1、线性代数与解析几何复习题一、矩阵部分(一)填空题.1设，则.提示：A3=2设方阵满足，.提示：A2+A-4I=0A2+A-2I-2I=0(A-I)(A+2I)=2I(A-I)(A+2I)/2=I3设方阵满足，则_.提示：A2-2A-3I=0 A(A-2A)=3I4设，则 . 提示：对矩阵A施行初等行变换，非零行的行数即为矩阵A的秩。5设，则当满足条件 时，可逆.提示：矩阵A的行列式detA0时，矩阵可逆。 (二)选择题1设阶矩阵，则必有 （ ）（A） （B） （C） （D）提示：A的逆矩阵为BC2 （ ）提示：P的列为齐次线性方程组Qx=0的解，P非零，Qx=0有非零解，故Q的行列式detQ=
2、03 （ ）提示：矩阵B由矩阵A经初等行变换得到，故在C或D中选择，P1、P2为初等矩阵，P1为交换第1、2行，P2为将第一行的1倍加到第三行，故选C4设维向量,矩阵,其中为阶单位矩阵,则 ( )提示：AB (I-aTa)(I+2aTa)=I+aTa-2 aTa aTa= I+aTa-2 aT(a aT)a=I5A、B （ ）（A） B=E （B） A=E （C）A=B （D）AB=BA提示：(A+B)(A-B)=AA-AB-BA-BB6矩阵 ( )A、1 B、2 C、3 D、4提示：A=(a1,a2,a3,a4)T(b1,b2,b3,b4) (三)计算题1提示：AB-B=A2-I(A-I)B
3、=A2-IB=(A-I)-1(A2-I)也可使用矩阵初等行变换。2利用矩阵的初等变换解线性方程组.提示：对方程组增广矩阵进行初等行变换。3设矩阵，.提示：AX=2X+BAX-2X =B(A-2I)X =B使用矩阵初等行变换。4若 则X = .提示：使用矩阵初等列变换。 (四)证明题1设都是一个n阶对称矩阵，证明：对称的充要条件是。提示：参见作业上相关内容：AB=BAAB对称：AB对称AB=BA2证明：任何一个n阶方阵都可表示为一对称矩阵与一反对称矩阵之和.提示：参见书上的例子。对称矩阵为B=(A+AT)/2反对称矩阵为C=(A-AT)/23设n阶方阵不是单位方阵，且，试证明(1)是不可逆矩阵
4、(2)均为可逆矩阵，并求逆矩阵.提示：(1)反证法：假设A可逆，则存在A-1，有A-1A=I。因为A2=A，故A-1A2=A-1A，由此得A=I，与题设矛盾.(2)根据A2=A凑出A+I与A-2I的乘积为单位阵I的倍数即可。4设同阶方阵，其中可逆，且满足，证明可逆.提示：A2+AB+B2=0A(A+B)+B2=0A(A+B)+B2 B-1 B-1=0A(A+B)( B-1) 2+I=0A(A+B)( B-1) 2 =-IA可逆，其逆矩阵为-(A+B)( B-1) 2A2+AB+B2=0A(A+B)+B2=0B-1 B-1 A(A+B)+B2 =0( B-1) 2A(A+B) +I=0( B-1
5、) 2A(A+B) =-IA+B可逆，其逆矩阵为-( B-1) 2A 二、行列式部分(一)填空题1行列式= 。提示：4(-1)1+44(-1)1+32(-1)1+252若44阶矩阵A的行列式是A的伴随矩阵则= 提示：detA*=(detA)n-13已知是奇异阵，则_.提示：奇异矩阵行列式为零。4设是阶可逆方矩阵且, 则 1/5 , 56 , 52n , 5k .提示：利用矩阵行列式的性质。5设是四阶单位矩阵的第列，则 .提示：4阶单位矩阵行列式在进行初等列变换时其系数及符号的变化规律。参见作业。6已知，则，其中是元素的代数余子式.提示：注意是伴随矩阵转置后的行列式，等于伴随矩阵行列式，故其值为
