1、高中数学必修一 第四章 指数函数与对数函数 测试题 (1) 一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且满足f(x)=-|log2(-x)|，x0，若函数y=f(x)-a有两个零点，其中0a1，分别记为x1,x2(x10且a1，若f(1)f(a-2)B. f(a)0，则a的取值范围为A. (2,+)B. (-,-2)C. (1,+)D. (-,-1)6. 已知集合A=xRlog2x2，集合B=xRx-12，则AB=A. (0,3)B. (-1,3)C. (0,4)D. (-,3)7. 定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-1f(x)，且在(0
2、,1)上f(x)=3x，则f(log354)的值为( )A. 32B. 23C. -32D. -238. 已知，并且,是方程的两根，则实数的大小关系可能是( )A. amnB. mnC. mnD. m2；C. a=-3,b=-1；D. a0,b011. 若0xy1，0a1，则下列不等式错误的是()A. logax2logay3B. cos(ax)cos(ay)C. axayD. xab0，则lnba0；C. 若x，y，z均是正数，且3x=4y=12z，x+yz(n,n+1)(nN)，则n的值是4；D. 若正实数x，y满足x+y+15=1x+9y，且x+y1，则x，y均为定值13. 对任意实数a
3、，b定义运算“”，ab=b,ab,a,ab，设f(x)=|2-x2|)(4-|x|)，有下列四个结论其中正确结论有()A. f(x)最大値为2；B. f(x)有3个单调递减区间；C. f(x)在-32,-1是减函数；D. f(x)图象与直线y=m有四个交点，则0m2的解集为_15. 已知函数f(x)=lnx,x12x3-3x2+1,x0(1)求f(x)的单调减区间；(2)若f(x)存在三个不同的零点x1，x2，x3，且x1x2-2；(3)若对任意x(-,3，都有f(x)|x-a|-12x2-a，求a的取值范围18. 已知函数f(x)=ex-x-a(aR)(1)当a=0时，求证：f(x)x；(2
4、)讨论函数f(x)零点的个数19. 已知正实数x，y满足等式2x+5y=20(1)求u=lgx+lgy的最大值；(2)若不等式10x+1ym2+4m恒成立，求实数m的取值范围20. 已知ABC的顶点B(-1,-3)，AB边上的高CE所在直线的方程为4x+3y-7=0，BC边上的中线AD所在直线的方程为x-3y-3=0(1)求直线AB的方程；(2)求点C的坐标- 答案与解析 -1.答案：B解析：【分析】本题考查函数的性质与图象的应用，考查函数的零点与方程根的关系，属于中档题根据条件作出函数f(x)与直线y=a的图象，可得到两个零点满足x1x2=1,x1(0,1),x2(1,2)，于是4x1+x2
5、=4x2+x2,x2(1,2)，根据函数y=x+4x的单调性即可求出结果【解答】解：因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，且满足f(x)=-|log2(-x)|，x0时，f(x)=|log2x|因为函数y=f(x)-a有两个零点x1,x2(x1x2)，其中0a1，所以作出函数f(x)与直线y=a的图象，如图所示：所以有：|log2x1|=|log2x2|x1x2=1，因此4x1+x2=4x2+x2,x2(1,2)，因为函数y=x+4x在(1,2)上单调递减，所以4x1+x2=4x2+x2(4,5)故选B2.答案：B解析：【分析】本题主要考查含绝对值的对数函数的图象和性质等，考查考生分析问题、解
6、决问题的能力和数形结合思想先根据f(x)得到函数f(x)的定义域及其图象的对称性，再根据f(1)0判断a的取值范围，得到f(x)的单调性，并据此判断f(a)，f(a-2)的大小关系【解答】解：因为f(x)=loga|x+1|，所以f(x)的定义域为x|x-1，且f(x)的图象关于直线x=-1对称因为f(1)=loga20，所以0a1，所以f(x)在(-,-1)上单调递增，在(-1,+)上单调递减易知-1-a0，f(a-2)=f(-a)，由f(x)在(-1,+)上单调递减，知f(a)0；y=x+1x=1+1x1，y=x+1x(-,-22,+)只有y=ln(x+1)R故选B4.答案：B解析：【分析
