1、数学试题（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、已知集合，则 （ ）A、B、 C、 D、2、以下有关命题的说法错误的是 （ ） A、命题“若，则”的逆否命题为“若,则”B、若为假命题，则、均为假命题C、“”是“”的充分不必要条件D、对于命题，使得，则，则3、某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍。为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为 （ ）A、9 B、18 C、27 D、364、已知向量a =（1，1
2、，0），b =（1，0，2），且kab与2ab互相垂直，则k值是（ ）A、1 B、 C、 D、 5、在平行六面体中，设，则等于（）A、 B、 C、 D、6、若双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为 ()A、 B、5 C、 D、27、对任意非零实数，定义的算法原理如上右侧程序框图所示。设为函数的最大值，为双曲线的离心率，则计算机执行该运算后输出结果是 ( )A、 B、 C、 D、8、已知曲线C：y2，点A(0，2)及点B(3，a)，从点A观察点B，要使视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是 ()A、(4，) B、(，4 C、(10，) D、(，109、已知抛物线与双曲线有
3、相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AFx轴，则双曲线的离心率为 ()A、 B、1 C、1 D、10、棱长均为1三棱锥，若空间一点P满足，则的最小值为 （）A、 B、 C、 D、11、已知椭圆的左、右顶点分别为A1和A2，垂直于椭圆长轴的动直线与椭圆的两个交点分别为P1和P2，其中P1的纵坐标为正数，则直线A1P1与A2P2的交点M的轨迹方程（ ）A、 B、 C、 D、12、如图，过双曲线的左焦点F引圆x2+y2=16的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则 （）A、 B、 C、 D、二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13、在随机数模
4、拟试验中，若（ ）, （ ）（）表示生成0到1之间的随机数,共做了次试验，其中有次满足，则椭圆的面积可估计为 。（）表示生成0到1之间的随机数14、与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线方程是 。15、以下四个关于圆锥曲线的命题中：设A、B为两个定点，k为非零常数，若|PA|PB|=k，则动点P的轨迹为双曲线；过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若，则动点P的轨迹为椭圆；抛物线的焦点坐标是；曲线与曲线（35且10）有相同的焦点其中真命题的序号为 。16、点在函数的图象上运动，则2xy的最大值与最小值之比为 。三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
5、。17、（10分）已知，设命题p:函数在R上单调递增；命题q:不等式对恒成立，若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围。18、（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点（）求直线AC与PB所成角的余弦值；（）在侧面PAB内找一点N，使NE面PAC，并求出N点到AB和AP的距离。ABCDPM第19题图19、（12分） 如图，四棱锥中，底面为梯形，底面，为的中点（）证明：；（）若，求二面角的余弦值。20、（12分）在中，、分别是角、的对边，且。()求角的大小；()若，求的面积。21、（12分）已知抛物线C：y24x，直
6、线l：yxb与C交于A、B两点，O为坐标原点()当直线l过抛物线C的焦点F时，求|AB|；()是否存在直线l使得直线OA、OB倾斜角之和为135，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。22、（12分）已知椭圆的焦距为4,且过点.()求椭圆C的方程;()设为椭圆上一点,过点作轴的垂线,垂足为.取点,连接,过点作的垂线交轴于点.点是点关于轴的对称点,作直线,问这样作出的直线是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由。一选择题：1.C；2.B；3.B；4.D；5.D；6.A；7.B；8.D；9.C；10.B；11.C；12.A二填空题：13 ； 14 ； 15 ； 16 .三、解答题：17
7、、解：y=ax在R上单调递增，a1；2分又不等式ax2-ax+10对xR恒成立，0，即a2-4a0，0a4，4分q：0a4而命题p且q为假，p或q为真，那么p、q中有且只有一个为真，一个为假若p真，q假，则a4；6分若p假，q真，则0a18分所以a的取值范围为（0，14，+）10分18、解：方法一、（1）设ACBD=O，连OE，则OE/PB，EOA即为AC与PB所成的角或其补角. 2分在AOE中，AO=1，OE=即AC与PB所成角的余弦值为.6分 （2）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则.连PF，则在RtADF中设N为PF的中点，连NE，则NE/DF，DFAC，DFPA，DF面PAC
8、，从而NE面PAC.N点到AB的距离，N点到AP的距离12分方法二、（）建立如图所示的空间直角坐标系，则A、B、C、D、P、E的坐标为A（0，0，0）、B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、E（0，1）， 3分从而设的夹角为，则AC与PB所成角的余弦值为. 6分 （）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，O，z），则，由NE面PAC可得， 10分即N点的坐标为，从而N点到AB、AP的距离分别为1，.12分ABCDPMxyz19、解： （）由余弦定理得， ，底面，底面，又，平面，又平面，6分（）已知，由（）可知平面，如图，以D为坐标原点，射线DB为x轴的正半
9、轴建立空间直角坐标系，则,，.8分设平面的法向量为，则，令，可取 9分同理设平面的法向量为，则，10分二面角的余弦值大小为12分20、解：（1） 由正弦定理： 3分 又 6分（2）8分 12分21、解: (1)抛物线C：y24x的焦点为F(1,0)，代入直线yxb可得b，1分l：yx，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立，消去y得x218x10，x1x218，x1x21， (方法一)|AB|x1x2|20. 4分(方法二)|AB|x1x2p18220. 4分(2)假设存在满足要求的直线l：yxb，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立，消去x得y28y8b0，y1y28，y1y28b， 6分设直线OA、OB的倾斜角分别为、，斜率分别为k1、k2，则135，tan()tan1351， 8分其中k1，k2，代入上式整理得y1y2164(y1y2)0， 10分8b16320，即b2，11分代入6432b1280，满足要求综上，存在直线l：yx2使得直线OA、OB的倾斜角之和为135.12分22、解: (1)因为椭圆过点 且 椭圆C的方程是 （4分）(2) 由题意,各点的坐标如上图所示, （6分）则的直线方程: 化简得 （8分）又, 所以带入 得 （11分）求得最后 所以直线与椭圆只有一个公共点. （12分）