6、37n-1，此处n=3。表示行列式第2行元素与第三行元素相应代数余子式之和，故为0.（二）选择题1提示：A2+AB+2I=0A(A+B)=-2I|A(A+B)|=|-2I|A|A+B|=(-2)3|I|A+B|=-42（A） （B）（C） （D）提示：|AB|=|A|B|=|BA|3设阶矩阵 ,若矩阵的秩为,则必为( )提示：参见书本及作业上的例子。4提示：参见前面的内容。5 ( )提示：(AB)2=IABAB=IA(BAB)=IA-1=BAB(AB)2=IABAB=I(ABA)B=IB-1=ABA(BA)2= BABA = (BAB)A= A-1 A= I6设为阶方阵。下列命题中正确的是（
7、）提示：AB=0|AB|=0|A|B|=0(三)计算题计算行列式 . 2、计算行列式提示：第一题：按行或列展开，或将第一行的y/x倍加到第4行，但要讨论x为0时的情形。第二题：利用初等变换。3当为何值时, 齐次线性方程组有非零解.提示：系数矩阵行列式为0。（四）证明题1设是阶方阵，且满足, 试证明不可逆或者.提示：假设A可逆，即A-1存在，则根据A2=AA-1A2= A-1AA=I2设是阶方阵，证明 (1)若，则不可逆 (2)若，则。提示：(1)假设B可逆，即B-1存在，则根据AB=0AB B-1= 0B-1A= 0矛盾(2)detA0A可逆齐次线性方程组Ax=0只有零解AB=0B的列向量是齐
8、次线性方程组Ax=0的解B=0或：A可逆，即A-1存在根据AB=0A-1A B= A-10B= A-1三、空间解析几何部分（一）填空题1已知，则提示：a0=a/|a|2设则提示：|ab|=|a|b|sinqcosq=?a.b=|a|b|cosq已知四点，则 提示：向量乘法（向量积、混合积）的几何意义4点.提示：点到平面的距离公式5 .提示：先求直线的方向向量，然后带入公式即可。6.提示：Y轴的方向向量（0，1，0）与直线的方向向量（1，2，1）取向量积。(二)选择题1 ( )提示：参见练习。向量和与向量差的几何意义，向量垂直的充要条件。2设向量 ( ) 提示：Prjba=|a|cosj=1，|
9、a|3cosj=1/3cosj=(a.b)/(|a|b|)3 ( ) 提示：向量平行，对应坐标分量成比例。4设向量且( ) 提示：向量混合积的计算方法。5 ( ) 提示：根据向量乘法运算律展开，并考察向量积的方向特性。6设三个向量矩阵的行列式，而其伴随矩阵的充要条件是 ( ) (A) 三向量互相平行 (B) 存在不共线两向量 (C) 三向量共面 (D) 三向量共面，有两向量不共线提示：参见练习有关内容(三)计算题1、求点到直线的距离提示：参见课本内容。2、提示：该平面的法向量垂直于平面x+y+x=1的法向量，也垂直于向量AB.根据向量积得到所求平面法向量。提示：先求交点。提示：求出两直线的方向
10、向量是平行的（各坐标分量成比例），然后在2直线上各任取一点构造一个向量，与直线方向向量取向量积得到所求平面的法向量。（1）证明方程组有唯一解即可（2）根据两直线方向向量可得过两直线平面之法向量。、说出下列曲面的名称（1） 双曲柱面 （2）椭圆柱面 （3）圆锥面（轴线平行于z轴）（4）圆形抛物面（5）马鞍面（6）单叶双曲面（7）双叶双曲面、 (1)求曲线在面上的投影.消去变量x (2)求曲线在面上的投影.第二个方程y2代如第一个方程即可消去变量y 、将下列曲线的一般方程化为参数方程(1) (2) 太简单了四、向量空间与线性方程组部分(一)填空题1、已知向量组的秩为2，则.对矩阵A=(a1,a2,
11、a3)进行初等行变换，其非零行数为2。2、设阶矩阵的各行元素之和均为零，且的秩为，则线性方程组的通解为_.参见练习册相关题。3、向量.对矩阵进行初等行变换，前3列变为单位阵时，第四列即为坐标。4、设= .参见练习有关题目。B为满秩矩阵。5、设向量组可由线性表示，且，则线性关 .提示：相关。6、两个同维向量组的秩相等是它们等价的 必要 条件.7、若齐次线性方程组有非零解，且,则的值为 .系数矩阵行列式等于0。 (二)选择题、 若向量组线性无关；线性相关，则 （ ） 必可由线性表示 必不可由线性表示 必可由线性表示 必不可由线性表示 参见练习册相应题目。、 设是矩阵，秩为为阶单位方阵，则 （ ）的