7、】本题主要考查函数图像的应用，利用导数研究函数的单调性以及函数的零点与方程根的关系，属于难题解题关键是等价转化为方程有解问题，以及构造函数求最值问题【解答】解：若图象上恰存在两个点关于y轴对称，等价于在(0,e有一个解；所以在(0,e有一个解，设所以hx=1x-1x2=x-1x2，所以hx在(0,1)单调递减，1,e单调递增；所以h1=1,he=1+1e，x0,hx+；故当k=1或k1+1e时，有一个解；即此时图象上恰存在两个点关于y轴对称，故选B5.答案：B解析：【分析】本题考查了利用导数求函数单调区间和极值及函数零点的相关知识，解题时要注意分类讨论，当a=0时，f(x)存在两个零点，不符合
8、题意，故a0；当a0时，求导可得f(x)存在负零点；当a0，即得答案【解答】解：对函数fx=ax3-3x2+1求导得f(x)=3ax2-6x=3x(ax-2)，令f(x)=0，得3x(ax-2)=0(1)当a=0时，fx=1-3x2，存在两个零点，不符合题意，故a0；(2)当a0时，2a0，所以f(x)在(-,0),(2a,+)上单调递增，在(0,2a)上单调递减，所以x=2a为f(x)的极小值点，x=0为f(x)的极大值点，且f(0)=10，当x趋于负无穷时，函数值也趋于负无穷，故此时函数f(x)必有一负零点，不符合题意；(3)当a0时，2a0，即f(2a)=1-4a20，解得a-2，综上所
9、述，a的取值范围为(-,-2)故选B6.答案：A解析：【分析】本题考查集合的交集运算及对数函数的性质，同时考查绝对值不等式的解法，属于基础题。由对数函数的性质求出A，解绝对值不等式得B，然后求交集即可【解答】解：因为A=xR|log2x2=x|0x4，B=xR|x-1|2=x|-1x3，所以AB=(0,3)故选A7.答案：C解析：【分析】本题考查函数值的求法，对数函数的性质、运算性质，及函数的周期性、奇函数的性质的综合应用利用条件求出函数的周期、以及利用函数的性质逐步转化自变量是解题的关键【解答】解：由f(x+2)=-1f(x)得，f(x+4)=-1f(x+2)=f(x)，所以函数f(x)的周
10、期是4，因为f(x)定义在R上的奇函数，且3log3544，且f(x)在(0,1)上f(x)=3x，所以f(log354)=f(log354-4)=-f(4-log354)=-(34-log354)=-8154=-32，故选C8.答案：B解析：【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数之间的关系函数是函数向上平移2个单位所得，即可判断大小【解答】解：依据题设可知m,n是方程的两根；由于函数是函数向上平移2个单位所得，因此方程的两根,应该满足，故选B9.答案：BD解析：【分析】本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，属于中档题A.根据正态分布的性质进行判断；B.利用零点存在性定理进行判断；C
11、.利用余弦函数的性质进行判断；D.利用线面垂直的性质进行判断【解答】解：A.随机变量服从正态分布N(2,2)，P(4)=0.79，P(4)=P(0)=1-P(4)=1-0.79=0.21，故A错误；B.因为fx=x13-12x,所以f(x)为增函数，又f13=1313-12130，即f13f120时的情况，再令f(x)=x3-3x，利用导数研究函数的单调性，进而研究函数的极值，求得结果【解答】解：将三次方程的实根看成函数f(x)=x3+ax的图象与直线y=-b的公共点的横坐标当a0时，f(x)为单调递增函数，且值域为R，因此无论b为何值，直线y=-b与函数f(x)=x3+ax的图象均有唯一公共
12、点，故D正确注意到其他选项中a的取值均为-3，因此研究函数f(x)=x3-3x函数f(x)的导函数为f(x)=3(x+1)(x-1)，令f(x)0，得x1或x-1，令f(x)0，得-1x1，故f(x)在(-,-1)和(1,+)上单调递增，在(-1,1)上单调递减，于是函数f(x)有极大值点x=-1以及极小值点x=1，对应的极大值为2，极小值为-2，可知B正确，因此B和D正确，故选BD11.答案：ABC解析：【分析】本题考查了基本初等函数及余弦函数的性质的应用，属于中档题利用基本初等函数的单调性对选项逐一判断即可【解答】解：0xy1，0a1，对A选项，变形为logax3logay2，而函数y=l
13、ogax是单调递减函数，x3logay2，故A错误；对B选项，函数y=cosx在(0,2)是单调递减函数，所以cos(ax)cos(ay)，故B错误；对C选项，y=ax是单调递减函数，axay，故C错误；而D选项，幂函数y=xa是单调递增函数，xa1时，lgx0，则(lgx+4lgx)min=2lgx4lgx=4，当且仅当lgx=4lgx，即x=100时，(lgx+4lgx)min=4，又x(1,20)，所以当x(1,20)时，lgx+4lgx4，所以A不正确；B.若ab0，则0ba1，则lnba0，y0，所以2yx0，且0yyx12.设t=yx，则x+yz=2+1t+t，又因为x+yz(n,
