1、高中数学必修一 第四章 指数函数与对数函数 测试题 (10) 一、选择题（本大题共13小题，共65.0分）1. 若a=log50.2,b=20.5,c=0.52，则a，b，c三个数的大小关系是()A. acbB. bcaC. bacD. cab2. 已知a=log43,b=413,c=ln34，则a，b，c的大小关系为()A. abcB. cbaC. bcaD. cab3. 定义在R上的偶函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x)，当x0,2时，f(x)=2-x，设函数g(x)=e-|x-2|(-2x6)，则f(x)和g(x)的图象所有交点横坐标之和等于()A. 8B. 6C. 4D. 24.
2、 已知函数f(x)=x3-4x，过点A(-2,0)的直线l与f(x)的图象有三个不同的交点，则直线l斜率的取值范围为()A. (-1,8)B. (-1,8)(8,+)C. (-2,8)(8,+)D. (-1,+)5. 设函数f(x)=x2(ex-e2)-ax.若只存在唯一非负整数x0，使得f(x0)bcB. cbaC. cabD. bac8. 已知a=(14)13，b=(13)14，c=log3443，则()A. bacB. abcC. bcaD. acb9. 设a=2ln2,b=-log124,c=log32，则a，b，c的大小关系是()A. bacB. abcC. bcaD. acb10.
3、 已知a=0.30.4，b=40.3，c=log0.24，则()A. cbaB. cabC. abcD. bca11. 设函数fx=lnx+x-a(aR)，若存在x02,3，使得ffx0=x0，则a的取值范围为( )A. ln3-3,ln2-2B. ln3-6,ln2-2C. ln3-6,ln2-4D. ln2+2,ln3+312. 函数y=cosx2x+12x-1的部分图象大致是()A. B. C. D. 13. 已知函数f(x)=log2x,x1,f(2x),0x0,2x+x-a+1,x0,若方程f(g(x)+1=0有且只有两个不同的实数解，则实数a的取值范围为_15. 已知关于x的方程a
4、|sinx|+12=sinx在区间0,2上恰有两个解，则实数a的取值范围是_16. 已知关于x的方程32x+1+(m-1)(3x+1-1)-(m-3)3x=0有两个不同的实数解，则m的取值范围是_三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）17. 已知函数f(x)=ex(x-2)-12ax2+ax(aR)(1)当a=1时，求f(x)的极值；(2)若f(x)恰有两个零点，求实数a的取值范围18. 已知函数f(x)=lnx-x+a(1)讨论函数f(x)零点的个数；(2)若函数f(x)存在两个零点x1，x2(x2x2)，证明：2lnx1+lnx2019. 已知函数f(x)=x|x-a|，xR(1)判断
5、函数f(x)的奇偶性；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)令g(x)=f(x)-b，(bR)，若对任意的a2,4，函数g(x)恒有3个零点，求实数b的取值范围20. 已知函数f(x)=ax2+bx+1(a0)的图象关于直线x=1对称，且函数y=f(x)+2x为偶函数，函数g(x)=1-2x(1)求函数f(x)的表达式;(2)求证：方程f(x)+g(x)=0在区间0,1上有唯一实数根;(3)若存在实数m，使得f(m)=g(n)，求实数n的取值范围- 答案与解析 -1.答案：A解析：解：log50.21，00.521，acb故选：A容易得出log50.21,00521，从而可得出a，b，c的大小
6、关系本题考查了对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题2.答案：D解析：解：0=log41log4340=1，ln34ln1=0，cab故选：D可以得出0log431,ln340，从而可得出a，b，c的大小关系本题考查了对数函数和指数函数的单调性，增函数的定义，考查了计算能力，属于基础题3.答案：A解析：解：由偶函数f(x)满足(2+x)=f(2-x)可得f(x)的图象关于直线x=2对称，以2+x替换x，得f(4+x)=f(-x)=f(x)，则函数f(x)是以4为周期的周期函数函数g(x)=e-|x-2|(-2x6)的图象也关于直线x=2对称，作出函数y=f(x)的图象与函数g(x)=e-
7、|x-2|(-2x6)的图象如图所示，可知两个图象有四个交点，且两两关于直线x=2对称，则f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为8故选：A由已知可得f(x)的图象关于直线x=2对称，并求得函数是以4为周期的周期函数，函数g(x)=e-|x-2|(-2x0，可得4+4k0，解得k-1，则k的范围是(-1,8)(8,+)，故选：B设直线l的斜率为k，方程为y=k(x+2)，由题意可得k(x+2)=x3-4x有三个不等的实根，显然x=-2是其中的一个根，则k=x2-2x有两个不等的实根，且x-2，即k8，由判别式大于0，可得所求范围本题考查函数方程的综合，以及二次方程的实根的分布，考查转化思
