(1)求圆C的方程；解答所以直线m的方程为x3y30.所以圆C的方程为(x3)2(y2)225.(2)线段PQ的端点P的坐标是(5,0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程.解答解解设点M(x，y)，Q(x0，y0).因为点P的坐标为(5,0)，又点Q(x0，y0)在圆C：(x3)2(y2)225上运动，所以(x03)2(y02)225，即(2x53)2(2y2)225.反思与感悟反思与感悟求轨迹方程的三种常用方法(1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明.(2)定义法：当动点的运动轨迹符
7、合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程.(3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中，得点P的轨迹方程.特别提醒：在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上，即应排除不合适的点.跟踪训练跟踪训练3已知ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程.解答解解以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系(如图)，则点A(2,0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0).将代入，整理得(x6)2y236.点C不能在x轴上，y0.综上，点C的轨迹是以(6
8、,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(12,0)和(0,0)两点.轨迹方程为(x6)2y236(y0).达标检测1.圆x2y22x6y80的面积为A.8 B.4 C.2 D.12345答案解析解析解析原方程可化为(x1)2(y3)22，圆的面积为Sr22.2.若点M(3,0)是圆x2y28x4y100内一点，则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是A.xy30 B.xy30C.2xy60 D.2xy6012345答案解析解析解析圆x2y28x4y100的圆心坐标为(4,2)，则过点M(3,0)且过圆心(4,2)的弦最长.12345答案解析3.方程x2y2xym0表示一个圆，则m的取值范围是解析
9、解析由D2E24F0，得(1)2124m0，123454.方程x2y22axbyc0表示圆心为C(2,2)，半径为2的圆，则a，b，c的值依次为A.2,4,4 B.2，4,4C.2，4,4 D.2，4，4解析答案解得a2，b4，c4.5.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x1)2y24上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程.解解设点B坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，由于点C的坐标是(4,3)且点C是线段AB的中点，解答于是有x08x，y06y.因为点A在圆(x1)2y24上运动，所以点A的坐标满足方程(x1)2y24，即(x01)2y4，把代入，得(8x1)
10、2(6y)24，整理，得(x9)2(y6)24.所以点B的轨迹方程为(x9)2(y6)24.12345规律与方法1.判断二元二次方程表示圆要“两看”：一看方程是否具备圆的一般方程的特征；二看它能否表示圆.此时判断D2E24F是否大于0或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数.2.待定系数法求圆的方程如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法分别求出常数D，E，F.3.求轨迹方程的一般步骤：(1)建立适当坐标系，设动点M的坐标(x，y).(2)列出点M满足条件的集合.(3)用坐标表示上述条件，列出方程f(x，y)0.(4)将上述方程化简.(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点.
