1、第三节第三节 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化一、实对称矩阵特征值的性质一、实对称矩阵特征值的性质二、实对称矩阵对角化方法二、实对称矩阵对角化方法 问题：上节讨论了矩阵对角化的条件，从中看到一般矩阵并不一定可对角化.然而，对实对称矩阵这类特殊矩阵而言，其特征值和特征向量具有许多特殊的性质，使其一定可以对角化.3 实对称矩阵的对角化一、实对称矩阵特征值的性质定理定理 1 1 实对称实对称矩阵的特征值都是实数矩阵的特征值都是实数.定理定理 2 2 实对称实对称矩阵的属于不同特征值的特征矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交向量彼此正交.定理定理 3 3 设设是是n阶实对称阶实对称矩阵矩阵A的的
2、k重特征重特征值，则特征矩阵值，则特征矩阵EA的秩的秩knR)(EA，从而，从而A的属于的属于的线性无关的特征向量恰好有的线性无关的特征向量恰好有k个个.定理定理 4 4 设设A为为n阶实对称阶实对称矩阵，则必存在正交矩阵，则必存在正交矩 阵矩 阵Q，使得，使得AQQAQQT1，其 中对 角阵，其 中对 角阵12(,)ndiag L，(1,2,)iinL是是A的特征值的特征值.（证明见下页）（证明见下页）定理定理 2 2 实对称实对称矩阵的属于不同特征值的特征矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交向量彼此正交.证证 设设A是实对称是实对称矩阵，矩阵，12,分别是分别是A的属于的属于特征值特征值
3、21,的特征向量，的特征向量，21，于是，于是 1111()0A，2222()0A 由由A为实对称为实对称矩阵，有矩阵，有AA T，所以，所以 1212121212(,)()(,)TTTTAAAAA 即即 112122(,)(,)，也即，也即112212(,)(,)又又21，所以，所以12(,)0 ，即，即1 与与2 正交正交.二、实对称矩对角化方法用正交矩阵将实对称矩阵对角化的步骤：用正交矩阵将实对称矩阵对角化的步骤：(1)(1)求出求出n阶矩阵阶矩阵A的所有的所有特征值特征值12,m L，它们的重数分别为它们的重数分别为12,mn nnL (2)(2)对每个特征值对每个特征值i（1,2,i
4、mL），求出），求出方程组方程组()0iAE x的一个基础解系的一个基础解系12,iiiinL (3(3)将将12,iiiinL正交化正交化和单位化和单位化，得，得A的属的属于于i的的in个两两正交的单位特征向量个两两正交的单位特征向量12,iiiinL.(4)(4)取取正交矩阵正交矩阵Q，且使，且使AQQ1，其中，其中 Q111121(,nL221222,nLL12,)mmmmnL 121122,mmmnnndiag LLLL144 4244 4 3 144244314442444 3 例例 设设 101020101A求正交矩阵求正交矩阵Q，使，使AQQ1为为 对角矩阵，并求对角矩阵，并求1
5、0A.解解 矩阵矩阵A的特征多项式的特征多项式 22)2()2()2()1(101020101 EA令令0 AE，得得A的的特征值为特征值为2,0321 当当01时，解时，解方程组方程组(0)AE x 0得基础解系得基础解系T)1,0,1(1.当当232时，解时，解(2)AE x 0，得基础解系得基础解系2(0,1,0),T T)1,0,1(3 且且0),(21 ，即，即1 与与2 正交正交.将将正交向量组正交向量组321,单位化单位化.令令 111111,0,22T 2221(0,1,0),T T21,0,211333 记记123(,)Q ，(0,2,2)diag，则，则Q为所求为所求的的正
6、交矩阵正交矩阵，且，且AQQ1.即即 1TQ AQQ AQ 由由1Q AQ有有1AQQ，故故1010110TAQ QQ Q 9910101099202020202TAQ Q所以所以 例例 设设 求正交矩阵求正交矩阵Q，使，使AQQ1为为 对角矩阵对角矩阵.011101110A 解解 矩阵矩阵A的特征多项式的特征多项式 2111100111110111111111221ccrrEA2211(1)(1)(2)(1)(2)2 令令0 AE，得得A的的特征值为特征值为2,1321 当当121时，解时，解方程组方程组()AE x0得基础解系得基础解系T)0,1,1(1，T)1,0,1(2.将将21,正交
7、化正交化.令令T)0,1,1(11 2122111(,)11 1(1,0,1)(1,1,0),1(,)22 2TTT 再将再将21,单位化，得单位化，得 111111,0,22T T62,61,611222 当当23时，解时，解方程组方程组(2)AE x0 得基础解得基础解系系T)1,1,1(3.将将3 单位化单位化得得 T31,31,311333 记记123(,)Q ，(1,1,2)diag，则，则Q为所求为所求的的正交矩阵正交矩阵，且，且AQQ1.即即 11126311126321063Q2000100011AQQAQQT例例 设三阶实对称矩阵设三阶实对称矩阵A的特征值为的特征值为10，2
8、31,A属于属于10的特征向量为的特征向量为1(0,1,1),T 求求A.解解 三阶实对称矩阵必可对角化，对应于二重三阶实对称矩阵必可对角化，对应于二重特征根特征根231的线性无关的特征向量应有两个，的线性无关的特征向量应有两个，设为设为32,，则，则32,都与都与1 正交正交.设与向量设与向量1 正交的向量为正交的向量为Txxx),(321，则，则 0)1,1,0(),(323211xxxxx 解此方程组，解此方程组，取取32,为其基础解系有为其基础解系有T)0,0,1(2，T)1,1,0(3.取取101101010),(321 P2/12/100012/12/101P则有则有 1000100001APP即即1PPA.所以所以 1PPA0100000 1/21/21010101001010010 1/21/210001/21/201/21/2