14、n+1)(nN)，所以n=4；所以C正确；D.据题意得(x+y)(1x+9y)=10+yx+9xy，又x0，y0，所以(x+y)(1x+9y)16又因为0x+y1，所以1x+9y16，又x+y+15=1x+9y，所以x+y+15=1x+9y=16，解方程组x+y=11x+9y=16，得x=14y=34，所以D正确；故选：BCD13.答案：AB解析：【分析】本题考查以新定义运算为背景，设计出函数性质与图象的综合问题，考查函数的最大值、单调性、图象综合性问题，重在考查学生的转化能力和作图能力，属于中档题根据f(x)的解析式，作出f(x)的图象，根据图象判断每个选项是否正确【解答】解：根据定义，作出
15、f(x)的图象(实线部分)：可知当x=2或0时，f(x)取得最大值2，故A正确；f(x)单调递减区间为-2,-2,0,2,2,+)，故B正确；因为-32-20，解得2x2，由此能求出结果【解答】解：log2(4x-2x+2)2，则log2(4x-2x+2)log222，即4x-2x+24，得4x-2x-20，即(2x+1)(2x-2)0，解得2x2，即x1，不等式log2(4x-2x+2)2的解集为1,+故答案为：1,+15.答案：-4;(0,14)解析：【分析】本题考查分段函数的最值问题求解，涉及利用导数求函数的最值，考查函数的零点问题求参数的取值范围，考查数形结合思想的应用，属于较难题目对
16、x分类讨论得出f(x)的解析式分别求出最小值，得出f(x)在-1,e上的最小值；将g(x)有6个零点转化为方程t2-t+a=0在t0,1上有2个不等实根，结合二次函数的性质求出a的取值范围即可【解答】解：当x-1,1)时，f(x)=2x3-3x2+1，f(x)=6x2-6x=6x(x-1)，当-1x0，f(x)单调递增;当0x1时，f(x)0，f(x)单调递减又f(-1)=-2-3+1=-4，f(1)=2-3+1=0，f(x)min=f(-1)=-4，当x1,e时，f(x)=lnx在1,e上单调递增，f(x)min=f(1)=0，综上f(x)在-1,e上的最小值为-4；函数f(x)=lnx,x
17、12x3-3x2+1,x0h1=a00120，解得0a14故答案为-4;(0,14)16.答案：解：(1)函数f(x)=log2(ax-bx+2)，且f(1)=2，f(2)=1+log27，可得log2(a-b+2)=2，log2(a2-b2+2)=1+log27=log214，即有a-b=2，a2-b2=12，可得a+b=6，解得a=4，b=2；(2)由(1)可得f(x)=log2(4x-2x+2)，令t=4x-2x+2=(2x-12)2+74，由x-2,2，可得2x14,4，即有2x=12，即x=-1时，t取得最小值74，则函数f(x)取得最小值log274解析：本题主要考查函数的最值的求
18、法，注意运用换元法和指数函数和对数函数的单调性，同时考查对数的运算性质，考查运算能力，属于基础题(1)运用对数的运算性质，可得a-b=2，a2-b2=12，解得a，b的值；(2)求得f(x)=log2(4x-2x+2)，令t=4x-2x+2，运用指数函数的单调性和配方法，结合二次函数的最值求法，可得t的最小值，由对数函数的单调性，即可得到所求最小值17.答案：解：(1)f(x)=x2-(a-1)x-a，令f(x)=0，得x=-1或x=a，列表：x(-,-1)-1(-1,a)a(a,+)f(x)+0-0+f(x)故f(x)单调减区间为(-1,a)证明：(2)f(0)=-10，又f(x)在(-1,
19、a)上递减，f(a)0，即-13-12(a-1)+a-10，解得a5313x13-12(a-1)x12-ax1-1=0，13x23-12(a-1)x22-ax2-1=0，13(x12+x1x2+x22)-12(a-1)(x1+x2)-a=0，14x1+x22-12a-1x1+x2-a0，解得-2x1+x2,(当且仅当x1=x2时取“=”)，又x1-2解：(3)当a3时，由f(x)|x-a|-12x2-a，得13x3-12(a-2)x2-(a-1)x-10，令g(x)=13x3-12(a-2)x2-(a-1)x-1，从而g-1=12a-430，即a83，舍，当0a3时，由f(x)|x-a|-12