12、任意个列向量线性无关 的任意个子式不等于零经过初等行变换可化为 （D）若矩阵满足，则参见练习册相应题目。矩阵A经有限次初等行变换可化为，显然答案应该为D。 、设是矩阵，则齐次线性方程组仅有零解的充要条件是 （ ） 的列向量组线性无关 的列向量组线性相关 的行向量组线性无关 的行向量组线性相关系数矩阵列向量线性无关Ax=0仅有零解、 非齐次线性方程组中未知量个数为，方程个数为，系数矩阵的秩为，则 （ ）时，方程组有解 时，方程组有唯一解时，方程组有唯一解 时，方程组有无穷多解考察增广矩阵经有限次初等行变换后得到得行阶梯矩阵：R=n、r0，因此，只要二次型矩阵A的行列式detA0，二次型即为正定二
13、次型。10、 设是正定矩阵，则方法同上。 (二)选择题1、 设是阶方阵，满足，为阶单位方阵，则 （ ） 的特征值是1 A2=I（detA2）=1（detA）2=1detA=10A可逆R(A)=n2、设是阶实方阵，且相似，则下列结论不正确的是 （ ）(A) (B) (C) (D) D3、设矩阵是奇数阶的反对称矩阵，则一定有 （ ） 可逆矩阵 有零特征值 A是奇数阶反对称矩阵AT=-AdetAT=detA=det(-A)=(-1)ndetA=detA(因为n为奇数) detA=0detA=l1 l2lnA有0特征值。4、阶方阵与对角矩阵相似的充分必要条件是 （ ）(A) (B) (C) (D) B
14、5、设阶方阵满，则矩阵 是 （ ）(A) (B) (C) (D) A2=A(A+I)(2I-A)=2I(2I-A)可逆6、 若是矩阵的对应的特征向量，则矩阵对应的特征向量 （ ） 参见作业。(P-1AP)P-1a=P-1Aa= P-1 l0a= l0P-1a7、 设阶矩阵与具有完全相同的特征值，则 ( )(A) 与相似 (B) 与对合(C) (D) 与有相同的特征向量detB=detA=l1 l2ln 8、 下列三个矩阵中不能对角化的是 ( ) (A) (B) (C) (D) A是实对称矩阵，一定可对角化；D有3个不同的特征值，一定可对角化只要计算B、C是否有3个线性无关的特征向量即可。9、
15、设，是的一个基础解系，则 ( ) 不是的特征向量.(A) (B) (C) (D) A(a1+ a2)=0=0(a1+ a2)A(a1-2a2)=0=0(a1-2a2)A(a1+3a3)= 3Aa3 =3a3A(2a3)= 2Aa3 =2a3故选C。 ,10、已知 （ ）(A) 1或2 (B) -1或-2 (C)1或-2 (D) -1或2根据特征值与特征向量的定义Aa=la，可求得k及a对应的特征值l为1或-2。(三)计算题1、设是阶方阵，是阶单位阵，求.依题意：|lI-A|=0 (l=2,4,6,2n) |( l-3)I-(A-3I)|=0A-3I的特征值为l-3，即-1,1,3,5,2n-3
16、det(A-3I)=-1*3*5*(2n-3)2、设，（1）求A的特征值；（2）求其特征值所对应的特征向量.根据特征值与特征向量的定义求取即可。3、 ，.（1）方法一：利用相似矩阵的性质：相似矩阵具有相同的特征值求取a,b。B为对角阵，因此，A、B的特征值为1、2、b。使用|lI-A|=0得到A的特征多项式为(l-2)(l2-3l-la+3a-4)=0，显然2为A的特征值，因为1是A、B的特征值，将l1带入上述等式，求得a=3。将a=3带入上面的等式，可得(l-2)( l- 1)( l-5)=0，即l5是A、B的特征值，因此b=5。（1）方法二：相似矩阵行列式相等、矩阵的行列式等于其特征值的乘