8、想和运算能力，属于中档题5.答案：A解析：解：函数f(x)=x2(ex-e2)-ax令g(x)=x2(ex-e2)，h(x)=ax，则f(x)=g(x)-h(x)，g(x)=x2(ex-e2)，令g(x)=0，解得x=0或x=2，x2时，有g(x)0，0x2时，有g(x)0，x0时，有g(x)0不成立，当a0时，x0=1，所以f(1)e-e2，所以x(e-e2,0故选：A令g(x)=x2(ex-e2)，h(x)=ax，描绘出g(x)=x2(ex-e2)的草图，结合函数的图象，转化求解a的范围即可本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及构造法的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题6.答案：B
9、解析：解：log34log48log8m=2lg2lg33lg22lg2lgm3lg2=lgmlg3=log416=4lg22lg2，lgm=4lg22lg2lg3=lg32，解得m=9故选：B直接由对数的换底公式化简计算得答案本题考查了对数的运算性质，考查了对数的换底公式的应用，是基础题7.答案：B解析：解：a=log1251，cba故选：B利用对数函数和指数函数的性质求解本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用8.答案：A解析：解：a12=(14)1312=(14)4=1256，b12=(13)1412=(13)3=127，ba0，lo
10、g3443log341=0，cac，故选：A利用对数函数和指数函数的性质求解本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用9.答案：A解析：解：0ln21，12ln22，-log124=2，log32ac故选：A根据0ln21即可得出12ln22，并得出-log124=2,log321，从而可得出a，b，c的大小关系本题考查了指数函数和对数函数的单调性，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题10.答案：B解析：解：由题可知：a=0.30.440=1，c=log0.240，cab 故选：B利用指对数函数单调性判断出a，b，c与0和1的大小关系，
11、进而得到a，b，c大小本题考查了指对数单调性来比较大小，考查了学生的转化思想和运算能力，属于基础题11.答案：B解析：【分析】本题考查导数的应用，属于中档题由存在x02,3使得ff(x0)=x0可知x0的范围，又f(x)是单调的，可得f(x0)=x0，采用参数分离求函数，2t3的值域即可【解答】解：因为存在x02,3使得ff(x0)=x0，所以2x03，易知f(x)是单调的，又ff(x0)=x0，所以f(x0)=x0，即，即，考虑函数，2t3，则g(t)=1t+1-2t=-2t2+t+1t0，所以排除B故选C13.答案：C解析：【分析】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段
12、函数的性质的合理运用由0221，利用分段函数的性质及对数运算法则能求出f(22)=f(2)=log22=12【解答】解：f(x)=log2x,x1f(2x),0x1，022-a，(1)若12-a-1-a，则g(x)=1有1解，g(x)=-1有2解，不符合题意；(2)2-a1-a-1，此时g(x)=1有2解，g(x)=-1有1解，不符合题意；(3)若-a1，则g(x)=1有1解，g(x)=-1有1解，符合题意；(4)若2-a-1，则g(x)=1有1解，g(x)=-1有1解，符合题意；(5)若2-a=1，则g(x)=1有2解，g(x)=-1有1解，不符合题意；(6)若2-a=-1，则g(x)=-1
13、有2解，g(x)=1有1解，不符合题意；综上，-a1或2-a3故答案为：0,2，(-,-1(3，+)根据f(x)的奇偶性和单调性列不等式求出x的范围，根据g(x)的单调性和最值，分情况讨论最值和1的关系，从而确定a的范围本题考查了函数零点与方程的关系，函数单调性与零点个数判断，属于中档题15.答案：(-32,12)解析：解：显然sinx0，故a=sinx-12|sinx|，令f(x)=sinx-12|sinx|，(1)当0x时，f(x)=1-12sinx，故f(x)在(0,2)上单调递增，在(2,)上单调递减，当x=2时，f(x)取得极大值f(2)=12，(2)当x2时，f(x)=-1+12s
14、inx，故f(x)在(,32)上单调递增，在(32,2)上单调递减，当x=32时，f(x)取得极大值f(-32)=-32，(3)当x=或2时，方程a|sinx|+12=sinx无解；做出f(x)的图象如图所示：由题意可知a=f(x)在(0,2)上有两解，-32a12故答案为：(-32,12).分离参数可得a=sinx-12|sinx|，分段讨论f(x)=sinx-12|sinx|的单调性，并计算极值，根据f(x)的图象得出a的范围本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数单调性判断与极值计算，属于中档题16.答案：(-,-3+212)解析：解：令3x=t，f(x)=32x+1+(m-1)(3x+