20、x2-a，可得当xa时，13x3-12(a-2)x2-(a-1)x-10，当ax3时，13x3-12(a-2)x2-(a+1)x+2a-10，设hx=13x3-12a-2x2-a-1x-1,xa13x3-12a-2x2-a+1x+2a-1,ax3,此时h3=-112a+140，解得a2811，当ax3时，hx=x2-a-2x-a+1，设mx=x2-a-2x-a+1，2811a3，a-220，从而当ax0，即hx0，hx在a,3)上递增，从而xa,3)时，hxh30，当xa时，hx=x2-a-2x-a-1，由hx=0得x=-1或x=a-1，列表，x-,-1-1-1,a-1a-1a-1,aafx+
21、0-0+fx增函数减函数增函数从而有h-1=12a-430，即a83，且ha=-16a3+a-1，设vx=-16x3+x-1,x0，从而vx=-12x2+1，当0x0，vx在0,2上递增，当x2时，vx0，vx在2,+上递减，故x=2时，vx取得最大值223-10，所以ha0成立，综上，a的取值范围是2811,83解析：本题主要考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性，零点问题，属于难题(1)利用导数求函数的单调区间，先求导，画出表格，即可得解；(2)结合f(0)=-10，f(x)在(-1,a)上递减及f(x)存在三个不同的零点，x1，x2，x3，且x1x2x3，即可求解a的取值范围，由f
22、(x1)=13x13-12(a-1)x12-ax1-1=0，f(x2)=13x23-12(a-1)x22-ax2-1=0，两式相减，证明结论即可(3)当a3时，13x3-12(a-2)x2-(a-1)x-10，令g(x)=13x3-12(a-2)x2-(a-1)x-1，解得a的值，舍，当0a3时，设hx=13x3-12a-2x2-a-1x-1,xa13x3-12a-2x2-a+1x+2a-1,ax，即证明ex-2x0；令h(x)=ex-2x，h(x)=ex-2，当x(-,ln2)时，f(x)0函数h(x)在(-,ln2)单调递减，在(ln2,+)单调递增，h(x)min=h(ln2)=2-2l
23、n20ex-2x0恒成立，当a=0时，f(x)x；(2)解：f(x)=ex-x-a(aR)，f(x)=ex-1，令f(x)=0，得x=0，当x(-,0)时，f(x)0，f(x)在(0,+)单调递增，在(-,0)单调递减，h(x)min=h(0)=1-a，当a1时，h(x)min=1-a0，由(1)可得f(a)=ea-2a0，f(-a)=e-a0，此时函数f(x)零点的个数为：2当a0，此时函数f(x)零点的个数为：0当a=1时，h(x)min=1-a=0，此时函数f(x)零点的个数为：1解析：本题考查了导数的应用，函数零点问题，属于中档题，(1)令h(x)=ex-2x，h(x)=ex-2，利用
24、导数可得函数h(x)在(-,ln2)单调递减，在(ln2,+)单调递增，h(x)min=h(ln2)=2-2ln20.即可证明(2)f(x)=ex-x-a(aR)，可得h(x)min=h(0)=1-a，分1-a0，1-a=0，1-a0，y0，由基本不等式，得2x+5y210xy又因为2x+5y=20，所以210xy20，xy10，当且仅当，即x=5y=2时，等号成立此时xy的最大值为10所以u=lgx+lgy=lgxy1g10=1所以当x=5，y=2时，u=lgx+lgy的最大值为1；(2)因为x0，y0，所以10x+1y=(10x+1y)2x+5y20=120(25+50yx+2xy)120
25、(25+250yx2xy)=94，当且仅当，即时，等号成立所以10x+1y的最小值为94不等式10x+1ym2+4m恒成立，只要m2+4m94，解得-92m12所以m的取值范围是-92,12解析：本题主要考查了利用基本不等式求解最值及不等式的恒成立与最值的相互转化关系的应用(1)由已知结合对数的运算性质及基本不等式即可求解；(2)由已知可求10x+1y的最小值，然后结合不等式的恒成立与最值关系的相互转化可求20.答案：解：(1)CEAB，且直线CE的斜率为-43，直线AB的斜率为34，直线AB的方程为y+3=34(x+1)，即3x-4y-9=0(2)设D(a,b)，则C(2a+1,2b+3)，a-3b-3=04(2a+1)+3(2b+3)-7=0,解得a=0b=-1,D(0,-1)，C(1,1)解析：本题考查直线方程、点的坐标的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题(1)由CEAB，且直线CE的斜率为-43，得直线AB的斜率为34，由此能求出直线AB的方程；(2)设D(a,b)，则C(2a+1,2b+3)，列出方程组，能求出点C的坐标第16页，共16页