17、积，矩阵特征值的和等于其主对角线上的元素和：2a312bdetA=2(3a-4)=2b=detB可求得a、b。(2)利用特征向量的一般求法即可4、已知三阶实对称方阵的特征值为，且对应的特征向量为与，求方阵.矩阵A为实对称矩阵存在正交矩阵C，使得CTAC=L,其中为L以特征值-1,-1,8为对角元素的对角阵。矩阵A为实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量是正交的属于特征值8的特征向量与属于1的两个特征向量正交(1,-2,0)T与(1,0,-1)T的向量积即为属于特征值8的特征向量采用施密特正交化方法，将A的3个特征向量单位化后，得到正交矩阵C.A=C L CT5、确定实数的取值范围，使二次型正定
18、.二次型的矩阵为，可以根据3个顺序主子式全部大于0，或求得3个特征值全部大于0确定l的范围。6、用正交变换把二次型化成标准形，并求出正交变换矩阵. 二次型的矩阵为，按实对称矩阵对角化一般方法求取。7、设是三阶方阵，已知，其中,又，试计算 。(i=1,2,3)Aai=iai(i=1,2,3) A的3个特征值为1，2，3，对应特征向量分别为a1、a2、a3。Aa1=1a1Ana1=1na1=a1。a1、a2、a3线性无关可求取线性相关系数k1 、k2 、k3，使得b=k1 a1+k2 a2+k3 a3Anb=An(k1 a1+k2 a2+k3 a3)= k1 An a1+k2 An a2+k3 A
19、n a3= k1a1+k22na2+k33na38、设：(1) 求一个与都正交的向量.(2) 利用施密特正交化方法，把向量组化为标准正交基（正交规范基）。所求向量为a、b的向量积。9、设实对称矩阵，为的特征值. (1) 求，的值； (2) 求正交矩阵及对角矩阵，使得；A为实对称矩阵b=4|lI-A|=0，2是一个特征值可求得a。其余内容按实对称矩阵对角化一般方法求取。 (四)证明题1、实对称矩阵满足，证明为正定矩阵.设A的特征值为l，对应的特征向量为x(x0)A3-6A2+11A-6I=0 (A3-6A2+11A-6) x=0 x(l3-6l2+11l-6) x=0x0l3-6l2+11l-6
20、=0(l -1) (l -2) (l -3)=0矩阵A的特征值为1，2，3，全部大于0，故矩阵A为正定矩阵。2、已知是阶实反对称矩阵，证明为可逆矩阵.A是n阶实反对称阵AT=-A(A2-I)T=(AA-I)T=(-A)(-A)-I)= (A2-I)(A2-I)是n阶实对称阵A2-I-ATA-I=-( ATA+I)对于任意非零n维向量x，有xT(A2-I)x=- xT ( ATA+I) x=-( xT ATA x+ xT I x)= - (Ax)TA x+ xT x向量x非零(Ax)TA x0，xT x0xT(A2-I)x14、设为阶矩阵且正定，为实维列向量，当时，有，证明：线性无关.参见作业上
21、相关内容。5、设为实矩阵，为阶实对称矩阵且正定，证明：正定的充要条件是。充分性：A实对称矩阵且正定矩阵BTAB是实对称矩阵。R(B)=nBx=0只有零解对于任意x0Bx0A实对称矩阵且正定xTBTABx=(Bx) T A(Bx)0BTAB正定。二次型f2被看成是二次型f1经过变换x=By得到。必要性：BTAB正定对于任意x0xT(BTAB) x=(Bx) T A(Bx)0Bx0Bx=0只有零解R(B)=n6、设中向量组 线性无关，和均正交. 证明：线性相关. b1、b2和a1、a2,an-1均正交(a1 T、a2 T,an-1 T) T b10，(a1 T、a2 T,an-1 T) T b20，即b1、b2是齐次线性方程组(a1 T、a2 T,an-1 T) T x0的解。因为a1、a2,an-1线性无关(a1 T、a2 T,an-1 T) T的秩为n-1齐次线性方程组(a1 T、a2 T,an-1 T) T x0的解空间的维数是1。b1、b2线性相关。21 / 21
