1、2007年高中数学竞赛模拟试题一、 选择题：1.设集合，映射使得对任意的，都有是奇数，则这样的映射的个数是 （ A ）（A）45 （B）27 （C）15 （D）11提示：当时，为奇数，则可取1、3、5，有3种取法；当时，为奇数，则可取1、3、5，有3种取法；当时，为奇数，则可取1、2、3、4、5，有5种取法。由乘法原理知共有个映射。2.设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知，则ABC的形状是 （ A ）（A）等腰三角形 （B）直角三角形 （C）等腰直角三角形 （D）等边三角形提示：.3.设函数，它们的图象在轴上的公共点处有公切线，则当时，与的大小关系是 （ B ）（A）（B）（C）（D）与
2、的大小不确定提示：与的图象在轴上有公共点，.,由题意,令,则在其定义域内单调递减.由,当时,即.4.设AB是椭圆（）的长轴，若把AB100等分，过每个分点作AB的垂线，交椭圆的上半部分于P1、P2、 、P99 ，F1为椭圆的左焦点，则+的值是 （ D ）（A） （B） （C） （D）提示：（方法一）由椭圆的定义知()，由题意知关于轴成对称分布，又，故所求的值为.（方法二）+（A,B关于轴成对称分布）5.已知正方体ABCDA1B1C1D1，过顶点A1在空间作直线，使直线与直线AC和BC1所成的角都等于600，这样的直线可以作 （ B ）（A）4条（B）3条（C）2条（D）1条提示：易知异面直线A
3、C与BC1所成的角为600，因此，本题等价于：已知直线与所成的角为600，则过空间一点P且与、所成的角都是600的直线有且仅有多少条？这不难可判断有3条。6.的小数表示中，小数点后至少连续有 （ A ）（A）个零（B）个零（C）个零（D）个零提示：由二项式定理知易证，因此与的小数部分完全相同。，即的小数表示中小数点后面至少接连有个零，因此，的小数表示中，小数点后至少连续有个零。二、 填空题：7.已知，则的值是_.【答案】.提示：弦切变换,构造齐次式解题. .8.乒乓球比赛采用7局4胜制，若甲、乙两人实力相当，获胜的概率各占一半，则打完5局后仍不能结束比赛的概率等于_.【答案】. 提示：（方法一
4、）打完5局后仍不能结束比赛的情况是甲、乙两人中任意某个人任意胜3局，另一个人胜2局，其概率为.（方法二）打完5局后能结束比赛的情况是：甲、乙两人中任意某个人任意胜4局或5局全胜，其概率等于，所以，打完5局后仍不能结束比赛的概率等于.9.不等式的解集为_.【答案】.提示：原不等式等价于设，则，从而原不等式可化为.10.把半径为1的4个小球装入一个大球内，则此大球的半径的最小值为_.【答案】.提示：4个小球在大球内两两相切，4个小球的球心连线构成1个正四面体，正四面体的中心与大球的球心重合，大球的半径等于正四面体的外接球半径加上小球的半径，所以大球半径为.(其中,表示正四面体的高,表示正四面体的棱
5、长.)11.设均为正实数，且，则的最小值为_.【答案】. 提示：令，则，且，其中12.关于的三次函数的两个极值点为P、Q，其中P为原点，Q在曲线上，则曲线的切线斜率的最大值的最小值为_.【答案】. 提示：设，依题意知：，故，由及点Q在其上，可设Q点的坐标为. 由Q为的一个极值点得，显然，存在最大值，数形结合可求得，其最小值为.三、 解答题：13.已知椭圆（），过椭圆中心O作互相垂直的两条弦AC、BD，设点A、B的离心角分别为和，求的取值范围。解：当AC、BD与坐标轴重合时，；当AC、BD与坐标轴不重合时，令，则，.由题意知,则,.当且仅当，即BD的倾斜角为或时，上式取等号。.14.若、，且满足，求的最大值。解:由均值不等式得,等号成立当且仅当,故的最大值为100 .15.某电器商经过多年的经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数是一个随机变量，它的分布列如下：12312P设每售出一台电冰箱，电器商获利300元。如销售不出而囤积于仓库，则每台每月需花保养费100元。问电器商每月初购进多少台电冰箱才能使自己月平均收益最大？解：设为电器商每月初购进的冰箱的台数，依题意，只需考虑的情况。设电器商每月的收益为元，则是随机变量的函数，且.电器商每月获益的平均数,即数学期望为.,当时,也就是电器商每月初购进8台或9台电冰箱,收益最大.
