1、选修2-3 2.3.3 离散型随机变量的均值与方差习题课一、选择题1已知随机变量X的分布列是X123P0.40.20.4则E(X)和D(X)分别等于()A1和0 B1和1.8 C2和2 D2和0.8答案D解析E(X)10.420.230.42D(X)(21)20.4(22)20.2(23)20.40.8.2已知随机变量X的分布列为X012P且2X3，且E()等于()A. B. C. D.答案C解析E(X)012，E()E(2X3)2E(X)3.3某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯次数的均值为()A0.4 B1.2
2、 C0.43 D0.6答案B解析途中遇红灯的次数X服从二项分布，即XB(3,0.4)，E(X)30.41.2.4已知X的分布列为X1234P则D(X)的值为()A. B. C. D.答案C解析E(X)1234，E(X2)12223242，D(X)E(X2)(E(X)2.5已知X的分布列为X101P若2X2，则D()的值为()A B. C. D.答案D解析E(X)101，D(X)222，D()D(2X2)4D(X).6从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，设X为途中遇到红灯的次数，则随机变量X的方差为()A. B. C. D.答案B解析
3、由XB，D(X)3.7已知X服从二项分布B(n，p)，且E(3X2)9.2，D(3X2)12.96，则二项分布的参数n、p的值为()An4，p0.6 Bn6，p0.4Cn8，p0.3 Dn24，p0.1答案B解析由E(3X2)3E(X)2，D(3X2)9D(X)，及X B(n，p)时E(X)np.D(X)np(1p)可知8甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表甲的成绩环数78910频数5555乙的成绩环数78910频数6446丙的成绩环数78910频数4664s1、s2、s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有()As3s1s2 Bs2s1s3
4、Cs1s2s3 Ds2s3s1答案B解析计算可得甲、乙、丙的平均成绩为8.5.s1.同理，s2，s3，s2s1s3，故选B.二、填空题9牧场的10头牛，因误食疯牛病毒污染的饲料被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病牛的头数为X，则D(X)等于_答案0.196解析由题意知，随机变量服从二项分布，所以D(X)npq100.02(10.02)0.196.10(2010福州)设有m升水，其中含有n个大肠杆菌，今任取1升水检验，设其中含大肠杆菌的个数为X，则E(X)_.答案解析设A“在所取的1升水中含有一个大肠杆菌”，则P(A)，P(Xk)Pn(k)C()k(1)nk(k0,1,2,3，n)，XB(
5、n，)则E(X)n.11某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或选错得0分小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的均值为_答案48解析设小王选对个数为X，得分为5X，则XB(12,0.8)，E(X)np120.89.6，E()E(5X)5E(X)59.648.12若X的分布列如下表：X1234P则D_.答案解析E(X)(1234)，D(X)，DD(X).三、解答题13一名工人要看管三台机床，在一小时内机床不需要工人照顾的概率对于第一台是0.9，第二台是0.8，第三台是0.85，求在一小时的过程中不需要工人照顾的机床的台数X的数学期望(均值)解析由题意，可知X的所有可
6、能的值为0,1,2,3，记事件A为第一台机床不需照顾；事件B为第二台机床不需照顾，事件C为第三台机床不需照顾，由独立事件和互斥事件的概率公式可知，P(X0)P()P()P()P()0.10.20.150.003，P(X1)P(ABC)P(A)P()P()P()P(B)P()P()P()P(C)0.056，同上可得P(X2)0.329，P(X3)0.612，所以E(X)00.00310.05620.32930.6122.55台14为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类这三类工程所含项目的个数分别占总数的，.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设
7、(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求的分布列及均值解析考查离散型随机变量的概率分布和数学期望解：记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai，Bi，Ci，i1,2,3.由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，Ai，Bj，Ck(i，j，k1,2,3，且i，j，k互不相同)相互独立，且P(Ai)，P(Bj)，P(Ck).(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率为：P3！P(A1B2C3)6P(A1)P(B2)P(C3)6.(2)解法一：设3名工
8、人中选择的项目属于民生工程的人数为，由已知B，且3.所以P(0)P(3)C3，P(1)P(2)C2，P(2)P(1)C2，P(3)P(0)C3.故的分布列为0123P的均值E()01232.解法二：由题设条件知，基础设施工程和产业建设工程这两类项目的个数占总数的.3名工人独立地从中任选一个项目，故每人选到这两类项目的概率都是，故B.即：P(k)Ck3k，k0,1,2,3.0123P的均值E()32.15袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n1,2,3,4)现从袋中任取一球，表示所取球的标号(1)求的分布列、均值和方差；(2)若ab，E()1，D()11，试求a，
9、b的值解析(1)的分布列为：01234PE()012341.5.D()(01.5)2(11.5)2(21.5)2(31.5)2(41.5)22.75.(2)由D()a2D()，得a22.7511，即a2.又E()aE()b，所以当a2时，由121.5b，得b2；当a2时，由121.5b，得b4，或即为所求16(2010湖南理，17)下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图(1)求直方图中x的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望(均值)分析(1)由频率和为1，列式求出x的值
10、；(2)从图中知用水为3至4吨的概率为0.1，又本抽样为有放回抽样，故符合XB(3,0,1)，其中X0,1,2,3.列出分布列并求出数学期望(均值)解析(1)依题意及频率分布直方图知，0.020.1x0.370.391，解得x0.12.(2)由题意知，XB(3,0.1)因此P(X0)C030.930.729，P(X1)C130.10.920.243，P(X2)C230.120.90.027，P(X3)C330.130.001.故随机变量X的分布列为X0123P0.7290.2430.0270.001X的数学期望为E(X)30.10.3.点评本题通过频率分布直方图，将统计知识与概率结合起来考查了二项分布，离散型随机变量的分布列与数学期望(均值)