15、1-1)-(m-3)3x=3t2+2mt-m+1设y=3t2+2mt-m+1.由题设知该方程有两个根0t10f(0)=-m+10-2m60，解得m0，解得：x1或x0，令f(x)0，解得：0x1，故f(x)在(-,0)递增，在(0,1)递减，在(1,+)递增，故f(x)极大值=f(0)=-2，f(x)极小值=f(1)=-e；(2)f(x)=ex(x-2)-12ax2+ax=(x-2)(ex-12ax)，显然x=2是函数f(x)的一个零点，若f(x)恰有两个零点，则只需y=ex-12ax恰有1个零点，即只需g(x)=ex和h(x)=12ax只有1个交点即可，a0时，如图示：结合图象，a0时，g(
16、x)=ex和h(x)=12ax相切时1个交点，设切点是P(m,em)，则12a=em(i)，em=12am(ii)，由(i)(ii)解得：P(1,e)，a=2e，符合题意，综上，若f(x)恰有两个零点，则a(-,0)2e解析：(1)代入a的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值即可；(2)显然x=2是函数f(x)的一个零点，若f(x)恰有两个零点，则只需y=ex-12ax恰有1个零点，问题转化为只需g(x)=ex和h(x)=12ax只有1个交点即可，通过讨论a的范围，结合函数的图象判断即可本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用，转化思想，分类讨论思想，数形结合思想，
17、是一道综合题18.答案：解：(1)f(x)=1x-1=1-xx(x0)，当0x0，当x1时，f(x)0，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+)上单调递减，故f(x)的最大值为f(1)=a-1，又当x0时，f(x)0，当x+时，f(x)0，当a-10即a0即a1时，f(x)有两个零点(2)证明：由(1)可知0x111)，则lnt=x1(t-1)，故x1=lntt-1，要证：2lnx1+lnx20只需证：x12x21，即证：x13t1，即t(lnt)3(t-1)31，即证t(lnt)3-(t-1)31)，则p(t)=2lntt+2t-4t+2=2(lnt+1-2t2+t)t，令q(t)=ln
18、t+1-2t2+t(t1)，则q(t)=1t-4t+1，q(t)在(1,+)上单调递减，故q(t)q(1)=-20，q(t)在(1,+)上单调递减，故q(t)q(1)=0，p(t)0，p(t)在(1,+)上单调递减，故p(t)p(1)=0，g(t)0，故g(t)在(1,+)上单调递减，故g(t)g(1)=0，g(t)在(1,+)上单调递减，故g(t)g(1)=0，即t(lnt)3-(t-1)30，t(lnt)3(t-1)31，2lnx1+lnx20解析：(1)判断f(x)的单调性，计算极值，根据极值的符号判断零点个数；(2)令x2x1=t，则不等式转化为t(lnt)3(t-1)31)，利用导数
19、证明g(t)1即可本题考查了函数单调性判断，掌握导数与单调性的关系是解题关键，考查导数与不等式证明，属于难题19.答案：解：f(x)=x2-ax,xa-x2+ax,x0，则当xa时，-x-aa，故f(x)=x2-ax，f(-x)=-(-x)2+a(-x)=-x2-ax，显然f(x)f(-x)，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数若a0，则aa2，f(x)在(-,a2)上单调递增，在(a2,a)上单调递减，在(a,+)上单调递增；若a0，则a0时，f(x)的增区间为(-,a2)，(a,+)，减区间为(a2,a)，当a0，f(x)在(-,a2)上单调递增，在(a2,a)上单调递减，在(a,+)上单调
20、递增，当x=a2时f(x)取得极大值f(a2)=a24，当x=a时，f(x)取得极小值f(a)=0，当0ba24时，g(x)=f(x)-b恒有3个零点，又对任意a2,4，g(x)=f(x)-b恒有3个零点，故0ba24对a2,4恒成立，0b0，h(1)=-10，h(0)h(1)0又f(x)=(x-1)2，g(x)=1-2x在区间0,1上均单调递减，h(x)在区间0,1上单调递减，h(x)在区间0,1上存在唯一零点方程f(x)+g(x)=0在区间0,1上有唯一实数根(3)由题可知f(x)=(x-1)20，g(x)=1-2x1，若存在实数m，使得f(m)=g(n)，则g(n)0,1)，即1-2n0
21、，解得n0.n的取值范围是(-,0解析：本题考查根的存在性及根的个数判断，考查函数奇偶性的性质，考查学生对问题的理解能力及转化能力，零点存在定理及二次函数的有关性质是解决问题的基础(1)根据对于任意xR都有f(1+x)=f(1-x)可知对称轴为x=1，由此得a，b的方程，再由y=f(x)+2x为偶函数可求得b值，从而求得a值；(2)设h(x)=f(x)+g(x)，方程f(x)+g(x)=0在区间0,1上有唯一实数根转化为证明函数h(x)在0,1上有唯一零点，根据零点存在定理判定其存在性，利用单调性判定其唯一性；(3)求出f(x)，g(x)的值域及其交集，据f(m)=g(n)知g(n)属于该交集；第13页，共13页
